Wskazówki do wykonania sprawozdania

WSKAZÓWKI DO WYKONANIA
SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ
LABORATORYJNYCH
Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy:
1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony.
W krótki i zwięzły sposób opisują Państwo jakie prawa czy też zjawiska fizyczne będą
badane, jakich przyrządów będziecie Państwo używać, itp.
2. Opis przeprowadzonych pomiarów.
W jasny i zwięzły sposób opisują Państwo, co zostało zmierzone i w jaki sposób.
Otrzymane wyniki doświadczalne powinny zostać przedstawione np. w formie tabeli lub
w inny przejrzysty sposób. Jeśli jest ich bardzo dużo, mogą pozostać w protokole pomiarowym i załączone do sprawozdania (ksero);
3. Opracowanie wyników.
a) Wykonujemy niezbędne obliczenia np. niepewności pomiarowych i innych wymaganych w ćwiczeniu wielkości. Wszystkie wzory i zależności, które są wykorzystywane powinny znaleźć się w sprawozdaniu wraz z uzasadnieniem ich zastosowania.
Pośrednie wyniki (obliczenia) niekoniecznie muszą się znajdować w sprawozdaniu.
Ważne jest natomiast, aby zostały wypisane przykładowe obliczenia wraz z jawnym
podstawieniem danych do wzoru, po to, by czytający sprawozdanie nie miał wątpliwości, iż dany wzór został prawidłowo użyty;
b) Końcowe obliczenia proszę zapisać w przejrzystej formie;
4. Podsumowanie i dyskusja otrzymanych wyników
Jest to bardzo ważna część sprawozdania, w której należy w kilku zdaniach dokonać
podsumowania tego, co zostało zmierzone w ćwiczeniu i skomentować otrzymane wyniki.
Należy przedyskutować otrzymane wyniki, tj. napisać jakie czynniki w trakcie wykonywania ćwiczenia mogły mieć wpływ na otrzymane wartości. Otrzymane rezultaty należy
porównać z danymi tablicowymi. W tym celu należy sięgnąć po odpowiednią literaturę,
np. tablice wielkości fizycznych itp. Należy podać z jakiej literatury się korzystało.
Przykład:
Zmierzono wartość przyspieszenia ziemskiego g. Otrzymany wynik jest zgodny w granicach błędu pomiarowego z wartością tablicową/Otrzymany wynik nie jest zgodny z
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
wartością tablicową, (dlaczego?) .
UWAGI
Konwencja zapisu wyniku końcowego:
• Jeśli w ćwiczeniu należało wyznaczyć jakąś wielkość np. napięcie, to końcowy wynik powinien być podany w postaci:
Przykład:
otrzymana wartość napięcia wynosi: U = (5, 17 ± 0, 020)[ V ];
zawsze podajemy wielkość i niepewność pomiarową z dokładnością do
drugiego znaczącego miejsca niepewności oraz jednostkę tej wielkości !!
• jeśli w ćwiczeniu, w celu obliczenia/wyznaczenia jakiejś wielkości lub współczynników, należało skorzystać z metody regresji liniowej, to należy załączyć odpowiedni rysunek
oraz prawidłowo go podpisać, z uwzględnieniem równania otrzymanej prostej
regresji; proszę nie zapominać o jednostkach współczynników!
Przykład:
równanie prostej, ilustrujące zależność napięcia U od temperatury t jest następującej postaci:
U = (4, 35 ± 0, 04)[ 0VC ] ∗ t + (12, 16 ± 0, 13)[V ]
w taki sposób powinna być podpisana prosta na rysunku, jak również proszę nie zapominać o jednostkach i podpisaniu osi na rysunkach;
• jeśli do obliczeń wykorzystujemy programy komputerowe, jak np. Excel lub Origin, należy
to zaznaczyć w sprawozdaniu.
Obliczanie niepewności pomiarowych
Niepewność charakteryzuje rozrzut w całym zbiorze pomiarów. Informuje nas o tym, jak dokładny jest wynik:
∆x - niepewność bezwzględna
∆x
- niepewność względna
x
Przy wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej samej wielkości fizycznej otrzymujemy różne
wyniki. Niektóre z nich mogą powtarzać się z dużą częstością. Za częstość występowania wyniku
o wartości xi przyjmujemy stosunek nni , gdzie ni jest liczbą pomiarów dających wynik xi , a n
całkowita liczba pomiarów. Zależność nni od xi dla dużej liczby pomiarów n → ∞, jest określona
rozkładem Gaussa, zwanym również rozkładem normalnym (Rys. 1). Rozkład prawdopodobieństwa niepewności przypadkowej jest również rozkładem Gaussa o watości oczekiwanej równej
zero oraz o ochyleniu standardowym pomiarów σ, które jest miarą niepewności pojedynczego
pomiaru. Rozkład prawdopodobieństwa ϕ(x) wartości mierzonej, jest także rozkładem Gaussa
o wartości oczekiwanej równej wartości prawdziwej mierzonej wielkości xm oraz odchyleniu
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
standardowym równym σ:
1
−(x − xm )2
)
ϕ(x) = √
exp(
2σ 2
2 2πσ
(1)
Rysunek 1: Zależność częstości pojawienia się wartości xi od uzyskanej w wyniku pomiaru
wartości x. Prawdopodobieństwo znalezienia wyniku pomiaru w przedziale hx̄−σ, x̄+σi wynosi
około 68.5%.
