Zad 4.

3.1.2. Nośność belki dwuprzęsłowej
Na dwuprzęsłowej belce o przekroju poprzecznym HEB400 (rys. 3.10) ze stali S235
będzie pracować suwnica o udźwigu Qh = 170,0 kN i rozstawie kół a = 3,0 m .
Szyna jezdna 50 x 40 mm będzie połączona z belką nierozłącznie. ObciąŜenia od
oddziaływań kół suwnicy są następujące: w grupie obciąŜeń 1 wartości charakterystyczne:
oddziaływania pionowego Qr ,max = 129,0 kN , oddziaływanie poziome poprzeczne
H T = 22,6 kN , podłuŜne H L = 7,3 kN , w grupie obciąŜeń 5 wartość charakterystyczna
oddziaływania pionowego Qr ,max = 110 kN , a oddziaływania poziomego
H s = H s , 2 = 25,6 kN .
Obliczyć nośność obliczeniową przekroju belki z warunków wytrzymałościowych.
1. Siły wewnętrzne
Obliczone wartości charakterystyczne momentów zginających i sił poprzecznych od
obciąŜeń wywołanych pionowym i poziomym oddziaływaniem kół suwnicy zestawiono na
rys. 2.13.
Maksymalne wartości:
gr. obc. 1
M yp = 249 kNm , M zp = 26,3 kNm , Vz = 83 kN ,
M yB = 139,3 kNm , V y = 121,8 kN ,
gr. obc. 5
M yp = 249 ⋅
110
= 212,2 kNm , M zp = 39,6 kNm ,
129
M yB = 139,3 ⋅
110
= 118,8 kNm , M zB = 13,8 kNm .
129
ObciąŜenie od cięŜaru własnego belki i szyny q = 1,71 kN/m .
2. Cechy geometryczne przekroju poprzecznego belki
PoniewaŜ połączenie szyny z belką jest nierozłączne (rys. 3.10) uwzględniono współpracę
przekrojów poprzecznych.
Rys. 3.2. Przekrój poprzeczny belki podsuwnicowej z szyną
Pole przekroju A = 198,0 cm 2 + 5 ⋅ 3,0 = 213,0 cm 2 .
Pole przekroju poprzecznego szyny zmniejszono o 25% uwzględniając zuŜycie wysokości
szyny o 25%.
PołoŜenie osi obojętnej:
ez =
5 ⋅ 3,0 ⋅ 21,5
≈ 1,5 cm .
213,0
Momenty bezwładności:
I y = 64126 cm 4 ,
I z = 10851 cm 4 .
Wskaźniki wytrzymałości względem osi y :
z1 = 20 − 1,5 + 3,0 = 21,5 cm , z2 = 20 − 1,5 = 18,5 cm , z3 = 20 − 1,5 − 2,4 = 16,1 cm ,
z4 = 20 − 1,5 − 2,4 − 2,7 = 13,4 cm , z5 = 20 + 1,5 = 21,5 cm ,
W y1 = W y 5 = 2983 cm 3 , W y 2 = 3466 cm 3 , W y 3 = 3983 cm 3 , W y 4 = 4786 cm 3 .
Moment bezwładności pasa górnego względem osi z : I zt = 5210 cm 4 .
Wskaźnik wytrzymałości pasa górnego:
Wz 2 =
5441
= 362,7 cm 3 .
15
Moment statyczny pasa górnego względem osi y :
s y 4 = 30 ⋅ 2,4 (18,5 − 1,2 ) + (18,5 − 1,5) ⋅ 15 = 1501 cm 3 .
3. Lokalne napręŜenie ściskające w środniku od obciąŜenia skupionego w strefie dodatnich
momentów zginających
Długość efektywna obciąŜenia środnika:
przyjęto:
szerokość stopki szyny: b fr = 5 cm ,
wysokość szyny zredukowana zuŜyciem: hr = 0,75 ⋅ 4,0 = 3,0 cm .
Szerokość efektywna pasma obciąŜającego:
beff = b fr + hr + t f = 5,0 + 3,0 + 2,4 = 10,4 cm < 30 cm .
Moment bezwładności przekroju pasa o szerokości efektywnej beff i przekroju
poprzecznego względem własnej poziomej osi:
I rf = 10,4 ⋅
2,4 3
33
+ 10,4 ⋅ 2,4 ⋅ 1,012 + 5 ⋅ + 5 ⋅ 3 ⋅ 1,69 2 = 93,8 cm 4 .
12
12
Długość efektywna strefy obciąŜenia środnika:
 I rf
= 3,25 ⋅ 
 tw
13



