DODATEK „D” METODA „SKREŚLANIA ZER I BIEGUNÓW” ∏

DODATEK „D”
METODA „SKREŚLANIA ZER I BIEGUNÓW”
Dany jest układ regulacji pokazany na rys. 1 z obiektem wieloinercyjnym o postaci:
K s 
k
n
 1  T s 
i 1
w(t)
e(t)
u(t)
Kr(s)
.
(1)
i
K(s)
y(t)
Rys 1. Układ sterowania z regulatorem (korektorem) Kr(s) i obiektem K(s)
Metoda "skreślania zer i biegunów" polega na dodaniu do układu członu
korekcyjnego o transmitancji typu:
Kr  s   k
1  sT
;  1
1  s T
przy tak dobranych parametrach, aby licznik tego ułamka był identyczny z jednym z
czynników mianownika transmitancji układu otwartego. W wyniku otrzymuje się
kilkakrotne (w stosunku l:α) zmniejszenie interesującej nas stałej czasowej, a więc
znaczne odsunięcie jednego z biegunów od osi liczb urojonych. Zabieg ten ma
dwojakie skutki.
Po pierwsze, oddalenie konfiguracji zer i biegunów układu otwartego (a więc
związanych z nim linii pierwiastkowych) od osi liczb urojonych powoduje
przyśpieszenie przebiegów dynamicznych oraz niekiedy umożliwia stosowanie
większych wartości współczynnika wzmocnienia bez utraty stabilności.
Po drugie, przy stosowaniu skreśleń obecność członów korekcyjnych nie
podnosi stopnia transmitancji, nie wprowadza dodatkowych biegunów lub zer. W
związku z opisaną metodą istnieje kilka zastrzeżeń. Najważniejsze z nich to:
a) skreślanie jest zabiegiem dokładnym i daje wyniki całkowicie przewidywalne w
przypadku członów idealnie liniowych;
(D) -1-
b) skreślanie wymaga, aby położenia zer i biegunów nie zmieniały się zależnie od
zmian warunków pracy;
c) skreślanie
może
wymagać
zastosowania
dość
złożonych
członów
korekcyjnych, np. gdy chce się niweczyć działanie biegunów zespolonych.
Dlatego czasami stosuje się człony korekcyjne zbliżonego typu, ale nie
realizujące ściśle rozumianego skreślania.
Algorytm strojenia regulatorów PID z wykorzystaniem metody ,,skreślania zer i
biegunów”
Podobny schemat postępowania można zastosować dla regulatorów typu PID. W
tym celu regulatory należy przestawić w alternatywnych formach zapisu:

T s 
PD: K r  s   kr 1  D 
 1  Tf s 

 Tf
 kr*
TD
1  Ta s
s  z1
 kk
1  Tb s T T
s  p1
a
b

s  z1
1 
* 1  Tc s
PI: K r  s   kr 1 
 kk
  kr
s
s
 TI s 

1  Ta s 1  Tc s   k  s  z1  s  z2 
T s 
1
 D   kr*
PID: K r  s   kr 1 
k
 TI s 1  T f s 
s 1  Tb s 
s  s  p1 


Dla tak zdefiniowanych regulatorów, z wykorzystaniem stałych czasowych Ta , Tb , Tc i
wzmocnienia kr* , algorytm strojenia regulatora Kr(s) według metody ,,skreślania zer i
biegunów” w układzie z rys. 1 dla obiektu (1) przebiega następująco:

Układ z korekcją przyśpieszającą – regulator PD: K r  s   kr*
1  sTa
; Ta  Tb .
1  sTb
1. Ustalić wzmocnienie kr* =1.
2. Dobrać stałą czasową Tb mianownika regulatora w następujący sposób:
Tb    Ti min
gdzie:   1 oraz Ti min  min Ti  i =1,2,3,...
Stałą czasową licznika Ta  regulatora należy dobrać w taki sposób, aby skrócić
z jednym z czynników mianownika transmitancji obiektu, co ma doprowadzić do
(D) -2-
oddalenia konfiguracji zer i biegunów układu otwartego (a więc związanych z
nim linii pierwiastkowych) od osi liczb urojonych.
3. Wykreślić linie pierwiastkowe1 dla układu z korektorem.
Wyznaczyć wartość wzmocnienia korygującego kr* dla którego spełnione jest
wymaganie projektowe (np. zadany stopień stabilności lub oscylacyjności).

Układ z korekcją opóźniającą – regulator PI: K r  s   kr*
1  Tc s
.
s
1. Ustalić wzmocnienie kr* =1.
2. Wprowadzić biegun w początku układu współrzędnych.
Stałą czasową licznika Tc  regulatora należy natomiast dobrać w taki sposób,
aby skrócić z jednym z czynników mianownika transmitancji obiektu.
3. Wykreślić linie pierwiastkowe1 dla układu z korektorem.
4. Wyznaczyć wartość wzmocnienia korygującego kr* dla którego spełnione jest
wymaganie projektowe (np. zadany stopień stabilności lub oscylacyjności).

Układ z regulatorem PID: K r  s   kr*
1  Ta s 1  Tc s  .
s 1  Tb s 
1. Ustalić wzmocnienie kr* =1.
2. Wprowadzić biegun w początku układu współrzędnych oraz drugi czynnik,
związany ze stałą czasową Tb :
Tb    Ti min
gdzie:   1 oraz Ti min  min Ti  i =1,2,3,...
Stałe czasowe licznika regulatora
Ta , Tc 
należy natomiast wybrać w taki
sposób, aby skrócić z dwoma czynnikami mianownika (stałymi czasowymi)
transmitancji obiektu.
3. Wykreślić linie pierwiastkowe1 dla układu z korektorem.
4. Ustalić wartość wzmocnienia korygującego kr* dla którego spełnione jest
wymaganie projektowe (np. zadany stopień stabilności lub oscylacyjności).
1
lub inną charakterystykę, dla której zdefiniowano wymaganie projektowe
(D) -3-