Pochodna funkcji odwrotnej
Transkrypt
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu . : ), ciągła w przedziale (lub — zależnie od tego, czy jest rosnąca czy malejąca). Pokażemy, że w tym przedziale funkcja też jest różniczkowalna, a przy okazji wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji odwrotnej. Mianowicie mamy Twierdzenie Jeśli tzn. , to przy założeniu że . Dowód Przy zadanym skąd weźmy . Mamy więc . Możemy więc traktować , mamy Mamy więc: , a ponadto dla , tzn. jako funkcję . Ze względu na ciągłość funkcji mamy , ponieważ funkcja Przy drugiej równości powyżej korzystaliśmy z faktu, iż dla funkcji ciągłych , to , jest różnowartościowa. , mamy: Jeśli . CBDO Uwaga Twierdzenie powyższe ma ilustrację/interpretację geometryczną. Rozpatrzmy krzywą daną równaniem i znaczmy przez . Poprowadźmy w jakimś punkcie kąt utworzony przez styczną z osią (tu , a przez ) styczną do tej krzywej — kąt utworzony przez styczną z osią . Oczywiście . Wówczas czyli — zgodnie z wzorem (1). Za pomocą powyższego twierdzenia policzymy pochodne kolejnych funkcji elementarnych. Twierdzenie i, ogólniej, . Dowód Weźmy ; wtedy . Mamy: ostatnia równość to właśnie ,a . W ogólniejszym przypadku , bierzemy , a dla funkcji odwrotnej . Pamiętamy, że . CBDO Twierdzenie 1. 2. . Dowód 1. Weźmy i wtedy . Mamy: , (znak pierwiastka to plus, bo ), a ostatnia równość to 2. Rozważania są analogiczne: znaku, bo . , ; jedyna różnica jest w i dalej jak w a), z wynikiem końcowym CBDO Twierdzenie . Dowód Dla jest , ; stąd . . Ekstrema funkcji. Twierdzenie Rolle'a Maksimum i minimum Niech funkcja zawierającym będzie określona w otoczeniu punktu ). Jeśli istnieje takie , że (tzn. w jakimś przedziale otwartym, to mówimy, że funkcja mamy nierówność: ma maksimum w punkcie . Jeśli zaś przy analogicznych założeniach to mówimy, że funkcja ma minimum w punkcie . Innymi słowy, w punkcie , że występuje maksimum (minimum), jeśli istnieje takie otoczenie jest największą (najmniejszą) liczbą w zbiorze wartości, jakie funkcja Jeśli we wzorach (2) i (3) zastąpić znaki (minimum) właściwym. ( ) przez ( punktu przyjmuje na . ), to mamy do czynienia z maksimum Przykłady 1. Funkcja 2. funkcja . 3. funkcja posiada minimum w punkcie posiada maksima w punktach posiada minimum w ; , oraz minima w punktach , . Esktrema Maksima i minima obejmujemy wspólną nazwą ekstremów funkcji . Z pojęciem ekstremum ściśle jest związane (ale różne) pojęcie kresów wartości funkcji na zbiorze. Ekstrema są pojęciami lokalnymi: Aby stwierdzić, czy funkcja posiada ekstremum w danym punkcie , wystarczy znać wartości funkcji w dowolnie małym otoczeniu punktu . Natomiast wyznaczenie kresów zbioru wartości funkcji na zbiorze wymaga znajomości funkcji na całym . Z definicji maksimum wynika natychmiast Twierdzenie Jeśli funkcja określona w przedziale osiąga kres górny w punkcie należącym do wnętrza tego przedziału (tzn. ), to funkcja posiada maksimum w . (analogicznie dla kresu dolnego i minimum). CBDO Kresy Jeśli okaże się, że kres górny funkcji jest osiągany w jednym z końców przedziału (np. w ), to nie mówimy, iż w tym punkcie funkcja posiada maksimum, ponieważ funkcja nie jest określona w otoczeniu . Np. funkcja jednak