Macierze i wyznaczniki
Transkrypt
Macierze i wyznaczniki
ALGEBRA LINIOWA 1 Specjalna lista zadań* Uwaga. Lista zawiera tylko zadania "z gwiazdką" - znacznie trudniejsze i nietypowe. Jest ona przeznaczona dla studentów pragnących głębiej zastanowić się nad tematyką kursu. Lista jest przygotowana również z myślą o tych osobach, które zamierzają ubiegać się w przyszłości o ocenę celującą 5,5 z kursu ALGEBRA LINIOWA 1, ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITCZNĄ lub innych kursów o podobnej tematyce. Prezentowane tu zadania pojawiły się na egzaminach na ocenę celującą organizowanych od roku 1995. 3. Macierze i wyznaczniki 3.1* 3.2* Uzasadnić, że nie istnieją macierze A, B spełniające warunek AB − BA = I , gdzie I oznacza macierz jednostkową. (cel-11-3) Znaleźć wszystkie macierze A stopnia 1998, które spełniają równości A 1997 = I, A 2000 = I . Odpowiedź uzasadnić. (cel-6-2) 3.3* Pokazać, że macierz 102495 370628 835044 663780 550429 909093 601178 487252 873296 127450 624655 292276 660697 925601 263392 593107 jest nieosobliwa. Odpowiedź uzasadnić. (cel-09-3 ) 3.4* Elementami macierzy kwadratowej stopnia 4 są tylko liczby −2 oraz 1 (dowolnie ustawione). Pokazać, że wyznacznik tej macierzy jest podzielny przez 27 . (cel-12-2) 3.5* Pokazać, że istnieje macierz kwadratowa stopnia 12 , złożona tylko z liczb −1, 0, 1 , której wyznacznik jest równy 1995. (cel-02-2) Obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej [a ij ] stopnia n ∈ N , gdzie a ij = min { i, j } dla 1 ≤ i, j ≤ n . (cel-14-2) 3.6* 3.7* Obliczyć wyznacznik macierzy [a ij ] stopnia n ≥ 3 , której elementy mają postać 2 dla i = j, a ij = 1 dla i − j = 1, . 0 dla i − j ≥ 2. (cel-15-3) 3.8* Obliczyć det A dla macierzy A = [a ij ] stopnia 2005 określonej następująco: a i i+1 = 2005 dla 1 ≤ i ≤ 2004 , a i i+2 = −2004 dla 1 ≤ i ≤ 2003 , a ii−1 = −2005 dla 2 ≤ i ≤ 2005 , a i i−2 = 2004 dla 3 ≤ i ≤ 2005 , a ij = 0 w pozostałych przypadkach. (cel-17-3) 3.9* Niech A będzie antysymetryczną macierzą stopnia 1997 . Obliczyć wyznacznik macierzy 1996 A − 1998 A T . (cel-05-2) 3.10*. Macierz A spełnia warunek A 2007 = O . Pokazać, że wówczas det ( I + A + A 2 + ... + A 2006 ) ≠ 0. (cel-19-3) 3.11* Elementami macierzy kwadratowej są liczby 0, 1, 2, …, 9 . Każdy wiersz tej macierzy czytany jako liczba w systemie dziesiętnym jest podzielny przez 7 . Udowodnić, że wyznacznik tej macierzy także jest podzielny przez 7 . (cel-03-1) 3.12* Miejscowości M 1 , M 2 , ..., M n położone są przy prostoliniowej drodze. Odległość między miejscowościami M i oraz M j jest równa d ij , gdzie 1 ≤ i, j ≤ n . Udowodnić, że det [d ij ] ≠ 0 . (cel-01-1) 3.13* Pierwszy wiersz wyznacznika stopnia n , gdzie n ≥ 2 , tworzą kolejne liczby pierwsze 2, 3, 5, ..., p n . Pokazać, że w pozostałe wiersze wyznacznika można wpisać liczby naturalne tak, aby był on równy 1 . (cel-16-3) 3.14* Niech I oznacza macierz jednostkową stopnia n ∈ N . Ponadto niech a 1 , a 2 , ..., a n oraz b 1 , b 2 , ..., b n będą liczbami rzeczywistymi. Uzasadnić równość (cel-08-4) det ( I + a1 a2 .. . an a1 a 2 . . . . . . ) = 1 + det ( bn b1 b2 b n .. ) . b1 b2 . an 3.15* Na płaszczyźnie zespolonej dane są trójkąty o wierzchołkach z 1 , z 2 , z 3 oraz w 1 , w 2 , w 3 . Pokazać, że te trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy z1 z2 z3 det w 1 w 2 w 3 = 0 . 1 1 1 (cel-18-1) 3.16* Uzasadnić, że równanie macierzowe −1 5 3 2X + 2X = −2 1 2 0 −4 −3 2 nie ma rozwiązań w zbiorze macierzy rzeczywistych. (cel-18-3) 3.17* Niech X 1 = [ 1 1 1 ], X 2 = [ 1 −1 2 ] oraz X 3 = [ 2 2 1 ] . Macierze A i B wymiaru 3 × 1999 spełniają równości: X 1 A = X 1 B, X 2 A = X 2 B, X 3 A = X 3 B . Czy A = B ? Odpowiedź uzasadnić. (cel-08-3) 3.18* Macierz A jest odwracalna i ma następującą własność: wszystkie elementy jej głównej przekątnej są jednakowe oraz wszystkie elementy spoza jej głównej przekątnej są jednakowe. Zbadać, czy macierz A −1 ma tę samą własność. (cel-18a-3) 3.19* Macierz A spełnia warunek A + A −1 1 3 5 = 0 2 4 . Obliczyć A 3 + A −3 . 0 0 3 (cel-07-1) 3.20* Macierz P jest odwracalna. Obliczyć sumę wszystkich elementów głównej przekątnej macierzy A = P −1 ⋅ 1 0 0 .. . 0 0 2 0 .. . 0 0 0 3 .. . 0 ... 0 ... 0 . . . 0 ⋅ P. . .. . .. . . . 2000 (cel-10-3) 3.21* Liczba zespolona z ≠ 1 jest pierwiastkiem równania z 5 = 1 . Uzupełnić zapis 1 1 1 1 1 1 z z4 z2 z3 1 z2 z3 z4 z1 1 z3 z2 z1 z4 1 z4 z z3 z2 −1 = 15 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . 1 . . . . . (ce1-13-3) Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas październik 2007