Rozpraszanie, przyblizenie Borna
Transkrypt
Rozpraszanie, przyblizenie Borna
28 28.1 Rozpraszanie, przybliżenie Borna Równanie Schrödingera W trzech wymiarach spróbujemy skonstruować schemat kolejnych przybliżeń, który pozwoli znaleźć nam szukaną funkcję falową. Odpowiednio daleko od obszaru działania potencjału zarówno cząstka padająca (i) jak i rozproszona (f ) będą opisane falami płaskimi: ~ ~ ui (~r) = eiki~r , uf (~r) = eikf ~r . (28.1) Warto zauważyć, że o ile kierunek pędu cząstki padającej możemy wybrać np. jako kierunek osi z, to kierunek cząstki rozproszonej, czyli ~kf , może być dowolny. Gęstość strumienia cząstek padających jest w przypadku trójwymiarowym wektorem i wynosi h̄ ih̄ ∗ ~ ∗ ~ ~ ui (x)∇ui (x) − ui (x)∇ui (x) = ~ki . (28.2) Si = − 2m m Zauważmy, że za funkcję ui przyjęliśmy nieznormalizowaną falę płaską (28.1). Składowe ~i mają podobnie jak w przypadku jednowymiarowym wymiar prędkości, czyli wektora S liczby padających cząstek na jednostkę czasu. Równanie Schrödingera 2m ∇2 + k 2 ψ(~r) = 2 V (~r)ψ(~r) h̄ (28.3) zamienimy w równanie całkowe i będziemy go rozwiązywać iteracyjnie. Warto tu zauważyć, że (28.3) można potraktować jako niejednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu, gdzie członem źródłowym jest j(~r) = 2m V (~r)ψ(~r). h̄2 (28.4) Takie potraktowanie równania (28.3) jest w pewnym sensie niestandardowe, gdyż na ogół źródłem jest znana, zadana funkcja, a nie funkcja zawierająca funkcję poszukiwaną (w tym wypadku ψ). 28.2 Funkcja Greena Rozwiązanie niejednorodnego równania typu ∇2r + k 2 ψ(~r) = j(~r) (28.5) znajdujemy konstruując funkcję Greena zdefiniowaną jako ∇2r + k 2 G(~r, ~r0 ) = δ (3) (~r − ~r0 ) . (28.6) Wówczas Z ψ(~r) = ui (~r) + d3 r0 G(~r, ~r0 )j(~r0 ), 168 (28.7) gdzie człon jednorodny został tak dobrany, by w granicy j = 0 (brak potencjału), ψ i redukowało się do funkcji falowej cząstki padającej. Aby znaleźć funkcję Greena zapiszmy funkcję δ oraz G(~r −~r0 ) (f. Greena zawsze zależy od różnicy argumentów) w postaci transformaty Fouriera: Z d3 q i~q(~r−~r0 ) (3) 0 δ (~r − ~r ) = e , (2π)3 Z d3 q i~q(~r−~r0 ) 0 e G̃(~q), (28.8) G(~r − ~r ) = (2π)3 Podstawiając (28.8) równania do obu stron równania (28.6) otrzymujemy G̃(~q) = k2 1 . − q2 (28.9) Widzimy zatem, że po pierwsze funkcja Greena G̃ nie zależy od kierunku, a po drugie, że możemy mieć kłopoty z drugą transformatą Fouriera (28.8), żeby wyliczyć G. Rzeczywiście Z d3 q i~q~x 1 e (28.10) G(~x) = (2π)3 k2 − q2 nie jest dobrze określona dla k = q. Zanim zajmiemy się tą trudnością, wykonajmy całkę po kątach: Z∞ G(~x) = 1 q 2 dq 3 2 (2π) k − q 2 1 1 (2π)2 ix Z∞ Z1 dϕ 0 0 = Zπ d cos θ eiqx cos θ −1 qdq iqx −iqx e − e . k2 − q2 (28.11) 0 Jeśli w drugiej całce zamienić q → −q to otrzymamy i G(x) = (2π)2 