4 Operatory

4
4.1
Operatory
Podstawowe własności i definicje
Operatory a obserwable.
Operatorem na przetrzeni wektorowej V nazywamy odwzorowanie ketu |ψi w ket |ϕi:
Q̂ |ψi = |ϕi .
(4.1)
Podobnie jak funkcje, operatory określone są w pewnej dziedzinie. Dwa operatory są
równe, gdy
Q̂1 |ψi = Q̂2 |ψi
dla wszystkich |ψi należących do ich dziedzin. W mechanice kwantowej ograniczamy się
do pewnej klasy operatorów, mianowicie do operatorów liniowych:
Q̂ (c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 Q̂ |ψ1 i + c2 Q̂ |ψ2 i ,
gdzie c1,2 są dowolnymi stałymi. Podobnie suma operatorów
³
´
Q̂1 + Q̂2 |ψi = Q̂1 |ψi + Q̂2 |ψi .
Operator możemy pomnożyć przez liczbę
³ ´
³
´
cQ̂ |ψi = c Q̂ |ψi .
Operatory możemy mnożyć
³
´
³
´
Q̂1 Q̂2 |ψi = Q̂1 Q̂2 |ψi ,
musimy jedank pamiętać, aby ket |ϕi = Q̂2 |ψi należał do dziedziny operatora Q̂1 . Na
ogół mnożenie operatorów nie jest przemienne:
ÂB̂ 6= B̂ Â.
Zdefiniujmy komutator
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â.
Warto wymienić kilka użytecznych własności komutatorów:
h
i
h
i
Â, B̂ = − B̂, Â , antysymetria,
[Â, B̂ + Ĉ] = [Â, B̂] + [Â, Ĉ], liniowość,
h
i
[Â, B̂ Ĉ] = Â, B̂ Ĉ + B̂[Â, Ĉ], „łączność”.
Na koniec podajmy bardzo tżsamo sć, tzw. tożsamo sć Jaobiego:
hh
i i hh
i i hh
i i
Â, B̂ , Ĉ + B̂, Ĉ , Â + Ĉ, Â , B̂ = 0.
24
(4.2)
4.2
Przedstawienie macierzowe, operatory hermitowskie
Łatwo przekonać się, że z wektorów bazowych w przestrzeni wektorowej V można zbudować operator jednostkowy
X
Iˆ =
|ii hi| .
(4.3)
i
Rzeczywiście
Iˆ |ψi =
X
|ii hi|
X
X
X
aj |ji =
aj |ii hi| ji =
aj |ji .
i
j
=δij
i,j
Podobnie dla przypadku ciągłego mamy
Z
ˆ
I = dx |xi hx| .
j
(4.4)
W mechanice kwantowej szczególną rolę odgrywa operator energii zwany hamiltonianem
X
Ĥ =
Ei |Ei i hEi | .
(4.5)
i
Policzmy wielkość
hψ| Ĥ |ψi =
X
Ei |hψ| Ei i|2 .
(4.6)
i
Ponieważ hEi | ψi = ai jest amplitudą prawdopodobieństwa otrzymania w wyniku pomiaru
energii układu w stanie |ψi wartości Ei
X
hψ| Ĥ |ψi =
Ei pi = hEi .
(4.7)
i
Ten wynik łatwo uogólnić na dowolny operator Q̂ odpowiadajacy jakiejś obserwabli,
którego spektrum oznaczymy przez {qi } . Wówczas stany, dla których z prawdopobieństwem 1 otrzymamy w wyniku pomiaru wartość qi , oznaczamy jako |qi i i operator ma
postać
X
Q̂ =
qi |qi i hqi | .
(4.8)
i
Zauważmy, że
Q̂ |qk i =
X
qi |qi i hqi | qk i = qk |qk i .
(4.9)
i
Jest to równanie własne, które pozwala znaleźć zarówno kety |qi i jak i wartości własne qi .
Rozważmy element macierzowy operatora Q̂, który ma rzeczywiste wartości własne
(wyniki pomiarów fizycznych są liczbami rzeczywistymi) między stanami
X
X
|ψi =
ai |qi i , |ϕi =
bj |qj i
(4.10)
i
j
25
gdzie
hϕ| Q̂ |ψi =
X
X
b∗j ai hqj | Q̂ |qi i =
b∗i ai qi ,
ij
i
ij
i
X
X
hψ| Q̂ |ϕi =
a∗i bj hqi | Q̂ |qj i =
bi a∗i qi .
Z równania (4.11) wynika
hϕ| Q̂ |ψi∗ = hψ| Q̂ |ϕi .
(4.11)
(4.12)
Operator o takiej własności nazywamy operatorem hermitowskim. Zdefiniujmy sprzężenie
hermitowskie dowolnego operatora R̂:
hϕ| R̂† |ψi∗ = hψ| R̂ |ϕi .
