Zapisz jako PDF

Definicje i przykłady
Zbieżność szeregu
Dla danego ciągu {
} utwórzmy nowy ciąg {
Def. Jeśli wyżej zdefiniowany ciąg {
}, zdefiniowany jako:
} posiada granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem:
i nazywamy sumą szeregu nieskończonego
. Mówimy w takim przypadku, że
szereg jest zbieżny. Jeśli powyższa granica nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Uwaga o ciągach i szeregach
Szeregi możemy więc uważać za szczególny przypadek ciągów. Mają one jednak swoją specyfikę, a
przy tym są na tyle ważne, że rozważa się je na ogół odrębnie.
Przykładem takiej pewnej odrębności problemów przy rozważaniu ciągów i szeregów jest problem
ich zbieżności. W przypadku ciągów (przynajmniej tych które rozważaliśmy) w większości
przypadków umiemy policzyć ich granice. Inaczej jest z szeregami: Za pomocą dostępnych nam
środków rzadko umiemy znaleźć wartość granicy i najczęściej rozważanym problemem jest problem
zbieżności szeregu.
Ciąg sum częściowych
Ciąg {
} nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu nieskończonego.
Przykłady
1. Szereg:
jest rozbieżny do
2. Szereg geometryczny
i dla
ciąg {
, ponieważ
.
jest zbieżny, gdy
. Mamy bowiem:
} jest zbieżny, a jego granica jest
3. Szereg
jest rozbieżny; ciąg {
i nie posiada ani właściwej, ani niewłaściwej granicy.
} jest w tym przypadku:
-ta reszta szeregu
tą resztą szeregu
nazywamy szereg
Stwierdzenie
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
.
Dowód
Zauważmy, że jeśli szereg
przy każdej wartości . Ponieważ
jest zbieżny, to również szereg (2) jest zbieżny
więc
CBDO
Ogólne własności szeregów związane ze zbieżnością
Niektóre własności szeregów są bezpośrednimi konsekwencjami własności ciągów. W tym
podrozdziale wymienimy właśnie takie.
Twierdzenie (Warunek Cauchy'ego)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg
był zbieżny, jest, aby:
Dowód
Widzieliśmy, że zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności jego sum częściowych. Ponadto,
przypomnijmy sobie warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu { }: Mówił on, iż
a że
CBDO
jest
tą sumą częściową szeregu, to otrzymujemy warunek (3).
Twierdzenie
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
.
Uwaga
Innymi słowy, jeśli
, to szereg
nie jest zbieżny.
Dowód
Mamy:
ponieważ
, co daje
.
CBDO
Uwaga
Powyższe twierdzenie nie daje się odwrócić. Istnieją bowiem szeregi
których jednak
rozbieżne, dla
. Takim szeregiem jest szereg harmoniczny:
Mamy bowiem:
tak, więc ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest ograniczony przez 1/2.
Tak więc
, czyli ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest rozbieżny, a to
znaczy, że sam szereg harmoniczny też jest rozbieżny (do
).
Szereg ograniczony
Szereg nazywamy ograniczonym, jeśli ciąg jego sum częściowych jest ograniczony (tzn. jeśli istnieje
taka liczba
, że dla każdego
:
).
Twierdzenie
Każdy szereg zbieżny jest ograniczony.
Dowód
jest to inne wypowiedzenie znanego nam twierdzenia, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
CBDO
Twierdzenie o zbieżności sumy szeregów i iloczynu szeregu przez stałą
Mamy dwa naturalne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregu sumy oraz iloczynu szeregu przez
stałą.
Twierdzenie o zbieżności sumy
Jeżeli szeregi
i
są zbieżne, to
Dowód
Dla ustalenia uwagi weźmy sumę. Mamy
dla różnicy dowód jest analogiczny.
CBDO
Twierdzenie o iloczynie
Jeżeli szereg
jest zbieżny, to dla dowolnej stałej
Dowód
Mamy bowiem
CBDO
Wniosek
W szczególności
Szeregi naprzemienne-twierdzenie Leibniza; twierdzenie
Abela
Szereg naprzemienny — definicja
Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci
gdzie
Twierdzenie Leibnitza
(zwane też częściej kryterium Leibniza) Szereg naprzemienny (4), spełniający warunki
oraz
jest zbieżny. Ponadto sumy częściowe tego szeregu:
szeregu spełniają nierówności
Dowód
Ciąg sum częściowych o wskaźnikach parzystych jest niemalejący. Mamy bowiem
oraz suma
Jest to jednocześnie ciąg ograniczony, ponieważ
Skoro tak, to ciąg
jest zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez :
udowodnimy zbieżność szeregu (5) dowodząc, że
Mamy
bo
. Zauważmy, że
.
, co daje
na mocy założenia.
Wreszcie, nierówności (6) wynikają z faktów, że ciąg
większa lub równa dowolnemu z wyrazów ciągu), zaś ciąg
dla dowolnego
jest rosnący (więc jego granica jest
jest malejący (więc
).
Przykład
Szereg anharmoniczny:
jest zbieżny. Pokażemy później, że sumą tego szeregu jest
. Interpretacja elektrostatyczna: suma
szeregu anharmonicznego to połowa energii elektrostatycznej (w przeliczeniu na 1 jon)
jednowymiarowego kryształu jonowego (por. Feynman, t.2 cz. 1)
Rysunek sieci krystalicznej
CBDO
Twierdzenie (Abela)
(zwane też częściej kryterium Abela)
Jeśli ciąg {
jest zbieżny.
} dąży monotonicznie do zera, zaś szereg sum częściowych ciągu {
jest ograniczony, to szereg
}:
Dowód
Oznaczmy przez
ciąg sum częściowych szeregu
mocy założenia, istnieje takie
, że dla każdego
:
. Na
zachodzi
.
Aby dowieść, że szereg (8) jest zbieżny, oszacujmy sumę
dla
. Zauważmy najsampierw, iż
dla każdego
i
, ponieważ
Wyrażenie (9) przepiszmy teraz tak:
na mocy (10).
Analogicznie mamy
, a stąd
Weźmy teraz jakieś
, że
. Zakładamy, że ciąg {
} jest zbieżny do zera; znaczy to, że istnieje takie
. Wyżej udowodniliśmy (11), co przepiszemy jako
. Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności ciągu (jeżeli
dużych, to ciąg {
} jest zbieżny), szereg
dla
dostatecznie
jest zbieżny.
CBDO
Uwagi
1. Z wzoru (11) mamy oszacowanie na sumę szeregu:
jest tak, ponieważ na
mocy wzoru (11) nierówność
zachodzi dla każdego
.
2. Uwaga 2. Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Abela: W tym ostatnim
trzeba za ciąg {
} wziąć
.