13
 93,8 
= 3,25 ⋅ 

 1,35 
= 13,35 cm ,
z = 0;
l eff
z = r;
Leff = leff + 2 z = 13,35 + 2 ⋅ 2,7 = 18,75 cm .
Wartość obliczeniowa siły skupionej:
Fz ,Ed = Qr ,max γ Q ;
przyjęto γ Q = 1,5 ,
Fz ,Ed = 129,0 ⋅ 1,5 = 193,5 kN .
NapręŜenia ściskające od siły skupionej:
σ oz ,Ed (z ) =
z = 0;
Fz ,Ed
Leff t w

z 
1 − 2  ,
hw 

σ oz ,Ed (z ) =
193,5 ⋅ 10
= 107,4 MPa (rys. 3.10),
13,35 ⋅ 1,35
z = r = 2,7 cm ; σ oz ,Ed (2,7 ) =
193,5 ⋅ 10 
2,7 
1 − 2 ⋅
 = 66,2 MPa (poz. 3).
18,75 ⋅ 1,35 
29,8 
4. Lokalne napręŜenia ścinające
τ oxz ,Ed = 0,2 σ oz ,Ed (z )
z = 0;
τ ox = 0,2 ⋅ 107,4 = 21,5 MPa ,
z = r = 2,7 cm ;
τ ox (2,7 ) = 0,2 ⋅ 66,2 = 13,24 MPa .
5. Lokalne napręŜenie od zginania środnika wywołane mimośrodowym oddziaływaniem
kół
Moment skręcający:
M T ,Ed = γ Q Qr ,max e y ≅ 242 kNcm .
Moment bezwładności pasa na skręcanie:
IT =
1
1
b f t 3f = ⋅ 30 ⋅ 2,4 3 = 138,2 cm 2 .
3
3
Rozstaw Ŝeber poprzecznych środnika:
przyjęto rozstaw Ŝeber a = 6,0 m ,
π hw
a
=
3,14 ⋅ 29,8
= 0,156 ,
600
 π hw 
sinh
 = sinh(0,156 ) = 0,1566 ,
 a 
 2π hw 
sinh
 = sinh(2 ⋅ 0,156) = 0,317 ,
 a 
1/ 2
 0,75 a tw3

sinh 2 (π hw / a )
η=
sinh(2 π hw / a ) − 2 π hw / a 
 IT
NapręŜenia ściskające (rozciągające):
σ T ,Ed =
6 M T ,Ed
6 ⋅ 242
η tgh(η ) =
⋅ 6,26 ⋅ 1 ⋅ 10 = 112,2 MPa .
2
a tw
600 ⋅ 1,35
6. NapręŜenia normalne od zginania belki
Moment zginający:
M y ,Ed = 12,2 ⋅ 1,35 + 1,5 ⋅ 249 = 16,5 + 373,5 = 390,0 kNm .
Siła ścinająca;
Vz = 1,35 ⋅ 6,6 + 1,5 ⋅ 83 = 8,9 + 124,5 = 133,4 kN .
NapręŜenie w przekroju poprzecznym:
390 ⋅ 103
= 130,7 MPa ,
2983
σ x2 =
− 390 ⋅ 103
= −112,5 MPa ,
3466
− 390 ⋅ 103
= −98,0 MPa ,
3983
σ x4 =
− 390 ⋅ 103
= −81,6 MPa ,
4786
σ x1,5 =
σ x3 =
1/ 2
 0,75 ⋅ 600 ⋅ 1,353
0,15662 
=
⋅
138,2
0,317 − 0,312 

