Przekształcenia liniowe - Polsko

Algebra
Przekształcenia liniowe
Aleksandr Denisiuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Przekształcenia liniowe
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Przekształcenie zwiazane
˛
z macierza˛
• Niech dane bedz
˛ a˛ przestrzenie kolumn Rn oraz Rm .
• Niech dana bedzie
˛
m × n macierz A


x1
 
 x2 
• ϕA : Rn → Rm , ϕA :  .  7→ x1 A(1) + x2 A(2) + · · · + xn A(n) ,
 . 
 . 
xn
gdzie A(1) ,. . . ,A(n) — kolumny macierzy A.
n
P
m
• Y = ϕA (X) ∈ R , yi =
aij xj , i = 1, . . . , m
j=1
• ∀X, Y ∈ Rn ϕA (X + Y ) = ϕA (X) + ϕA (Y )
• ∀X ∈ Rn , ∀λ ∈ R ϕA (X + Y ) = ϕA (X) + ϕA (Y )
Algebra – p. 3
Przekształcenie Liniowe
Definicja 1. Niech dane beda
˛
dwie przestrzenie liniowe Rn i Rm .
Odwzorowanie ϕ : Rn → Rm , x 7→ ϕ(x) nazywa sie˛ przekształceniem
liniowym, jeżeli
1.
∀α ∈ R, ∀Rn ∈ X ⇒ ϕ(αX) = αϕ(X)
2.
∀X, Y ∈ Rn ⇒ ϕ(X + Y ) = ϕ(X) + ϕ(Y )
Algebra – p. 4
Macierz przekształcenia liniowego
• Niech dane bedzie
˛
przekształcenie liniowe ϕ : Rn → Rm .
• ϕ(X) = ϕ(
n
P
xj E
)=
n
P
xj ϕ(E (j) )
j=1
j=1

(j)

a1j
.. 
• ϕ(E (j) ) = 
 . 
amj
Definicja 2. Macierza˛ przekształcenia liniowego nazywamy zdefiniowana˛
wyżej macierz o wyrazach aij
Twierdzenie 3. Miedzy
˛
przekształceniami liniowymi Rn → Rm a macierzami
m × n ustalone jest wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie.
Algebra – p. 5
Przykłady przekształceń liniowych
Przykład 4.
• Przekształcenie jednostkowe
• Symetria wzgledem
˛
osi x na płaszczyźnie
• Obrót o kat˛ θ
• Obrót w przestrzeni x 7→ y 7→ z 7→ x
• Funkcja liniowa Rn → R
Algebra – p. 6
Działania liniowe na przekształceniach liniowych
Twierdzenie 5.
αϕA + βϕB = ϕαA+βB
Algebra – p. 7
Dodawanie macierzy
Definicja 6. Suma˛ dwóch macierzy A i B tego samego wymiary jest macierz
C = A + B tegoż wymiary, taka że cij = aij + bij .
     
1
−1
0
     
Przykład 7. 2 +  2  = 4 .
3
4
7
Algebra – p. 8
Własności dodawania macierzy
• A + B = B + A — przemienność,
• (A + B) + C = A + (B + C) — łaczność
˛
• A + O = O + A = A — macierz zerowa jest elementem
neutralnym,
• dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna −A, taka
że A + (−A) = (−A) + A = O.
• A − B = A + (−B).
Algebra – p. 9
Mnożenie macierzy przez liczbe˛
Definicja 8. Iloczynem liczby rzeczywistej λ i macierzy A jest macierz
C = λA tego samego wymiary, taka że cij = λaij .

1

Przykład 9. 5 ·  2
−1



5 −1
 

0  =  10 0  .
3
−5 15
− 51
Algebra – p. 10
Właściwości mnożenia macierzy przez liczbe˛
• Mnożenie macierzy przez liczbe˛ posiada własności
liniowości:
◦ 1 · A = A,
◦ (αβ)A = α(βA),
◦ α(A + B) = αA + αB ,
◦ (α + β)A = αA + βA.
Algebra – p. 11
Superpozycja przekształceń liniowych
Twierdzenie 10.
ϕAB = ϕA ϕB
Definicja 11. Iloczynem macierzy A wymiaru n × r przez macierz B
wymiaru r × m jest macierz C wymiaru n × m, której element cij jest równy
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + air brj =
r
X
aik bkr .
k=1
Przykład 12.




