zadanie 9

Zadanie 1.9
Wielomian charakterystyczny pewnej macierzy A4×4 ma postać:
p(λ) = λ4 + 6λ3 + 8λ2 − 3λ + 8
Ile wynosi ślad trace(A) i wyznacznik det(A)?
Rozwiązanie tego zadania wiąże się z powiązaniami pomiędzy poszczególnymi współczynnikami wielomianu charakterystycznego a wartościami własnymi macierzy.
Twierdzenie. Niech λn + c1 λn−1 + c2 λn−2 + · · · + cn−1 λ + cn = 0 będzie równaniem charakterystycznym macierzy An×n i liczby λ1 , λ2 , . . . , λn będą wartościami własnymi tej macierzy.
Wtedy zachodzi:
• trace(A) = λ1 + λ2 + . . . + λn = −c1
• det(A) = λ1 · λ2 · . . . · λn = (−1)n cn
Dowód. Wiedząc, że p(λ) = det(A − λI) = (−1)n λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−1 λ + an to
wielomian charakterystyczny macierzy, a równanie charakterystyczne macierzy λn + c1 λn−1 +
c2 λn−2 + · · · + cn−1 λ + cn = 0, czyli zachodzi związek ci = (−1)i ai .
Zauważmy, że biorąc r-tą pochodną wielomianu charakterystycznego p(λ) w punkcie 0,
dostajemy p(r) (0) = r!an−r , i w ten sposób
cn−r =
(−1)n (r)
p (0).
r!
W tym miejscu należy zastosować regułę różniczkowania wyznacznika macierzy (twierdzenie i
dowód przedstawione jest na końcu opracowania) do ogólnej definicji wielomianu charakterystycznego
d
d
d
p(λ) =
det(D) =
det(A − λI) = det(D1 ) + det(D2 ) + . . . + det(Dn ),
dλ
dλ
dλ
gdzie macierze Di są podobne do macierzy D = A − λI z wyjątkiem i-tego wiersza, który jest zróżniczkowany. W tym przypadku widać, że niezerowe są tylko pierwsze pochodd
ne wierszy macierzy i dają one kolejne wektory bazy przemnożone przez −1, np. dλ
(a11 −
λ, a12 , a13 , . . . , a1n ) = (−1, 0, 0, . . . , 0). Różniczkując zatem wyznacznik dający wielomian charakterystyczny otrzymujemy następującą formułę:
p(r) (λ) =
X
Di1 ···ir (λ),
ij 6=ik
gdzie symbol Di1 ···ir (λ) oznacza wyznacznik macierzy identycznej do A − λI, z wyjątkiem
wierszy i1 , i2 , . . . ir , które zostały zastąpione wspomnianymi wcześniej „ujemnymi” wektorami
bazy. Biorąc λ = 0 dostajemy, że Di1 ···ir (0) = (−1)r det(Ai1 ···ir ), gdzie macierz Ai1 ···ir jest
identyczna do A z wyjątkiem wierszy i1 , i2 , . . . ir , które zostały zamienione na wektory bazy.
Można zauważyć, że ten wyznacznik jest po prostu minorem głównym n − r × n − r macierzy
A, powstałego przez wykreślenie tych zmienionych wierszy. W ten sposób otrzymujemy:
p(r) (0) =
X
(−1)r det(Ai1 ···ir ) = r!(−1)r
ij 6=ik
1
X
(minory główne n − r × n − r),
gdzie czynnik r! pojawił się z uwagi na wszystkie możliwe permutacje pomiędzy wierszami
„podmienionymi”, niezmieniającymi wyznacznika. Wykorzystując otrzymane zależności do
wyznaczenia współczynników stojących w równaniu charakterystycznym otrzymujemy:
cn−r =
X
(−1)n (r)
p (0) = (−1)n−r
(minory główne n − r × n − r).
r!
W ten sposób podkładając n − r = 1 otrzymujemy minory 1 × 1, równe po prostu wartościom
własnym macierzy. Licząc ich sumę otrzymamy ślad macierzy.
Podkładając n − r = n suma z prawej strony tej zależności ma tylko jeden składnik i jest
to wyznacznik macierzy A.
Korzystając zatem z udowodnionego twierdzenia możemy odczytać żądane wartości wprost
ze współczynników w wielomianie charakterystycznym.
Twierdzenie. Twiedzenie o różniczkowaniu wyznacznika macierzy Jeżeli elementy
macierzy An×n = [ai j] są różniczkowalne względem danego parametru t, to wtedy:
d
det(A) = det(D1 ) + . . . + det(Dn ),
dt
gdzie Di to macierz identyczna z A z wyjątkiem, że i-ty wiersz jest zamieniony z jego pochodną
wzlędem t.
Dowód. Wychodząc z podstawowej definicji wyznacznika macierzy (permutacyjnej):
X
d
d X
σ(p)a1p1 a2p2 . . . anpn =
det(A) =
σp a01p1 a2p2 . . . anpn + a1p1 a02p2 . . . anpn + . . .
dt
dt p
p
+a1p1 a2p2 . . . a0npn = det(D1 ) + det(D2 ) + . . . + det(Dn )
2