= 6,26.
τ x 2,4 =
133,4 ⋅ 1501 ⋅ 10
= 29,1 MPa .
64126 ⋅ 1,35
7. Nośność środnika od obciąŜenia skupionego (nacisku koła suwnicy)
leff = 13,35 cm ,
S s = leff − 2t f = 13,35 − 2 ⋅ 2,4 = 8,55 cm ,
2
2
h 
 40 − 2(2,4 + 2,7 ) 
k F = 6 + 2 w  = 6 + 2
 = 6,1 ,
750


 a 
3
Fcr = 0,9 k F E
m1 =
bf
=
tw
tw
1,353
= 0,9 ⋅ 6,1 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅
= 9519 kN ,
hw
29,8
30
= 22,2 ,
1,35
2
2
h 
 29,8 
m2 = 0,02 w  = 0,02 ⋅ 
= 3,1 ,

t 
 2,4 
 f 
(
)
(
)
l y = S s +2t f 1 + m1 + m2 = 8,55 + 2 ⋅ 2,4 1 + 22,2 + 3,1 = 32,7 cm ,
Fy =
λF =
l y tw f y
γ M1
Fy
Fcr
=
32,7 ⋅ 1,35 ⋅ 23,5
= 1037 kN ,
1
1037
= 0,33 .
9519
=
PoniewaŜ λF < 0,5 , to
m2 = 0 ,
(
)
l y = 8,55 + 4,8 1 + 22,2 = 31,2 cm ,
Fy = 31,2 ⋅ 1,35 ⋅ 23,5 = 990 kN ,
λF =
χF =
990
= 0,32 ,
9519
0,5
λF
=
0,5
= 1,56 ,
0,32
χ F = 1,
Leff = χ F l y = 1 ⋅ 31,2 = 13,35 cm ,
FRd = 31,2 ⋅ 1,35 ⋅ 23,5 = 990 kN ,
η2 =
Fz ,Ed 193,5
=
= 0,195 < 1 .
FRd
990
8. Interakcja obciąŜenia skupionego, momentu zginającego, siły podłuŜnej
Warunek interakcji (3.23) jest spełniony.
9. Nośność środnika od nacisków kół w strefie ujemnych momentów zginających (nad
podporą B), (rys. 2.13e)
Długość strefy obciąŜenia środnika od nacisku koła:
m1 =
2
2
 hw 
30
 29,8 


=
= 22,2 ; m2 = 0,02
= 0,02 ⋅ 
 = 3,83 .
t 
t w 1,35
 2,4 
 f 
f yf b f
f yw
Przyjęto rozstaw Ŝeber poprzecznych a = 7,5 m .
2
Z rys. 6.1 normy [7]
χ F = 0,5
0,9 k F E t w2
(leff − 2 t f ) f yw hw = 0,5
przyjęto χ F = 1 ,
2
h 
 29,8 
k F = 3,5 + 2  w  = 3,5 + 2 ⋅ 
 ≅ 3,5 ,
 a 
 750 
0,9 ⋅ 3,5 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 1,352
= 2,24 ,
(13,35 − 2 ⋅ 2,4 ) ⋅ 23,5 ⋅ 29,8
m2 = 0 ,
Leff = leff + 2t f m1 = 13,35 + 2 ⋅ 2,4 22,2 = 35,9 cm > 31,2 cm .
Nośność środnika pod obciąŜeniem skupionym jest nad podporą belki zapewniona.
10. NapręŜenia od momentów zginających (w pobliŜu podpory B)
Moment zginający (rys. 2.13e):
M y ,Ed = 12,0 ⋅ 1,35 + 1,5 ⋅ 139,3 = 16,2 + 209,0 = 225,1 kNm .
Siła poprzeczna:
Vz = 16 ⋅ 1,35 + 1,5 ⋅ 121,8 = 21,6 + 182,7 = 204,3 kN ,
σ x3 =
225,1 ⋅ 103
= 56,6 MPa ,
3983
σ x4 =
225,1 ⋅ 103
= 47,4 MPa ,
4786
τ x2 =
204,3
⋅ 20,2 = 35,4 MPa .
116,7
11. Nośność środnika wg kryterium uplastycznienia środnika
Nośność środnika obliczono zgodnie ze wzorem (3.33):
2
2
2
 σ x ,Ed (z )   σ oz ,Ed (z )   σ x ,Ed (z )   σ oz ,Ed (z ) 




