X PMM - Piotrkowski Maraton Matematyczny

XI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY ELIMINACYJNE
07.06.2016
Czas na rozwiązanie: 120 min.
Do zdobycia maksymalnie 50 punktów (30 pkt. za zadania testowe, 20 pkt. za zadania otwarte)
Przed Tobą 15 zadań testowych i 4 zadania otwarte.
W każdym zadaniu zamkniętym dokładnie jedna odpowiedź jest poprawna.
Odpowiedzi (A, B, C lub D) wpisz tylko do poniższej tabeli w pierwszym wierszu pod numerem odpowiedniego
zadania. Jeśli się pomyliłeś, to przekreśl błędną odpowiedź i napisz poprawną odpowiedź w wierszu poniżej.
Np. jeśli pomyliłeś się pisząc
, to możesz dokonać poprawki, wykorzystując wolne pole
.
Uwaga. Każdą z odpowiedzi możesz poprawić tylko jeden raz.
Punktacja:
– za zaznaczenie prawidłowej odpowiedzi otrzymasz 2 punkty,
– brak odpowiedzi oznacza 0 punktów,
– błędna odpowiedź oznacza odebranie 0,5 punktu.
Każde zadanie otwarte rozwiązuj na osobnej stronie arkusza.
Za pełne rozwiązanie każdego z zadań otwartych otrzymasz 5 punktów.
W rozwiązaniu każdego z zadań otwartych należy podać stosowne uzasadnienia.
W czasie trwania zawodów możesz korzystać jedynie z przyborów do pisania i przyrządów do kreślenia.
Używanie kalkulatorów jest niedozwolone
Życzymy owocnej pracy. Powodzenia!
Wypełnia uczestnik X PMM
Dane uczestnika
Nazwisko
………………………………………………………………
Imię
………………………………………………………………
Szkoła
………………………………………………………………
Klasa
………………………………………………………………
Karta odpowiedzi – zadania zamknięte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Wypełnia Szkolny Koordynator XI Piotrkowskiego Maratonu Matematycznego
Ocena odpowiedzi
Zadania zamknięte –
Zadania otwarte
1
2
3
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
4
Suma punktów
–1–
suma punktów
Razem
otwarte+zamknięte
XI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY ELIMINACYJNE
07.06.2016
Zadania testowe
1. Wynik mnożenia 2016 9999 to liczba, której suma cyfr jest równa:
A) 72
B) 71
C) 36
D) 35.
2. Ania kupiła paczkę słodyczy, w której były tylko cukierki w dwóch smakach: orzechowym oraz
truskawkowym, przy czym orzechowych było 4 razy więcej niż truskawkowych. Ania zjadła 3 cukierki
truskawkowe i trzy orzechowe i wtedy w paczce zostało 7 razy więcej cukierków orzechowych od
truskawkowych. Ile wszystkich cukierków było w paczce zakupionej przez Anię?
A) 40
B) 35
C) 30
D) 25
3. Stefek przez cały sezon rozgrywek szkolnej ligi koszykówki zdobył 440 punktów. Jego średnia liczba punktów
na jeden mecz jest liczbą większą od 25 i mniejszą od 26. W ilu meczach szkolnej ligi koszykówki grał Stefek?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19.
4. W czworokącie ABCD boki AD i BC są równe, a kąty przy wierzchołkach
B i C mają miary odpowiednio 130 oraz 44 (zobacz rysunek). Przekątna
BD tworzy z bokiem BC kąt równy 92. Wynika z tego, że miara kąta DAB
jest równa
A) 44
B) 42
C) 40
D) 38
5. Bronka ma w portfelu wyłącznie monety o nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr i 1 zł, przy czym monet jednego
typu jest tyle samo, co każdego innego. Łączna kwota, którą dziewczynka ma w portfelu może być równa
A) 5 zł
B) 8 zł
C) 9 zł
D) 12 zł.
6
oznaczamy przez x, a cyfrę
7
stojącą w tym rozwinięciu na 2016 miejscu po przecinku – przez y. Stąd wynika, że suma x + y jest równa
6. Cyfrę stojącą na 73 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka
A) 10
B) 11
C) 12
D) 15.
