Lista zadań ze wstępu do topologii

Lista zadań ze wstępu do topologii
1. Sprawdź, że (R2 , d) jest przestrzenią metryczną i narysuj kule B(0, 1):
- d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
- d(x, y) = |x2 − y2 |, jeśli x1 = y1 i d(x, y) = |x2 | + |y2 | + |x1 − y1 |, gdy x1 6= y1 .
2. Sprawdź, że (X, d) jest przestrzenią metryczną, jeśli X jest dowolnym zbiorem,
d(x, y) = 0, gdy x = y oraz d(x, y) = 1, gdy x 6= y.
3. Niech X = C[0, 1] będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] o
wartościachR w R. Sprawdź, że (X, d) jest przestrzenią metryczną, gdzie
- d(f, g) = 01 |f (t) − g(t)|dt =: d∗ (f, g)
- d(f, g) = maxt∈[0,1] |f (t) − g(t)|.
4. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Pokaż, że (X, d0 ) jest także przestrzenią
metryczną, gdzie
- d0 (x, y) = min{1, d(x, y)}
d(x,y)
.
- d0 (x, y) = 1+d(x,y)
5. Niech (X, d1 ) oraz (X, d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Czy funkcje min{d1 , d2 },
d1 d2 oraz d1 /d2 są metrykami na X? (Kładziemy d1 (x, x)/d2 (x, x) = 0 dla każdego
x ∈ X.)
6. Niech a i b będą różnymi punktami w przestrzeni metrycznej (X, d). Pokaż, że
istnieją otoczenia punktów a i b: Na oraz Nb takie, że Na ∩ Nb = ∅.
7. Pokaż, że diamB(x, δ) ¬ 2δ, gdzie diamA = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
8. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz ∅ 6= A ⊂ X. Dla x, y ∈ X pokaż,
że d(x, A) ¬ d(x, y) + d(y, A).
9. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Pokaż, że każdy ciąg {xn } ⊂ X może
być zbieżny do co najwyżej jednego punktu.
10. Pokaż, że podzbiór A przestrzeni metrycznej jest domknięty wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg {an } ⊂ A ma granicę należącą do zbioru A.
11. Pokaż, że podzbiór A przestrzeni metrycznej jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
prawie wszystkie wyrazy ciągu {an } ⊂ A zbieżnego do punktu a ∈ A należą do
zbioru A.
12. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną z metryką dyskretną. Pokaż, że każdy
podzbiór (X, d) jest otwarty.
13. Rozważamy R z topologią euklidesową. Pokaż, że
- {a} jest domknięty w R;
- Z jest domkniętym podzbiorem R;
- [c, d] jest zbiorem domkniętym w R;
- Q nie jest ani otwarty ani domknięty w R.
14. Podaj przykład, że domknięcie otwartej kuli B(x, ) nie musi być domkniętą kulą,
tzn.
B(x, ) 6= B̄(x, ) := {y : d(x, y) ¬ }.
15. Niech T będzie topologią na X składającą się ze zbiorów {X, ∅, A, B}, gdzie A i B
są właściwymi różnymi podzbiorami X. Jakie warunki muszą spełniać zbiory A i
B?
16. Korzystając z powyższego zadania podaj wszystkie topologie na X = {a, b, c} zawierające dokładnie cztery elementy.
17. Niech T będzie rodziną składającą się ze zbiorów R, ∅ oraz przedziałów Aq = (q, ∞)
z q ∈ Q. Pokaż, że T nie jest topologią na R.
18. Niech X = {a, b, c, d}. Która rodzina zbiorów jest topologią na X?
- T1 := {∅, X, {a}, {b}, {a, c}, {a, b, c}, {a, b}};
- T2 := {∅, X, {a}, {b}, {b, d}, {a, b}};
- T3 := {∅, X, {a, c, d}, {b, c, d}}.
19. Niech A będzie dowolnym podzbiorem dyskretnej przestrzeni topologicznej. Określ
A0 .
20. Pokaż, że jeśli A ⊂ B, to A0 ⊂ B 0 .
21. Pokaż, że (A ∪ B)0 = A0 ∪ B 0 .
22. Pokaż, że zbiór A ∪ A0 jest domknięty.
23. Niech T = {X, ∅}. Określ podzbiory domknięte w (X, T ). Określ domknięcie dowolnego podzbioru A w X. Określ zbiory gęste w (X, T ).
24. Operacje wnętrza i domknięcia mają następujące własności:
- A ⊂ B =⇒ Ā ⊂ B̄ oraz int(A) ⊂ int(B);
- A ∪ B = Ā ∪ B̄;
- int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
25. Którym z symboli „=, ⊂, ⊃” można zastąpić 2:
S
S
- int( α Aα ) 2
int(Aα )
T
Tα
- int( α Aα ) 2
α int(Aα ).
Udowodnij to, a w przypadku znaków „⊂, ⊃” podaj kontrprzykłady.
26. Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Zdefiniuj funkcję f : X 7→ R jako f (x) = d(x, A). Pokaż, że f jest jednostajnie ciągła.
27. Niech g : (X, dX ) 7→ (Y, dY ) i f : (Y, dY ) 7→ (Z, dZ ) będą funkcjami ciągłymi. Pokaż,
że f ◦ g jest funkcją ciągłą z (X, dX ) w (Z, dZ ).
28. Niech X = C[0, 1] będzie wyposażona
w metrykę d∗ (zobacz zad.3). Dla każdego
R1
f ∈ X definiujemy I(f ) = 0 f (t)dt. Pokaż, że I : (X, d∗ ) →
7 (R, d) jest ciągła
(d(t, s) = |t − s|).
