rozwiązania 6 serii

Zadanie 1.
Z kryterium asymptotycznego wiemy, że szereg podany w zadaniu jest zbieżny ⇔
jest zbieżny.
ln(n2 +1)
√
n=dee n+(−1)n n+n ln n
P∞
√
√
2
1
n(e n ln(n +1) − 1) n1 ln(n2 + 1)
n( n n2 + 1 − 1)
ln(n2 + 1)
n( n n2 + 1 − 1)
√
√
lim
=
lim
÷
=
lim
=1
1
2
2
n→∞ n + (−1)n n + n ln n n + (−1)n n + n ln n
n→∞
n→∞
ln(n2 + 1)
n ln(n + 1) ln(n + 1)
P∞
P∞
ln(n2 +1)
2
√
√
Dalej, szereg n=dee n+(−1)
n n+n ln n jest zbieżny ⇔
n=3 n+(−1)n n+n ln n jest zbieżny,co wykorzystując ponownie kryterium asymptotyczne sprowadza się do prostych obliczeń.
Zachodzi
2
2
2
√
√
=
≥
(−1)n n
n
3n
n + (−1)n n + n ln n
+
+n
ln n
ln n
Z kryterium porównawczego szereg ten jest robieżny, więc rozbieżny jest też szereg podany w zadaniu.
Zadanie 2.
Zachodzi
(2 + (−1)n ) ln ln ln n
3 ln ln ln n
√
√
≤ Pn 1
= bn
Pn 1
n( k=1 k )(n( n ln n − 1))2
n( k=1 k )(n( n ln n − 1))2
P∞
P∞
ln ln n
Szereg n=81 bn jest zbieżny ⇔ zbieżny jest szereg n=81 n lnlnn·(ln
ln n)2 , co wynika z kryterium asymptotycznego.
an =
lim
n→∞
ln ln ln n
3 ln ln ln n
√
÷
=
Pn 1
n
2
n ln n · (ln ln n)2
n( k=1 k )(n( ln n − 1))
3n ln n · (ln ln n)2
√
=
Pn 1
n
2
n→∞ n(
k=1 k )(n( ln n − 1))
3 ln ln ln n
lim
=
1 ln ln n
Pn
n→∞
n
(n e 1 ln ln n−1 n1 ln ln n)2 k=1 k1
lim
n
3 ln n
lim Pn 1 = 3
n→∞
k=1 k
P∞
ln ln ln n
Pokazanie, że szereg
n=81 n ln n·(ln ln n)2 jest zbieżny sprowadza się do dwukrotnego zastosowania
kryterium zagęszczeniowego, co kończy zadanie.
Zadanie 3.
Najpierw pokażemy lemat pomocniczy:
Pn+1
Pn
1
k=1 k
ln n
>
n+1
>1
Podobno z ćwiczeń wiadomo, że ln( n+1
n )
1
1
k=1 k
ln(n + 1)
n
n+1 X 1
(n + 1) ln(
)(
) > ln n
n
k
k=1
n
X
ln n
1
(ln(n + 1) − ln n)
>
k
n+1
k=1
n
n
X
X
1
ln n
1
ln(n + 1)
>
+ ln n ·
k
n+1
k
k=1
k=1
Pn 1
Pn+1 1
k=1 k
k=1 k
>
ln n
ln(n + 1)
Dalej będziemy korzystam z kryterium Dirichleta.
P∞
Zapiszmy szereg z zadania jako n=81 an · bn , gdzie an = ln ln1ln n , a bn =
Ciąg an jest monotoniczny i zbiega do 0, co można uznać za oczywiste.
n
P
(−1)b 48 c n
k=1
ln n
1
k
P∞
Pozostało pokazać, że ciąg sum częściowych szeregu n=81 bn jest ograniczony. Wystarczy,
P∞że pokażemy, że ciąg sum częsciowych składający się z pogrupowanych znakami wyrazów szeregu n=96 bn
jest ograniczony, ponieważ z monotoniczności między kolejnymi pogrupowanymi wyrazami, ograniczenie przenosi się z podciągu na cały ciąg sum częściowych. Ponieważ początkowe wyrazy nie mają
wpływu na ograniczenie, możemy badać szereg od n = 96. Można zauważyć, że ciąg sum częściowych
jest ograniczony przez b1 , co uda się udowodnić chociażby indukcyjnie (po rozpatrzeniu kilku przypadków bazowych widać jak udowodnić krok indukcji) pozostawiam tę część rozwiązania jako nietrudne
zadanie dla czytelnika.
Zadanie 4.
Pokażemy, że szereg jest rozbieżny przez wykazanie,
P∞że ciąg sum częsciowych Sn3 jest robieżny. Niech
Rn = Sn3 , szereg utworzony z ciągu sum Rn , to n=1 an , gdzie
1
1
1
+
+
...
+
an = (−1)n
2
2
2
(n3 ) 3
(n3 + 1) 3
((n + 1)3 − 1) 3
2
Szacujemy każdy składnik sumy |an | przez najmniejszy wyraz, stąd |an | ≥ 3n +3n+1
2 ≥ 1, z czego
((n+1)3 −1) 3
P∞
wynika, że an 6→ 0, więc szereg n=1 an jest rozbieżny, ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
zbieżności. W skutek czego ciąg Sn3 również jest rozbieżny, co daje nam wreszcie rozbieżność szeregu
podanego w zadaniu.
2