maksimum. na zbiorze posiada kres górny równy 1; nie nazywamy go Twierdzenie Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i posiada w tym punkcie ekstremum, to . Dowód Załóżmy, że posiada w punkcie Weźmy więc takie maksimum (jeśli minimum, to rozumowanie jest analogiczne). , aby dla dowolnego takiego, że , zachodziła nierówność . Dzieląc przez , otrzymujemy dla dla Ponieważ z założenia istnieje pochodna , to Z poprzednich nierówności wynika jednak, że . Musi więc być CBDO Uwaga Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: Równość może być spełniona, mimo iż funkcja posiada ekstremum w . Jest tak np. dla funkcji w punkcie nie . Punkt krytyczny Jeśli funkcja jest różniczkowalna w krytycznym funkcji . i , to punkt nazywamy punktem Uwaga Istnienie ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie punkcie jest równoległa do osi oznacza, że styczna do krzywej (z możliwością, że się z tą osią pokrywa). w Twierdzenie (Rolle'a) Niech funkcja będzie ciągła w przedziale domkniętym przedziału. Jeśli i różniczkowalna wewnątrz tego , to istnieje takie , że oraz . Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a,b] i f(a)=f(b) to istnieje taki punkt c, że dla Dowód Jeśli funkcja jest stała, to będzie spełniona. Załóżmy więc, że funkcja przez . Można wtedy wziąć dowolny nie jest stała; np. niech przyjmuje wartości większe od kres górny zbioru wartości funkcji na przedziale Weierstrassa, istnieje takie ; zatem i teza tw. Rolle'a , że , mamy: . Przy tym . To znaczy, że funkcja . Oznaczając . Zatem, z tw. , ponieważ z założenia osiąga kres górny w punkcjie położonym wewnątrz przedziału . Zgodnie z twierdzeniem niedawno udowodnionym funkcja posiada w punkcie maksimum, co z kolei implikuje (pamiętając o różniczkowalności wewnątrz przedziału), że . CBDO Uwaga Twierdzenie Rolle'a można sformułować w następujący sposób: Jeśli , to istnieje takie przy tych samych założeniach, tzn. funkcja (lub . , jeśli , że ma być różniczkowalna wewnątrz przedziału ; nie zakładamy tu, że lecz jedynie że ) i ciągła w oraz Twierdzenie Lagrange'a i Cauchy'ego Twierdzenie (Lagrange'a) Załóżmy (podobnie jak w tw. Rolle'a), że funkcja jest ciągła w przedziale wewnątrz tego przedziału. Zachodzi wówczas wzór i różniczkowalna Twierdzenie Lagrange'a gdzie oraz . Uwaga Wzór ten nazywany jest też wzorem Lagrange'a na wartość średnią, lub twierdzeniem o przyrostach skończonych. Widać, że szczególnym przypadkiem (gdy dowód tw. Lagrange'a można sprowadzić do tw. Rolle'a. ) jest tw. Rolle'a. Okazuje się, że Dowód Weźmy mianowicie funkcję i różniczkowalna w i ponadto jest ciągła na ; jej pochodna jest Ponadto , zatem znika w pewnym punkcie między że spełnia założenia tw. Rolle'a. Skoro tak, to pochodna i . Możemy to wypowiedzieć tak, że istnieje takie czyli zachodzi wzór z tezy tw. Lagrange'a. , CBDO Uwaga W sposób podobny, jak wzór (4) przy tw. Rolle'a, można tezę tw. Lagrange'a sformułować w następujący sposób: Dla funkcji różniczkowalnej wewnątrz przedziału jest to przedział i ciągłej na ) istnieje takie (to dla ; dla , że Wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a Z tw. Lagrange'a wypływają dwa wnioski, bardzo ważne dla rachunku całkowego: Twierdzenie