29. Określamy funkcje f (A) = int(A) oraz g(A) = Ā, gdzie A ⊂ R. Pokaż na przykładzie, że funkcje f i g nie komutują.
30. Niech f, g : X 7→ R będą funkcjami ciągłymi. Pokaż, że zbiór A = {x ∈ X : f (x) =
g(x)} jest domknięty.
Graf funkcji f : X 7→ Y to zbiór Γf := {(x, y) ∈ (X, Y ) : y = f (x)}
31. Podaj przykład funkcji na R, której graf jest domknięty, a funkcja nie jest ciągła
przynajmniej w jednym punkcie.
32. Niech (X, d1 ) i (Y, d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Niech f : X 7→ Y będzie
ciągła. Definiujemy metrykę d na X × Y w standardowy sposób. 1 Pokaż, że graf
funkcji Γf jest domkniętym podzbiorem w (X × Y, d).
33. Podaj przykład funkcji f : R 7→ R, która jest ciągła w każdym punkcie odcinka
I := (0, 1), ale nie jest ograniczona na I.
34. Dane są dwie funkcje zdefiniowane na R:
(
f (x) =
sin(1/x) , x 6= 0
0
, x = 0,
(
g(x) =
x sin(1/x) , x 6= 0
0
, x = 0.
Pokaż, że g jest ciągła w x = 0, natomiast f nie jest.
35. Pokaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:
- (a, b) i (0, 1); [a, b) i (0, 1] dla a < b;
- R i (−π/2, π/2).
36. Niech f : X 7→ Y będzie homeomorfizmem. Wówczas
- f (A) = f (A);
- f (Int(A)) = Int(f (A));
- f (Fr(A)) = Fr(f (A));
Wsk. wykorzystać tw. z wykładu.
37. Niech P = (0, 1) ∈ R2 . Pokaż, że sfera S 1 \ P ⊂ R2 jest homeomorficzna z R1 .
1
Dane są przestrzenie metryczne ((Xi , di ), gdzie i = 1, . . . , n. Niech X := X1 × . . . × Xn oraz x =
(x1 , . . . , xn ), x0 = (x01 , . . . , x0n ). Wówczas d(x, x0 ) := max1¬i¬n {di (xi , x0i )} jest metryką na X.
38. Które ze zbiorów są zwarte?
[0, 1); {x ∈ R : x ­ 0}; S n - sfera w Rn+1 ;
[0, 1] ∩ Q.
39. Czy przestrzeń X = C[0, 1] funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] o wartościach w R z
metryką d(f, g) = maxt∈[0,1] |f (t) − g(t)| jest zwarta?
40. Niech A będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Pokaż, że dla
dowolnego zbioru B ⊂ X istnieje element p ∈ A taki, że d(p, B) = d(A, B), gdzie
d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
41. Niech A będzie zwartym podzbiorem a B domkniętym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d) i niech A ∩ B = ∅. Pokaż, że d(A, B) > 0.
42. Pokaż, że nieskończony zbiór dyskretnej przestrzeni topologicznej X nie jest zwarty.
43. Pokaż, że następujące warunki są równoważne:
(a) X jest zwarta,
T
(b) dla każdej rodziny {Fi } podzbiorów domkniętych w X, i Fi = ∅, rodzina {Fi }
zawiera skończoną podrodzinę {Fi1 , . . . , Fim } taką, że Fi1 ∩ . . . ∩ Fim = ∅.
44. Niech f (x) = ln(1 + ex ). Pokaż, że |f (x) − f (y)| < |x − y|, ale f nie posiada punktu
stałego.
45. Pokaż, że zbiór całkowicie ograniczony jest ograniczony.
46. Pokaż, że każdy ciąg Cauchy’go w przestrzeni metrycznej jest całkowicie ograniczony.
47. Niech {xn } będzie ciągiem Cauchy’go w przestrzeni metrycznej (X, d) i niech
A1 = {x1 , x2 , . . .},
A2 = {x2 , x3 , . . .},
A3 = {x3 , x4 , . . .}, . . .
Pokaż, że {xn } jest ciągiem Cauchy’go wtedy i tylko wtedy limn→∞ diam(An ) = 0.
48. Niech {yn } będzie ciągiem Cauchy’go w przestrzeni metrycznej (X, d) i niech {xn }
będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej (X, d) takim, że d(xn , yn ) ¬ 1/n dla każdego n ∈ N.
- Pokaż, że {xn } jest także ciągiem Cauchy’go w przestrzeni metrycznej (X, d);
- Pokaż, że {xn } zbiega do p wtedy i tylko wtedy gdy {yn } zbiega do p.
49. Pokaż, że (ii)⇒(i) (odwrotna implikacja była na wykładzie):
(i) (X, d) jest przestrzenią metryczną zupełną.
(ii) Każdy zstępujący ciąg niepustych i domkniętych zbiorów, których średnice dążą
do zera ma niepusty przekrój.
50. Niech A będzie całkowicie ograniczonym podzbiorem przestrzeni (X, d). Pokaż, że
każdy ciąg {xn } ⊂ A zawiera podciąg Cauchy’go.
51. Niech {xn } oraz {yn } będą ciągami Cauchy’go w przestrzeni metrycznej (X, d).
Określamy, zn = d(xn , yn ) dla każdego n ∈ N. Pokaż, że {zn } jest zbieżny.
52. Niech (X, d) będzie zwartą przestrzenią metryczną i niech f : X 7→ X będzie odwzorowaniem takim, że d(f (x), f (y)) < d(x, y) dla dowolnych x, y ∈ X oraz x 6= y.
Pokaż, że istnieje jedyny punkt x0 taki, e x0 = f (x0 ).
(Wsk. Zdefiniuj funkcję g(x) := d(x, f (x)), x ∈ X. Następnie załóż, że f (x) 6= x.)