A Zadanie 1. Zmienna losowa X ma g˛estosc rozkładu dan ˛a

A
Zadanie 1. Zmienna losowa X ma g˛estość rozkładu dana˛ wzorem
(
f (x) =
0,
6/5(1 −
0,
1
),
x2
x<2
x ∈ [2, 3]
x>3
. Niech Z = X 2 + 1. Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a która fałszywa.
a) P (Z ∈ (5, 10)) = 1
b) Funkcja
(
F (z) =
0, √
6/5( z − 1 +
1
√1 )
z−1
− 3,
z≤5
z ∈ (5, 10)
z ≥ 10
jest dystrybuanta˛ zmiennej losowej Z.
c) Zmienne X i Z sa˛ niezależne
d) E(X) ≤ 3
e) E(Z) ≤ E(X 2 )
Zadanie 2. Niech Ω := [0, 1] × [0, 1] i rozważmy schemat geometryczny (Ω, F, P ). Określmy zmienne losowe
X, Y : Ω → R nast˛epujaco:
˛ X(x, y) = xy oraz Y (x, y) = y 2 . Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a która
fałszywa.
a) Zmienna Y ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1].
b) P (X = Y ) = 0.
c) P (X ≤ 41 , Y ≤ 12 ) =
1
4
d) Zmienne X i Y sa˛ niezależne.
e) E(X) = 14 .
Zadanie 3. O zmiennych X, Y wiadomo, że sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie danym
g˛estościa˛
(
0,
x<0
f (x) = 12 + x, x ∈ [0, 1]
0,
x>1
. Niech Z = 5X + 7Y oraz T = XY . Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a która fałszywa.
a) E(Z) = 7.
b) D2 (Z) = 5D2 X + 7D2 Y .
c) D2 (T ) > 1.
d) E(T ) =
49
.
144
e) E(T ) ≥ E(X).
Zadanie 4. Niech A, B, C ⊂ P(Ω), przy czym P (A), P (B) i P (C) > 0. Zaznacz, która z odpowiedzi jest
prawdziwa, a która fałszywa.
a) C ⊂ A ∩ B, P (B \ A) > 0 ⇒ P (C|A) > P (C|A ∪ B).
b) P (A|B) > P (A) ⇔ P (B|A) > P (B).
c) Jeśli zajście C zwi˛eksza szans˛e zajścia A i zajście C zwi˛eksza szans˛e zajścia B, to zajście C zwi˛eksza szans˛e
zajścia A ∩ B.
d) P (A) = 0.9, P (B) = 0.8 ⇒ P (A|B) = 0.875.
e) P (A|B) = P (A) ⇒ P (B|A) = P (B).
Zadanie 5. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni probabilistycznej uzyskaliśmy informacj˛e, iż nast˛epujace
˛
prawdopodobieństwa: P (A|(B ∩ C)), P (B|(A ∩ C)), P (C|(A ∩ B)) sa˛ określone i wynosza˛ odpowiednio 0.6, 0.3
oraz 0.9. Niech p = P ((A ∩ B ∩ C)|(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)). Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a
która fałszywa.
a) p = 9/55
b) uzyskane informacje nie wystarczaja˛ do określenia p
c) P ((A \ B) ∩ C) > P ((B \ A) ∩ C)
d) uzyskane informacje nie wystarczaja˛ do określenia P (A ∩ B ∩ C)
e) p = 9/37
Wsakzówka. Wyraź prawdopodobieństwa P (A∩B), P (A∩C), P (B ∩C) oraz P ((A∩B)∪(A∩C)∪(B ∩C))
poprzez prawdopodobieństwo P (A ∩ B ∩ C).
Zadanie 6. Do dyspozycji mamy dwie urny, w I znajduja˛ si˛e 3 kule białe i dwie czarne, a w II 3 białe i jedna czarna.
Losujemy ze zwracaniem kul˛e z pierwszej urny. Jeśli okaże si˛e, że wylosowana kula jest biała, kontynuujemy losowanie
z urny I. W przeciwnym przypadku zwracamy kul˛e i dalsze losowania przeprowadzamy z urny II. Niech Xn = 1 jeśli
w n-tym losowaniu wylosowano kul˛e biała,˛ a Xn = 0 w przeciwnym przypadku. Niech Z = min{n| Xn = 1} oraz
Z = 0 jeśli takie n, że Xn = 1 nie istnieje. Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a która fałszywa.
a) P (X2 = 1) >
9
.
25
b) EXn ≥ ( 53 )n .
c) P (X3 = 0) ≤ 25 .
d) P (Z = 0) > 0.
e) Dla n ≥ 2 zachodzi: P (Z = n) =
3 1 n−2
( )
.
10 4
Zadanie 7. Pobieramy 8 niezależnych realizacji jednowymiarowej zmiennej losowej X o nieznanym (ale ciagłym)
˛
rozkładzie. Po uporzadkowaniu
˛
zaobserwowanych wartości w ciag
˛ rosnacy
˛ (z1 , ..., z8 ) tworzymy przedział (z2 , z7 ).
Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że tak określony przedział pokrywa wartość mediany rozkładu X. (Mediana˛
rozkładu X nazywamy taka˛ liczb˛e m, że P (X < m) = P (X > m) = 0.5). Zaznacz, która z odpowiedzi jest
prawdziwa, a która fałszywa.
a) P = 119/128
b) P = 120/128
c) wartość P nie zależy od tego, czy E(X) = 0
d) wartości P nie da si˛e obliczyć, gdyż zależy ona od rozkładu X
e) wartości P nie da si˛e obliczyć, gdyż zależy ona od tego, czy E(X) = 0 czy nie
Zadanie 8. Z przedziału [−1, 1] wybrano niezależnie i w sposób losowy (zgodnie z rozkładem jednostajnym) dwa
punkty A i B. Niech L oznacza odległość mi˛edzy tymi punktami. Zaznacz, która z odpowiedzi jest prawdziwa, a która
fałszywa.
a) EL ≤ 1/2
b) P (L > 1) = 0
c) Rozkład zmiennej L jest absolutnie ciagły
˛ (ma g˛estość)
d) Jeśli F (x) jest dystrybuanta˛ zmiennej L, to F 0 (2) = 0
e) Zmienna L ma rozkład jednostajny
Zadanie 9. Niech F1 b˛edzie dystrybuanta˛ rozkładu jednostajnego na przedziale [0, 2], natomiast F2 dystrybuanta˛
rozkładu dwupunktowego, t. że P (0) = P (1) = 21 . Przyjmijmy G = F1 · F2 . Zaznacz, która z odpowiedzi jest
prawdziwa, a która fałszywa.
a) G jest funkcja˛ silnie rosnac
˛ a˛ na przedziale (0, 2)
b) Funkcja G jest dystrybuanta˛ pewnego rozkładu prawdopodobieństwa
c) G0 (x) = 0 dla x ∈ (0, 1)
d) Pochodna G0 (x) istnieje wsz˛edzie poza skończonym zbiorem
e) Rozkład zwiazany
˛
z G jest absolutnie ciagły
˛ (posiada g˛estość)