x Z∞ qdq eiqx , (q − k)(q + k) (28.12) −∞ gdzie opuściliśmy znak wektora nad x, gdyż jak widać, funkcja G(x) zależy tylko od modułu x = |~x|. Całkę po osi rzeczywistej możemy wykonać domykając kontur całkowania w górnej półpłaszczyźnie zespolonego q, gdyż x > 0. W tym celu, trzeba dokonać wyboru, jak obejść bieguny w punktach q = ±k. Po pierwsze, jeżeli oba bieguny obejdziemy górą to dostaniemy w wyniku zero. A zatem zostają trzy możliwości • albo q = −k −iε (a) i q = k +iε (d), wówczas tylko ten drugi biegun daje przyczynek G+ (x) = − 169 1 ikx e , 4πx (28.13) q a c b d Rysunek 1: Osobliwości w płaszczyźnie zespolonego q. • względnie q = −k + iε (b) i q = k − iε (c) i wtedy G− (x) = − 1 −ikx e , 4πx (28.14) • oraz kiedy oba bieguny obejdziemy dołem (b, d), wówczas 1 1 G(x) = G+ (x) + G− (x). 2 2 (28.15) Wybraliśmy tu czynnik 1/2 aby spełnione było równanie (28.6). O tym którą możliwość wybrać, zadecyduje asymptotyka otrzymanych rozwiązań. Zauważmy, że dla dużych r mamy √ x = |~r − ~r0 | = r2 + r02 − 2rr0 cos θ r r0 ' r 1 − 2 cos θ ' r − r0 cos θ (28.16) r i dalej kx ' kr − ~kf ~r0 , (28.17) gdzie ~kf = k ~r (28.18) r jest wektorem skierowanym wzdłuż promienia ~r o module równym k (zachowanie energii!). Zatem, jeśli we wzorze (28.7) użyć G+ to część niejednorodna funkcji ψ zachowuje się jak eikr , a więc jak wychodząca od centrum fala kulista. Z kolei G− opisuje wchodzącą do centrum falę kulistą. W celu opisania rozproszenia za G musimy przyjąć G+ . 170 → r' → r Rysunek 2: Przybliżenie dużych odległości. 28.3 Amplituda rozpraszania Podstawiając do (28.7) G+ i j dane równaniem (28.4) otrzymujemy: m ψ(~r) = ui (~r) − 2πh̄2 Z 3 0e dr ik|~ r−~ r0 | |~r − ~r0 | V (~r0 )ψ(~r0 ). (28.19) Równanie to będziemy rozwiązywać perturbacyjenie zakładając, że V jest „małe”. Najlepiej jest to zrobić wprowadzając parametr λ V → λV (28.20) ψ = ψ (0) + λψ (1) + λ2 ψ (2) + . . . (28.21) i rozwijając Otrzymujemy wówczas rekurencję ψ (0) (~r) = ui (~r), Z ik|~ r−~ r0 | m (n) 3 0e ψ (~r) = − V (~r0 )ψ (n−1) (~r0 ) dr 2 0 |~r − ~r | 2πh̄ (28.22) co daje Z ik|~ r−~ r0 | m 3 0e V (~r0 )ui (~r0 ) ψ (~r) = − 2 d r 0| |~ r − ~ r πh̄ 2 Z Z ik|~ r−~ r 0| ik|~ r 0 −~ r 00 | m (2) 3 0e 0 3 00 e ψ (~r) = V (~r ) d r 0 V (~r 00 )ui (~r 00 ) dr |~r − ~r 0 | |~r − ~r 00 | πh̄2 (1) (28.23) i tak dalej. Zauważmy, że dla r r0 i dla zlokalizowanych potencjałów możemy użyć przybliżenia (28.16) i (28.17) pod pierwszą całką po dr0 : Z m eikr 0 ~ (1) ψ (~r) = − 2 d3 r0 e−ikf ~r V (~r0 )ui (~r0 ) × (28.24) r πh̄ 2 Z Z ik|~ r 0 −~ r 00 | m eikr (2) 3 0 −i~kf ~ r0 0 3 00 e 00 00 ψ (~r) = d r e V (~ r ) d r V (~ r )u (~ r ) × . i |~r 0 − ~r 00 | r πh̄2 171 Wzór (28.24) ma bardzo prostą interpretację fizyczną: kolejne przybliżenia odpowiadają