1
1

zapisano w postaci ułamka, którego licznik jest o 426 mniejszy od mianownika.
20 16
Suma licznika i mianownika tak zapisanego wyniku jest równa
7. Wynik dodawania
A) 534
B) 662
C) 710
D) 890.
8. Klaudiusz planuje przejazd po drodze szybkiego ruchu od miasta A do miasta B, ze średnią prędkością 90
km/h. Obliczył też, że gdyby jechał ze średnią prędkością 100 km/h, to przyjechałby do B o 7 minut wcześniej
niż według planu. Ile kilometrów jest z A do B?
A)112
B) 105
C) 98
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
D) 91
–2–
XI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY ELIMINACYJNE
07.06.2016
9. Jaka jest suma wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występują inne cyfry poza 1
oraz 2?
A) 1332
B) 1222
C) 999
D) 888
10. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C ma miarę 42. Dwusieczne kątów
przyległych do kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i B tego trójkąta
przecinają się w punkcie D (patrz rysunek). Kąt ADB ma miarę
A) 48
B) 63
C) 67
D) 69.
11. Ile jest wszystkich dodatnich liczb całkowitych n, takich, że liczba 3n  1 jest całkowitym dzielnikiem liczby
7n  9 ?
A) 0
B) 1
C) 2
D) nieskończenie wiele.
12. Obwód trójkąta ABC jest równy 24, każdy z jego boków ma długość całkowitą, a długości pewnych dwóch z
tych boków mają się do siebie jak 3:4. Wynika z tego, że
A) najdłuższy bok trójkąta ABC ma długość 17.
B) jeden z kątów tego trójkąta jest równy 60.
C) pole trójkąta ABC jest równe 28.
D) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2.
13. Długość jednego z boków prostokąta zmniejszono 3 razy, a długość drugiego – zwiększono 4 razy. W wyniku
otrzymano kwadrat o obwodzie l. Jaki jest obwód wyjściowego prostokąta?
A)
13
l
8
B)
7
l
4
C)
5
l
3
D)
3
l
2
14. Dwa sąsiednie wierzchołki sześcianu odcięto płaskimi cięciami przechodzącymi
przez środki krawędzi tak, że po odcięciu powstały dwie nowe ściany będące
trójkątami równobocznymi (patrz rysunek). Suma liczby wierzchołków oraz liczby
krawędzi utworzonej w ten sposób bryły jest równa:
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28.
15. W trójkącie ABC boki AB i BC mają długości odpowiednio 16 i 15. Na boku BC leży taki punkt D, że |CD| = 5.
Na boku AB leży taki punkt E, że prosta DE dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach.
Zatem odcinek AE ma długość
A) 2
B) 3
C) 4
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
D) 5
–3–
XI Piotrkowski Maraton Matematyczny
ZAWODY ELIMINACYJNE
07.06.2016
Zadania otwarte
Zadanie 1.
Jaka jest największa liczba naturalna, która nie jest podzielna przez 9 oraz każde dwie cyfry w jej
zapisie dziesiętnym są różne?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2.
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B, a
miara kąta przy wierzchołku C stanowi 150% miary kąta przy wierzchołku A.
Na boku BC wybrano taki punkt D, że odcinki CD i AC są równe.
Oblicz pole trójkąta ABC, wiedząc, że odcinek BD ma długość 2.
Zadanie 3.
Rozstrzygnij, czy istnieją trzy kolejne liczby pierwsze p, q, r, które spełniają jednocześnie dwa
warunki
(1) suma p  q  r jest podzielna przez 10,
(2) suma p 2  q 2  r 2 jest również podzielna przez 10.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4.
Dana jest szachownica o wymiarach 66. Rozstrzygnij, czy można ją pokryć
klockami 31 w kształcie litery L tak, aby każdy klocek pokrywał całkowicie 4
pola szachownicy i żadne dwa klocki nie zachodziły na siebie.
Odpowiedź uzasadnij.
(Uwaga. Klocki przed położeniem na szachownicy można obracać, jak to jest
zaprezentowane na rysunku).
Strona www konkursu: http://pmm.piotrkow.pl/
–4–