!
2 3
0
−11 7 12

 3 −1 2 0


=
−1 4
−11 −11 2 16 .
−2 −3 1 4
5 1
13
−8 11 4
Uwaga 13.
AB 6= BA
Algebra – p. 12
Właściwości mnożenia macierzy
• Założymy, że we wszystkich przypadkach mnożenie
macierzy jest określone poprawnie.
• A(BC) = (AB)C ,
• OA = O, AO = O,a
• IA = AI = A,b
• A(B + C) = AB + AC ,
• (A + B)C = AC + BC ,
• ∀λ ∈ R
a
A(λB) = λ(AB).
w tym przykładzie
O w każdym przypadku oznacza zerowa˛ macierz róż-
nych wymiarów.
b
w tym przykładzie w każdym przypadku
I oznacza jednostkowa˛ macierz
różnych wymiarów.
Algebra – p. 13
Rzad
˛ iloczynu macierzy
Twierdzenie 14.
Dowód.
rank AB 6 min { rank A, rank B }
• Niech C = AB
• Dla wierszy C(i) i kolumn C (j) macierzy C :
C(i) = A(i) B, C (j) = AB (j) .
• Niech r1 = rank A oraz A(1) , . . . , A(r ) bed
˛ a˛ bazowymi
1
• A(k) =
•
•
P r1
i=1 λki A(i) dla r1 < k 6 n
P r1
λki A(i) B
Wiec
˛ C(k) = A(k) B =
i=1
P r1
i=1 λki C(i) dla r1 < k 6 n
=
P r1
i=1 λki
A(i) B =
C(1) , . . . , C(n) = C(1) , . . . , C(r1 )
• rank C 6 r1
–verte–
Algebra – p. 14
Rzad
˛ iloczynu macierzy
Twierdzenie 15.
Dowód. cd.
rank AB 6 min { rank A, rank B }
• Analogicznie dla B
• Niech r2 = rank B oraz B (1) , . . . , B (r2 ) bed
˛ a˛ bazowymi
•
B (k)
=
P r2
j=1 µkj B
(j) dla r
2
• Wiec
˛ C (k) = AB (k) = A
P r2
AB (j)
P
P r2
<k6m
r2
(j)
µ
B
kj
j=1
=
= i=1 µkj C (j) dla r2 < k 6 n
(1)
(1)
(m)
(r
)
2
• C ,...,C
= C ,...,C
j=1 µkj
• rank C 6 r2
Algebra – p. 15
Macierze kwadratowe
• Mn (Rn ) = Mn zbiór macierzy kwadratowych n × n
• I ∈ Mn macierz jednostkowa
(
1, jeżeli i = j,
• elementy macierzy jednostkowej δij =
0, jeżeli i 6= j
(symbol Kroneckera)
• ∀A ∈ Mn , AI = IA = A
• I(λ) = λI macierz skalarna
• ∀A ∈ Mn , AI(λ) = I(λ)A = A
Twierdzenie 16. Niech Z
Z = I(λ).
Dowód.
∈ Mn oraz ∀A ∈ Mn , AZ = ZA. Wtedy
Eij
Algebra – p. 16
Macierz nieosobliwa
Definicja 17.
• Macierz A ∈ Mn jest nieosobliwa,˛ jeżeli rank A = n.
• Macierz A ∈ Mn jest odwracalna, jeżeli istnieje A−1 (AA−1 = I ).
Twierdzenie 18. Macierz jest odwracalna˛ wtedy i tyko wtedy, gdy jest
nieosobliwa˛
Dowód.
1.
n = rank I = rank A−1 A 6 rank A
Rn = hE (1) , . . . E (n) i = hA(1) , . . . A(n) i
Pn
(j)
(b) E
= i=1 a′ji A(i)
2. (a)
(c)
I = AA′
∈ Mn bedzie
˛
macierza˛ nieosobliwa.
˛ Wtedy At też jest
macierza˛ nieosobliwa˛ oraz (At )−1 = (A−1 )t .
Wniosek 19. Niech A
Algebra – p. 17
Mnożenie przez macierz nieosobliwa˛
Twierdzenie 20. Niech B i C bed
˛ a˛ macierzami nieosobliwymi wzglednie
˛
m × m oraz n × n. Wtedy dla dowolnej m × n macierzy A
rank BAC = rank A
rank BAC 6 rank BA = rank BA(CC −1 ) =
rank(BAC)C −1 6 BAC
Dowód.
Wniosek 21. Niech A, B
∈ Mn oraz AB = I (lub BA = I ). Wtedy
B = A−1 .
Wniosek 22. Niech A, B, . . . , C, D ∈ Mn bed
˛ a˛ nieosobliwe. Wtedy
AB . . . CD teżbedzie
˛
macierza˛ nieosobliwa,
˛ oraz
(AB . . . CD)−1 = D−1 C −1 . . . B −1 A−1
Algebra – p. 18
Macierze elementarne —Fs,t

• Fs,t









=









1
..



