Pytania na egzamin z fizyki statystycznej

1. Równanie Boltzmanna, przybliżenie 0 i 1 rzędu
!
F~
∂
+ ~v ∇~r + ∇~v f (0) (~r, ~v , t) = 0,
∂t
m
F~
∂
+ ~v ∇~r + ∇~v
∂t
m
2. Twierdzenie Boltzmanna, warunki, jakie spełnia H(t):
Z
dH(t)
H(t) = d3 v f (~v , t) ln f (~v , t),
¬ 0,
dt
!
h
i
g
f (0) (~r, ~v , t) + g(~r, ~v , t) = −
τ
dH(t)
= 0,
dt
gdy f20 f10 = f2 f1
3. χ(~r, ~v ) jest zachowawcza przy dowolnym zderzeniu dwóch cząstek (~v1 , ~v2 ) → (v~0 1 , v~0 2 ) zachodzącym w punkcie
~r i spełnia równanie: χ1 − χ2 = χ01 − χ02
4. Dla dowolnych wielkości zachowawczych znika całka wzięta razem z całką zderzeń, zapisz to jako równość:
Z
∂f (~r, ~v , t)
3
d v χ(~r, ~v )
=0
∂t
zderz
5. Równanie ciągłości wyraża zasady zachowania masy, pędu i energii kinetycznej ruchu cieplnego, a do ich
wyznaczenia potrzebna jest funkcja rozkładu f .
6. Czas relaksacji w układzie jednorodnym opisuje wzór Debye’a
t
g = g0 exp −
,
τ — czas relaksacji
τ
7. W zespole statystycznym parametrami są, wymienić trzy: V (objętość), E (energia), N (liczba cząstek).
8. Podaj rodzaje przestrzeni i parametry je opisujące: fazowa (p, q), stanów (p, q, t), zderzeń (q, t), konfiguracyjna (q), odwrotna (p).
9. Postulat równego a priori prawdopodobieństwa mówi, że stan makroskopowy układu należącego do zespołu
mikrokanonicznego może być z równym prawdopodobieństwem dowolny ze stanów spełniających warunki
makroskopowe układu.
10. Definicja entropii dla ZMK: S(E, V ) = k ln Γ(E), Γ → ω, Σ
11. Zerowa zasada termodynamiki mówi, że podukłady układu znajdującego się równowadze termodynamicznej
tworzą klasę równoważności ze względu na temperaturę.
12. Zgodnie z II zasadą termodynamiki możliwe są procesy samoistne dla których:
∂S
­0
∂t E,T
13. Zgodnie z zasadą ekwipartycji:
hqi , ṗj i = −δij kT,
xi ,
∂H
∂xj
= −δij kT,
hHi = U = n
14. Suma statystyczna i jej związek z termodynamiką
Z 3N 3N
d p d q −βH(p,q)
e
= e−βF (p,q)
QN (V, T ) =
N !h3N
15. Wielka suma statystyczna
Ξ(T, V, z) =
∞
X
z N QN (T, V )
N =0
16. Aktywność z = exp(βµ), µ — potencjał chemiczny
17. Ogólna postać równania stanu
pV
= ln Ξ(V, T, z)
kT
18. Związek Ξ z hN i i hHi
hN i = z
∂
Ξ(V, T, z),
∂z
hHi = U = −
1
∂
Ξ(V, T, z),
∂β
kT
2
√
19. Fluktuacje energii i liczby cząstek w ZWK są rzędu N .
20. Operator gęstości stanów i średnie wartości wielkości obserwowanych hOi:
X
Tr(Oρ)
ρ=
|Ψm iρm,n hΨn |,
hOi =
Tr(ρ)
m,n
21.
22.
23.
24.
Dla ZK ρ ma postać ρ(p, q) = exp[−βH(p, q)].
III zasada termodynamiki jest spełniona dokładnie, gdy stan podstawowy jest niezdegenerowany.
Dozwolona liczba obsadzeń dla cząstek kwantowych:fermiony (0, 1), bozony (0, 1, 2, . . . ).
Średnia liczba obsadzeń cząstek w stanie:
hnp i = −
1 ∂
z exp(−βεp )
ln Ξ =
β ∂εp
1 ∓ z exp(−βεp )
25. Potencjał chemiczny cząstek związany jest z ich liczbą a dla cząstek nie zachowujących się wynosi 0.
26. Podstawowe równania dla gazów kwantowych:
— fermiony
p
1
1
1
= 3 f 25 (z),
= 3 f 32 (z)
kT
λ
v
λ
— bozony
p
1
1
1
1
1 z
= 3 g 52 (z) = ln(1 − z),
= 3 g 32 (z) −
kT
λ
v
v
λ
v1−z
27. Równanie stanu dla gazów kwantowych U = 32 pV .
28. Gazy kwantowe przechodzą w klasyczny gaz Boltzmanna gdy z jest małe a T duże, wówczas f (z) i g(z) są
równe z. Równanie stanu ma postać pV = nRT .
29. Średnia po czasie wielkości makroskopowej jest równa w warunkach równowagi średniej po zespole (hipoteza
ergodyczna Boltzmanna).
30. Równanie asymptotyczne Sommerfelda dla gazu doskonałego Fermiego dotyczy obszarów dużych z i małych
temperatur.
31. Poprawki w równaniu stanu efektów kwantowych nazywamy poprawkami wirialnymi. Dla dużych temperatur zależą od T jak T −3/2 .
32. W niskich temperaturach potencjał chemiczny zależy od T :
"
2 #
π 2 kT
µH = εF 1 −
→ µH ≈ 1 − T 2
12 εF
33. CV dla gazu Fermiego:
CV
π 2 kT
=
Nk
2 εF
34. Podatność gazu Fermiego dla niskich i wysokich T :
— Niskie T
"
2 #
π 2 kT
χ = µB v0 1 −
= const
12 εF
— Wysokie T
µ2
µ2N
B
lub
χ= B
V kT
V kT
35. Dla bozonów µ = 0, bo liczba cząstek nie jest stała.
36. Odpowiedź: CV = T 3
37. Prawo Stefana-Boltzmanna: I(T ) = σT 4
38. Prawo Wiena: Vmax = bT
39. Istnienie ωp wynika z:
Z
3V ω 2
ϕ(ω)dω = 3N
ϕ(ω) =
2π 2 c2
3
40. CV fotonów w niskich T zależy od T : CV = T .
41. W procesie kondensacji Bosego-Einsteina układ przechodzi do stanu z parametrami V < Vkr , T < Tkr w
przestrzeni pędów.
42. Kondensacja Bosego-Einsteina to przejście fazowe 1 rodzaju.
43. Odpowiedź: CV = T 3/2 .
χ=
2