(4.13)
Z tego widać, że opertory hermitowskie są samosprzężone.
Pokażemy teraz, że operatory hermitowskie posiadają rzeczywiste wartości własne i
wektory własne, które tworzą ortogonalną bazę. Obliczmy
hqk | Q̂ |qi i = qi hqk |qi i oraz hqi | Q̂ |qk i = qk hqi |qk i .
Ze wzoru (2.38) mamy
(4.14)
hqi |qk i = hqk |qi i∗
a z hermitowskości (4.12)
hqk | Q̂ |qi i − hqi | Q̂ |qk i∗ = 0 = (qi − qk∗ ) hqk |qi i .
(4.15)
Jeżeli i = k to musi być qi = qi∗ – wartości własne są rzeczywiste. Jeżeli i 6= k to
hqk |qi i = 0.
Równanie (4.1)
X
|ϕi = R̂ |ψi =
aj R̂ |ji
j
dla dowolnego operatora R̂ w dowolnej bazie |ji pomnóżmy z lewej strony przez bra hj|
X
X
hi |ϕi =
aj hi| R̂ |ji =
Rij aj .
(4.16)
j
j
Równanie to definiuje elemnty macierzowe operatora R̂
hi| R̂ |ji = Rij .
Wówczas, jeżeli
|ϕi =
X
bj |ji
j
26
(4.17)
to
bi =
X
Rij aj .
(4.18)
j
Zatem operatorom odpowiadają macierze (skończenie lub nieskończenie wymiarowe). Łatwo
wykazać, że
Q̂R̂ =⇒ Qij Rjk .
Pamiętajmy
³
´†
Q̂R̂ = R̂† Q̂† .
(4.19)
Podobnie dla transpozycji i odwrotności.
W zależności od wyboru bazy |ii mówimy o operatorze Q w reprezentacji |ii. Do najczęściej używanych reprezentacji należą: reprezentacja energetyczna, położeniowa lub pędowa. Zauważmy, że w reprezentacji położeniowej „macierz” operatora ma ciągłe wzkaźniki
hx| Q̂ |x0 i .
Q̂ =⇒
(4.20)
Funkcja od operatora. Mamy daną funkcję liczbową f (x). Wówczas
X
f (Q̂) =
f (qi ) |ii hi| .
(4.21)
i
Jeżeli znamy rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f (x)
f (x) =
X1
n
f (Q̂) =
n!
X1
n
n!
f (n) xn ,
f (n) Q̂n .
(4.22)
Ostatnie wyrażenie ma sens, bo operatory umiemy mnożyć. Można pokazć, że z (4.22)
wynika (4.21).
Szczególną funkcją jest 1/x:
1
Q̂
Pomnóżmy
1
Q̂
Q̂ =
X1
δij
1
h
|ii hi| .
|ii hi| ji hj| =
| {z }
qi
Q̂
Wyliczmy
qi
i
X qj
i,j
Czyli
=
X
(4.23)
ˆ
|ii hi| = I.
= Q̂−1 .
i
h
i X1
f (n) Â, B̂ n
Â, f (B̂) =
n!
n=1
27
(4.24)
i
(4.25)
(4.26)
(człon z n = 0 znika). Jeżeli
hh
i i
Â, B̂ , B̂ = 0
(4.27)
h
i
np. Â, B̂ jest liczbą, to
h
i
h
i
n
Â, B̂ = n Â, B̂ B̂ n−1
dla n > 1.
(4.28)
Wynika to ze wzoru
h
i h
i
h
i h
i
n
n−1
n−1
= B̂ Â, B̂
+ Â, B̂ B̂ n−1
Â, B̂ = Â, B̂ B̂
Wtedy
h
i h
iµ
Â, f (B̂) = Â, B̂ f (1) + f (2) B̂ + . . . +
h
i df
= Â, B̂
.
dB̂
Pokażemy teraz, że jeśli
¶
1
(n) n−1
f B̂
...
(n − 1)!
(4.29)
h
i
Â, B̂ = 0
(4.30)
to operatory te mają wspólny układ stanów własnych.
 |ai i = ai |ai i ,
Czyli
|bi i =
X
B̂ |bi i = bi |bi i .
(4.31)
|an i αni .
(4.32)
n
Rozważmy
X
X
ÂB̂ |bi i = bi Â
|an i αni = bi
|an i an αni = bi |ψi
n
B̂ Â |bi i = B̂
X
n
|an i an αni = B̂ |ψi .
(4.33)
B̂ |ψi = bi |ψi
(4.34)
|ψi = c |bi i =⇒ αni = cδni .
(4.35)
|bi i = c |an i .
(4.36)
n
Ponieważ ÂB̂ = B̂ Â
czyli
Zatem
Z warunku unormowania c = 1. Wartości własne komutujących operatorów mogą służyć
do kompletnego numerowania stanów.
28