Algebra dzieli się na poddziały: - Algebra zbiorów - Relacje

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w zamierzchłej starożytności, i
którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się rozwiązywaniem
równań. Dziś algebra zajmuje się tak zwanymi strukturami algebraicznymi (zbiorami z określonymi
w nich działaniami). Algebra wykładana w liceum zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i
mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu oraz jego pierwiastków. Jednakże dzisiejsza
algebra jest działem o wiele bardziej ogólnym.
Algebra dzieli się na poddziały:
- Algebra zbiorów
- Relacje
- Logika matematyczna
- Indukcja matematyczna
- Kombinatoryka
- Rachunek prawdopodobieostwa
- Wyrażenia algebraiczne
- Równania
- Macierze
Przykłady wyrażeo algebraicznych :
2+a - suma,
e-g – różnica,
4g lub 4·g – iloczyn lub czterokrotnośd liczby g,
2b+3c – kombinacja liniowa lub iloczyn skalarny (w zależności od kontekstu),
d/k – iloraz,
a5 - potęga,
Przekształcenia wyrażenia algebraicznego:
4d+5a+9d+5a=13d+10a – redukcja wyrazów podobnych.
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:
a-n = 1/a*n dla a E R\{0} ^ n E N
Działania na potęgach:
Jeżeli m, n E R i a, b E R+ albo m, n E Z i a, b E R i a E 0 i b E 0, to:
am · an = am+n
aman = am-n
(a · b)m = am*bm
(ab)m=ambm
(am)n = am*n
Wzory skróconego mnożenia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Prawa działao na logarytmach:
Przy założeniu: a > 0, a <1, b > 0, b < 1, x > 0, y > 0:
loga(x · y) = logax + logay
logaxy=logax-logay
logaxy=ylogax
logax n=1nlogax
logbx=logaxlogab
logab=1logba
Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:
tgx=sinxcosx=1ctgx
ctgx=cosxsinx=1tgx
sin2x + cos2x = 1 (jedynka trygonometryczna)
Logika matematyczna :
Charakterystyczną cechą matematyki jest przeprowadzanie na jej gruncie dowodów, to znaczy
wyprowadzanie jednych twierdzeo z innych, których prawdziwośd została już poprzednio ustalona
lub które zostały przyjęte za wyjściowe.
Zdanie logiczne to każde stwierdzenie, któremu można przypisad dokładnie jedną z dwóch
wartości: prawdę albo fałsz. Wartości te nazywamy wartościami logicznymi zdania.
Jeśli zdanie jest prawdziwe, to jego wartośd logiczną oznaczamy „1”.
Jeśli zdanie jest fałszywe, to jego wartośd logiczną oznaczamy „0”.
Rachunek prawdopodobieostwa :
Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie
zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe,
jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku
doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest
rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.
Macierze :
Macierz to zbiór wielkości ustawionych w wiersze i kolumny w formie prostokątnej
tablicy. Ogólny zapis macierzy polega na ujęciu tej tablicy w nawiasy:
[ a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ]
Wielkości a11, a12, itd. nazywa się elementami (wyrazami) macierzy. Liczbę wierszy
i kolumn macierzy m×n, nazywa się wymiarem macierzy.
Każdy element macierzy jest opisywany przez numer wiersza i kolumny, ai,j oznacza
element leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.
Kombinatoryka:
Często mamy do czynienia ze zbiorami. Gdy elementy zbioru są wypisane, to łatwo
możemy znaleźć ich liczbę. Czasami jednak zbiór jest podany w formie bardziej
skomplikowanej i nie jest oczywiste, ile ma elementów. Z pomocą przychodzi
kombinatoryka - dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz
odwzorowywaniami między nimi. Tabela przedstawiająca algorytm postępowania
przy rozwiązywaniu zadao.