 +
 −
 + 3  τ Ed  ≤ 1 ,
 f /γ   f /γ   f /γ   f /γ 
 f /γ 
 y M0   y M0   y M0   y M0 
 y M0 
w p. 3 przekroju
2
2
2
 57,6 ⋅ 1,1   66,2 ⋅ 1,1   57,6 ⋅ 1,1   66,2 ⋅ 1,1 
 35,4 ⋅ 1,1 + 8,0 ⋅ 1,1 

 +
 −
 −
+3
 = 0,376 < 1,
235 
235
 235   235   235  


w p. 4 przekroju warunek (11) jest takŜe spełniony, gdyŜ obliczone napręŜenia normalne są
mniejsze.
12. Nośność belki dwuprzęsłowej z uwzględnieniem zwichrzenia
Miarodajne będzie obciąŜenie belki generujące maksymalny przęsłowy moment zginający
od obciąŜeń pionowych (rys. 2.13a).
Utrata stateczności belki moŜe nastąpić przy dwukierunkowym zginaniu i dodatkowo
skręcaniu belki. Pomijając wpływ skręcania nośność moŜna obliczyć wtedy według wzoru
(3.37).
Zakładając, Ŝe moment zginający M z od obciąŜeń poziomych będzie przenoszony
tylko przez pas górny, to nośność moŜna takŜe sprawdzić według wzoru (3.38). Do
wyznaczenia współczynnika zwichrzenia χ LT wymagana jest znajomość wartości
momentu krytycznego inicjującego utratę stateczności ogólnej belki. Wartość momentu
krytycznego określono w sposób przybliŜony. W tym celu przyjęto zastępczy schemat
belki jak na rys. 3.11.
•
Nośność belki dwukierunkowo zginanej
Cechy geometryczne przekroju poprzecznego:
połoŜenie środka ścinania
z s = 2,65 m ,
wycinkowy moment bezwładności
I w = 3835000 cm 6 ,
moment bezwładności przy skręcaniu
I T = 357 cm 4 ,
parametr monosymetryczności
ky ≈ 0 ,
przyjęto µ w = µ y = β o = 1 .
Rys. 3.3. Momenty zginające zastępczej belki jednoprzęsłowej: a) wykres momentów
zginających od obciąŜeń siłami skupionymi i momentu M B , b) wykres momentów
zginających o najniekorzystniejszym ustawieniu sił pionowych, c) wykres momentów
zginających od momentu skupionego M B
Odległość punktu przyłoŜenia obciąŜenia od środka ścinania:
g = −(21,5 − 2,65) = −18,85 cm .
Moment krytyczny obliczono zgodnie z wzorem (3.46).
Wartość momentu od obciąŜeń pionowych:
przyjęto stałe Z i podobnie jak dla belki jednoprzęsłowej (rys. 3.11b), Z1 = 1,19 , Z 2 = 0,47
M cr = Z1
π 2 E I z 
= 1,19 ⋅
2
L

I ω G I T L2 
2
(
)
Z
g
+
Z
g
+
+
 2
 2
I z π 2 E I z 


0 ,5

=

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 10851 
3835000

2
⋅ − 0,47 ⋅ 18,85 + (− 0,47 ⋅ 18,85) +
+
2
750
10851


8100 ⋅ 357 ⋅ 7502 
+
3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅ 104 ⋅ 10851
0,5

 = 4753 ⋅  − 8,9 +

(− 8,9)2 + 353,4 + 724  = 1194 kNm.