W praktyce laboratoryjnej wykonujemy zawsze skończoną liczbę pomiarów i parametry
rozkładu Gaussa musimy estymować. Najczęściej estymowanymi wielkościami są: wartość oczekiwana pomiaru, odchylenie standardowe pomiarów oraz odchylenie standardowe wartości oczekiwanej:
• średnia artmetyczna x̄ - estymator wartości oczekiwanej (dla skończonej liczby pomiarów):
x̄ =
X
1 i=n
n
xi
(2)
i=1
• niepewność pojedynczego pomiaru σ jest estymowana przez:
v
u
u
Sx = t
1
i=n
X
n−1
i=1
(xi − x̄)
(3)
√
• odchylenie standardowe Sx̄ średniej arytmetycznej jest n razy mniejsze od odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru, jest więc estymowane przez:
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
v
u
u
Sx = t
1
i=n
X
n(n − 1)
i=1
(xi − x̄)
(4)
Odchylenie standardowe interpretujemy następująco: wykonując serię n pomiarów i obliczając x̄, możemy tę wartość znaleźć w przedziale hx̄ − Sx̄ , x̄ + Sx̄ i z prawdopodobieństwem 0.685.
Dokładność metody pomiarowej charakteryzuje niepewność pojedynczego pomiaru Sx . Natomiast odchylenie standardowe Sx̄ opisuje dokładność wyznaczenia prawdziwej wartości wielkości
mierzonej.
Wartość niepewności Sx̄ zależy od liczby pomiarów i maleje wraz z rosnącą ich liczbą. W laboratorium często wykonuje się serie składające się z 10 pomiarów. W przypadku tak małej
liczby pomiarów Sx̄ daje zaniżoną wartość niepewności. Chcąc uzyskać jej poprawną wartość,
należy Sx̄ pomnożyć przez tzw. współczynnik rozkładu Studenta-Fishera tn,α (wartości tych
współczynników można znaleźć w polecanej literaturze). Jest on zależny od liczby pomiarów
n oraz przyjętego poziomu ufności. W laboratorium przyjmujemy wartość α = 0.95, wówczas
hx̄ − Sx̄ tn,α , x̄ + Sx̄ tn,α i.
Całkowita niepewność pomiarowa jest dana jako:
s
S¯x =
Sx̄2 +
1
3
(∆xd )2
(5)
gdzie ∆xd to niepewność działki pomiarowej.
Niepewności w pomiarach pośrednich:
W laboratorium często wyznaczamy wielkości fizyczne, których nie można zmierzyć w sposób
bezpośredni za pomocą przyrządów, ale znana jest zależność funkcyjna:
z = f (x1 , x2 , ...., xn )
W tym przypadku bezpośrednio mierzymy wielkości x1 , x2 ,....,xn i wyznaczamy ich niepewności
całkowite. Wynik końcowy jest dany jako wielkość najbardziej prawdopodobna:
z̄ = f (x̄1 , x̄2 , ...., x̄n )
Miarą niepewności pomiaru pośredniego jest średnia kwadratowa niepewność:
s
S̄z =
(
∂f
∂f
∂f
S̄x1 )2 + (
S̄x2 )2 + ....... + (
S̄x )2 ,
∂x1
∂x2
∂xn n
(6)
∂f
oznacza pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej xi .
gdzie ∂x
i
Gry wielkości pośrednie nie są mierzone wielokrotnie, to należy obliczyć niepewność maksymalną daną jako:
∂f
∂f
∂f
∆x1 | + |
∆x2 | + ....... + |
∆xn |,
∂x1
∂x2
∂xn
gdzie ∆xi oznacza niepewność maksymalną wielkości xi .
∆zmax = |
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
(7)
Zależności liniowe:
Często mierzone wielkości fizyczne x i y są związane zależnością liniową: y=ax+b. Gdzie
współczynniki a i b można wyznaczyć metodą regresji liniowej. Najczęściej stosowane rodzaje
regresji liniowych:
• regresja klasyczna - stosowana gdy nie mamy żadnej informacji o niepewnościach pomiarowych lub są to niepewności systematyczne,
• regresja zwyczajna - stosowana gdy niepewnością pomiarową obciążone są wartości
tylko jednej zmiennej (x lub y) i dodakowo mają takie same wartości niepewności pomiarowch,
• regresja ważona - stosowana gdy niepewnością pomiarową obciążone są wartości tylko
jednej zmiennej (x lub y), ale niepewności te mają różne wartości, przynajmniej dla
niektórych punktów pomiarowych.
Wszystkie niezbędne wzory do obliczenia współczynnków regresji liniowych, ich niepewności,
jak również więcej przydatnych informacji można znaleźć w proponowanej literaturze.
Materiały te zostały przygotowane w oparciu o książkę I pracownia fizyczna pod redakcją
prof. Andrzeja Magiery.
Literatura
1. I pracownia fizyczna, redakcja naukowa Andrzej Magiera, Instytut Fizyki UJ
2. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999.
3. Wykład o niepewnościach pomiarowych prezentowany na pierwszych zajęciach.
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego