Tematy na egzamin ustny z geometrii analitycznej 1. Operatory

Tematy na egzamin ustny z geometrii analitycznej
1. Operatory liniowe. Macierz operatora liniowego w bazie. Macierz zamiany bazy. Reguła
zmiany macierzy operatora przy zamianie bazy.
2. Wektory i wartości własne operatora. Operatory diagonalizowalne. Twierdzenie o postaci
normalnej Jordana.
3. Formy dwuliniowe, półtora liniowe i kwadratowe. Wzór polaryzacji. Macierz Grama formy
dwuliniowej. Reguła zmiany macierzy operatora przy zamianie bazy.
4. Twierdzenie o sprowadzeniu formy dwuliniowej do postaci diagonalnej. Rząd formy.
5. Sygnatura formy dwuliniowej. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności.
6. Proces ortogonalizacji Grama–Schmidta (dla form dodatnio określonych i w przypadku ogólnym).
7. Sylvestera–Jacobiego wyznacznikowy wzór na sygnaturę. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności
formy.
8. Geometria przestrzeni Minkowskiego. Odwrócona nierówność Cauchy’ego i nierówność trójkąta.
Paradoks bliźniąt.
9. Nierówności Cauchy’ego i trójkąta w geometrii euklidesowej.
10. Operatory samosprzężone. Macierz operatora samosprzężonego w bazie ortonormalnej. Związek
z formami dwuliniowymi.
11. Twierdzenie spektralne. Sprowadzenie formy kwadratowej do osi głównej.
12. Geometria form kwadratowych. Klasyfikacja stożkowych.
13. Iloczyn wektorowy i jego własności.