Jeśli zachodzi , to funkcja w tym przedziale jest stała. Dowód Na mocy udowodnionego dopiero co wzoru (6), mamy bowiem dla każdego co oznacza, że i : , const. CBDO Twierdzenie Jeśli zachodzi , to const. Dowód Mamy: , czyli funkcja mocy dopiero co udowodnionego twierdzenia znaczy to, że const. ma pochodną równą zeru. Na jest stała, tzn. CBDO Twierdzenie (Cauchy'ego; (czasem z przydomkiem: O wartości średniej)) Jeśli funkcje i są ciągłe na przedziale , to istnieje takie , że i różniczkowalne wewnątrz oraz jeśli jest gdzie . Przed dowodem Uwaga Twierdzenie Lagrange'a otrzymuje się z tw. Cauchy'ego, jeśli podstawić . Okazuje się, że także tw. Cauchy'ego wynika z tw. Lagrange'a, ale tu trzeba zaargumentować następująco: Dowód Weżmy funkcję (mianownik jest różny od zera ze względu na założenie, że wszędzie w przedziale mamy i tw. Rolle'a). Funkcja spełnia założenia tw. Rolle'a: Jest różniczkowalna i ciągła jak trzeba, oraz . Pochodna funkcji zatem (z tw. Rolle'a) istnieje takie (8), otrzymujemy (7). jest , że . Podstawiając we wzorze Analogicznie do sposobu, w jaki tw. Rolle'a i Lagrange'a były wyrażane wzorami (4) i (6), można tw. Cauchy'ego sformułować tak: Istnieje takie, że Uwaga W powyższym wzorze jest TO SAMO w liczniku i mianowniku. Różniczkowanie funkcji złożonych Niech niech , i , przy tym funkcja będą różniczkowalne, a pochodna pochodną funkcji złożonej jest określona na zbiorze wartości funkcji ; ponadto niech będzie ciągła. Następujący wzór wyraża przez pochodne i . Twierdzenie tzn. Dowód Przy danych i weźmy , tzn. Lagrange'a na wartość średnią w wersji (6) do funkcji ; otrzymamy . Zastosujmy teraz wzór dla pewnego (pamiętajmy, że jest pewną funkcją ). Co stanie się z powyższym wyrażeniem, gdy weźmiemy jego granicę przy ? Otóż ze względu na ciągłość funkcji , mamy , a ponieważ , to również połączeniu z ciągłością funkcji . Skoro tak, to , co — w — daje Mamy więc: Przykłady 1. na dwa sposoby: 1. 2. (różniczkowanie funkcji złożonej) 2. 3. Udowodnimy teraz anonsowany wcześniej wzór Dow. Napiszmy w postaci: i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej CBDO Niejednokrotnie trzeba kilkakrotnie zastosować twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Mamy np. pochodną funkcji trzykrotnie złożonej: Sztuczka mnemoteczniczna Wzór powyższy można zapamiętać np. w następujący sposób: Oznaczmy: , , , oraz . Można wtedy napisać pamiętając,w jakich punktach są liczone wszystkie pochodne. W powyższym wzorze pochodne zachowują się jak ułamki. Ale UWAGA! Jest to zbieżność przypadkowa; inne pochodne (zwł. cząstkowe) już siętak nie zachowują! Uwaga — wzór na pochodną funkcji odwrotnej ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: biorąc pochodną: i lub Związek między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji Z tw. Lagrange'a wynika następujący związek pomiędzy znakiem pochodnej a tym, czy funkcja rośnie, czy maleje. Twierdzenie * Jeśli mamy zachodzi nierówność , to funkcja , to funkcja jest w tym przedziale ściśle rosnąca. Jeśli jest ściśle malejąca. Dowód Ze wzoru (6) mamy, dla : jeśli w przedziale pochodna jest stale dodatnia, bądź , jeśli pochodna jest stale ujemna. Czyli funkcja jest ściśle rosnąca w pierwszym