Wartość momentu krytycznego od obciąŜenia momentem skupionym (ψ = 0) , rys. 3.11c:
przyjęto: Z1 = 1,88 (z pracy [35]), g = 0
M cr = 4753 ⋅
1,88
353,4 + 724 = 2464,7 kNm .
1,19
Wartość średnia:
M cr = 0,5 ⋅ (1194,0 + 2464,7 ) = 1824,35 kNm .
Nośność przekroju przyjęto dla belki bez szyny, stąd smukłość względna przy
zwichrzeniu:
λLT =
W yz f y
M cr
=
3466 ⋅ 23,5
= 0,647 ,
182435
z tablicy 2.13, krzywa a, przyjęto χ LT = 0,87 .
Nośność belki obliczono zgodnie ze wzorem (3.37):
M y ,Ed
χ LT M y ,Rk / γ M 1
M zT,Ed
+
≤ 1,
M z ,Rk / γ M 1
grupa obciąŜenia 1
M y ,Ed = 12,2 ⋅ 1,35 + 0,9 ⋅ 1,5 ⋅ 249 = 352,6 kNm ,
M z ,Ed = 26,3 ⋅ 1,5 ⋅ 0,9 = 35,5 kNm .
PoniewaŜ pas ściskany jest ścianką kl. 1 nośność obliczeniową przekroju pasa obliczono
z uwzględnieniem wskaźników wytrzymałości ze współczynnikami α pl :
M y ,Rk = M y , pl = 3466 ⋅ 1,09 ⋅ 23,5 = 887,8 kNm ,
M z ,Rk = M z , pl = 1,5 ⋅ 362,7 ⋅ 23,5 = 127,85 kNm ,
nośność przekroju:
352,6 ⋅ 1,1 35,5 ⋅ 1,1
+
= 0,5 + 0,31 = 0,81 < 1 ,
0,87 ⋅ 887,8 127,85
grupa obciąŜenia 5
M y ,Ed = 12,2 ⋅ 1,35 + 0,9 ⋅ 1,5 ⋅
110,0
⋅ 249 = 303,1 kNm ,
129,0
M z ,Ed = 1,5 ⋅ 0,9 ⋅ 39,6 = 53,46 kNm ,
nośność
0,5 ⋅
303,1
53,46
+ 0,31 ⋅
= 0,43 + 0,47 = 0,9 < 1 .
352,6
35,5
•
Nośność belki oceniana jako pręt o przekroju zastępczym ściskany i zginany
jednokierunkowo
Schemat zastępczy obciąŜonej belki – pręta pokazano na rys. 3.11a, a przekrój zastępczy
na rys. 3.12.
Rys. 3.4. Przekrój zastępczy pasa ściskanego i jednostronnie zginanego
Przekrój zastępczy składa się z pola szyny, pasa górnego i 1/5 pola środnika.
Pole środnika Aw = A − 2b f t f = 198 − 2 ⋅ 30 ⋅ 2,4 = 54 cm 2 .
Wysokość współpracującego pasma środnika l e = 0,7l = 0,7 ⋅ 750 = 525 cm .
Pole przekroju zastępczego:
A f = 3 ⋅ 5 + 2,4 ⋅ 30 + 1,35 ⋅ 8 = 97,8 cm 2 ,
I z , f = 5451 cm 3 ,
Wz , f = 363,4 cm 3 .
Moment statyczny przekroju zastępczego:
S y , f = 15 ⋅ 20 + 72 ⋅ 17,3 + 10,8 ⋅ 12,1 = 1676 cm 3 .
Siła ściskająca pas zastępczy (ze wzoru 3.40).
Przyjęto moment zginający M y , z grupa 1 obciąŜeń:
NF =
35260
⋅ 1676 = 921,6 kN ,
64126
M z = 35,5 kNm .
Promień bezwładności pasa ściskanego:
iz , f =
5451
= 7,47 cm .
97,8
Przyjęto długość wyboczeniową le = 0,7l = 0,7 ⋅ 750 = 525 cm ,
λf =
525
= 0,75 , przyjęto χ z = 0,78 .
7,47 ⋅ 93,9
Przyjęto k zz = 1,09 .
Warunek nośności (3.39):
921,6 ⋅ 1,1
35,5 ⋅ 1,09 ⋅ 1,1
+
= 0,565 + 0,399 = 0,964 < 1 .
0,78 ⋅ 97,8 ⋅ 23,5 363,4 ⋅ 1,25 ⋅ 23,5
Nośność belki zapewniona.