.



0
1


..
.


,
1


..

.


1
0


..
. 

1
s 6= t
• Fs,t = I − Ess − Ett + Est + Ets
• Fs,t A ⇐⇒ zamiana wierszy A(s) i A(t)
Algebra – p. 19
Macierze elementarne —Fs,t (λ)







• Fs,t (λ) = 







1
..


.


1
λ


..
,
.



1


..
. 
1
s 6= t
• Fs,t (λ) = I + λEst
• Fs,t (λ)A ⇐⇒ A(s)
A(s) + λA(t)
Algebra – p. 20
Macierze elementarne —Fs (λ)




• Fs (λ) = 





1
..


.


λ


..
. 

1
λ 6= 0
• Fs (λ) = I + (λ − 1)Ess
• Fs (λ)A ⇐⇒ A(s)
λA(s)
Algebra – p. 21
Sprowadzenie do postaci jednostkowej
Twierdzenie 23. Niech A ∈ Mn bedzie
˛
nieosobliwa.
˛ Wtedy za pomoca˛
przekształceń elementarnych A można sprowadzić do postaci macierzy
jednostkowej.
Dowód.
1. Sprowadzamy do postaci schodkowej
2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej
Wniosek 24. Niech A ∈ Mn bedzie
˛
nieosobliwa.
˛ Wtedy za pomoca˛
mnożenia przed macierze elementarne A można sprowadzić do postaci
macierzy jednostkowej:
I = Pk . . . P1 A,
gdzie P1 , . . . , Pk — sa˛ macierze elementarne.
Wniosek 25.
Pk . . . P1 = A−1
Algebra – p. 22
Obliczenie macierzy odwrotnej
(A|I)
P1
(P1 A|P1 )
P2
(P2 P1 A|P2 P1 )
...
Pk
...
(Pk . . . P2 P1 A|Pk . . . P2 P1 ) = (I|A−1 )

−1 
0 2 0
0 −1



Przykład 26. 1. 1 1 −1
=  12 0
1
2 1 −1
2 −2

−1  1
1
−1 1
1
1
−4
4
 1 −1 1


1
1
1

 4 −4
2. 
 = 1
1
1
 4
1 −1 1 
4
1
1
1
1
1 −1
4
4

1

0
1
1
4
1
4
− 41
1
4
1
4
1
4
1
4
− 14





Algebra – p. 23
Google
• Uporzadkować
˛
strony (wyniki wyszukiwania)
• Ważność strony P jest I(P )
• Niech strona Pj ma li odnośników
• Jeżeli Pj ma link na Pi , strona Pj przekazuje I(Pj )/lj swojej
ważności na Pi
• Ważność Pi wyniesie
X I(Pj )
I(Pi ) =
,
lj
Pj ∈Bi
gdzie Bi jest zbiorem stron z odnośnikami do Pi
Algebra – p. 24
Google — podejście algebraiczne
• Maciezr hiperlinków H :
hij =
(
1
lj ,
jeżeli Pj
0
w pozostałych przypadkach
∈ Bi
◦ hij > 0
P
◦
i hij = 1
◦ H jest macierza˛ stochastyczna˛


P1
. 
• Wektor ważności I = 
 .. 
Pn
• Równanie ważności I = HI
◦ I jest wektorem stacjonarnym przekształcenia ϕH
Algebra – p. 25
Google — przykład

0 0
1
2 0
1

2 0
0 1

H=
0 0

0 0


0 0
0 0
0
0
1
2
1
3
0
0
0
0
1
2
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
1
3
0
0
1
3

0

0

0

0


0

1
2
1
2
0
Algebra – p. 26
Google — ważności wyników


0,0600


0,0675


0,0300


0,0675


I=

0,0975


0,2025




0,1800


0,2950
Algebra – p. 27