przypadku, a ściśle malejąca w drugim. CBDO Uwaga Jeśli założyć, że zachodzi nierówność nieostra jest rosnąca (malejąca). Zachodzi również twierdzenie odwrotne do powyższego: ( ), to w tezie mamy, że funkcja Twierdzenie Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie zawierającym ten punkt, to i rośnie (maleje) w jakimś przedziale (odpowiednio ). Dowód Jeśli rośnie, to dla mamy i przechodząc do granicy Jeśli funkcja otrzymujemy . maleje, to rozumowanie jest analogiczne. CBDO Z tw. *(https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A) wynika Twierdzenie (wynikające z tw. *) Jeśli i pochodna otoczeniu punktu . jest ciągła w punkcie , to funkcja Analogicznie: Jeśli i pochodna w pewnym otoczeniu punktu . jest ściśle rosnąca w pewnym jest ciągła w punkcie ,to funkcja jest ściśle malejąca Dowód Ponieważ funkcja jest ciągła w , to nierówność mówi, że w pewnym otoczeniu punktu funkcja jest dodatnia: . Znaczy to, że pochodna jest dodatnia . Na mocy https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A, funkcja jest rosnąca w tym przedziale. CBDO Uwaga Powyższe twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: 1. Jeśli , to (przy założeniu ciągłości pochodnej) funkcja pewnym otoczeniu punktu , tzn. dla tym przedziale funkcję odwrotną dokładnie jedno rozwiązanie.. ( jest różnowartościowa w ). Skoro tak, to funkcja , czyli równanie: posiada w posiada w tym przedziale 2. Jak wiemy, pochodna tejże funkcji odwrotnej 3. Powyższe fakty: Przy założeniu jest odwrotnością pochodnej funkcji istnieje w otoczeniu punktu . funkcja odwrotna, lub że równanie: ma dokładnie jedno rozwiązanie w otoczeniu punktu — przenoszą się na wyższe wymiary, tzn. zachodzą dla odwzorowań . Oczywiście konieczne jest stosowne uogólnienie pojęć. Będzie o tym mowa w semestrze II. Wyrażenia nieoznaczone i reguła de l'Hospitala Często zdarza się konieczność obliczania granic postaci następującej: Wyrażenia tego rodzaju noszą nazwę wyrażeń nieoznaczonych typu . Twierdzenie Jeśli funkcje i są ciągłe w przedziale domkniętym przedziału i jeśli i są różniczkowalne wewnątrz tego , to przy założeniu, że ta ostatnia granica istnieje. Dowód Kluczem do dowodu jest twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej. Oznaczmy: . Należy dowieść, że Ale: Równości: i wzór Cauchy'ego (7) dają: dla pewnego . Oznaczmy . Z założenia Ponieważ zaś , to też równe ; mamy więc istnieje. i, co za tym idzie, też istnieje i jest skąd otrzymujemy wzór (de l'Hospitala). CBDO Analogiczne twierdzenie mamy w przypadku granicy lewostronnej. Wzór de l'Hospitala W przypadku, gdy pochodne i są ciągłe w punkcie , a ponadto , ze wzoru (10) (plus jego odpowiednika dla granicy lewostronnej) natychmiast wynika wzór de l'Hospitala: Uwaga Po prawej stronie powyższego wzoru nie ma granicy! Analogiczne wzory mamy w przypadku granic jednostronnych i pochodnych jednostronnych. Przykład Uwaga Jeśli zdarzy się, że po prawej stronie wyrażenia (12) mamy , to tegoż wzoru nie daje się stosować. Ale można postępować rekurencyjnie! tzn. badać wyższe pochodne. Uwaga Powyższe twierdzenia dotyczyły wyrażeń typu . Przez sztuczki z zamianą zmiennych i inne, można też liczyć inne wyrażenia nieoznaczone: ; ; ; ; .