kolejnym rozproszeniom na potencjale V przeplatanym propagacją swobodną opisaną funkcją Greena (28.13). Widać zatem, że ogólna postać funkcji falowej daje się zapisać jako ψ(~r) = ui (~r) + Af i × eikr , r (28.25) gdzie Z m m Af i = − huf |V | ψi (28.26) d3 r0 u∗f (~r0 )V (~r0 )ψ(~r0 ) = − 2 2πh̄ 2πh̄2 jest amplitudą rozpraszania od stanu i (zauważmy, że funkcja ψ w przypadku braku oddziaływania redukuje się do funkcji ui ) do stanu f . Amplituda ma wymiar długości i nie zależy od r a tylko od kątów (poprzez ~kf ). Podstawiając za ψ i kolejne przybliżenia (28.24) otrzymujemy kolejne przybliżenia dla amplitudy rozpraszania. W pierwszym rzędzie dostajemy tzw. przybliżenie Borna: Z m Af i = − d3 r0 u∗f (~r 0 )V (~r 0 )ui (~r0 ) 2 2πh̄ Z m 0 ~ ~ = − d3 r0 e−i(kf −ki ) ~r V (~r 0 ). (28.27) 2 2πh̄ czyli transformatę Fouriera potencjału. Warto zauważyć, że tak zdefiniowana amplituda Af i ma wymiar długości. 28.4 Przekrój czynny Rozpraszanie przyjęło się charakteryzować za pomocą różniczkowego przekroju czynnego. Aby zdefiniować przekrój czynny przypomnijmy sobie najpierw tzw. równanie ciągłości ∂ ~ ·S ~ = 0, P (~r, t) + ∇ ∂t ~ gdzie P = |ψ|2 jest gęstością prawdopodobieństwa a wektor S ~ − ψ ∇ψ ~ ∗ ~ = − ih̄ ψ ∗ ∇ψ S 2m (28.28) ~ ma wymiar cm/ (s × cm3 ) = nosi nazwę gęstości prądu prawdopodobieństwa. Wektor S ~ S ~ na jednostkę 1/ (s × cm2 ). Opisuje on zatem liczbę cząstek padających w kierunku S/ powierzchni, na jednostkę czasu. Wygodnie jest jednak przyjąć normalizację, w której funkcja falowa jest bezwymiarowa. Taką normalizację przyjęliśmy we wzorze ψ(~r) = ui (~r) + Af i × 172 eikr r (28.29) ~ opisuje liczbę cząstek (brak czynnika normalizacyjnego przy ui ). Wówczas wektor S padających w jednostce czasu. Przez element powierzchni r2 dΩ przechodzi w ciągu sekundy Nf cząstek rozproszonych Nf = Sfr r2 dΩ (28.30) gdzie Sfr jest składową radialną gęstości prądu prawdopodobieństwa dla funkcji falowej ψ f opisującej cząstki rozproszone Sfr ih̄ =− 2m ∂ψ ∗f h̄k ∗ ∂ψ f ψf − ψf = |Af i |2 . 2 ∂r ∂r mr (28.31) gdyż funkcja falowa cząstek rozproszonych to ψ f = Af i eikr . r Zwróćmy uwagę, że w przyjętej przez nas normalizacji Af i ma wymiar [cm]. Całkowita liczba cząstek padających na jednostkę czasu dana jest wzorem: h̄k ~ i Ni = S . i = m (28.32) (28.33) Różniczkowy przekrój czynny definiujemy jako Sr r2 dΩ Nf k = = |Af i |2 dΩ dσ(θ, ϕ) = Ni ki ~i S (28.34) przy czym dla rozpraszania elastycznego (z zachowaną energią) mamy dσ(θ, ϕ) = |Af i (θ, ϕ)|2 . dΩ (28.35) Różniczkowy przekrój czynny jest wyrażoną w jednostkach powierzchni miarą prawdopodobieństwa rozproszenia pod kątem θ i ϕ. Zauważmy na koniec, że gdybyśmy przyjęli inną normalizację funkcji falowej, to i tak uprościła by się ona we wzorze (28.34) 173