Zrób rysunek tego trójkąta i okręgu wpisanego. Dorysuj

Zrób rysunek tego trójkąta i okręgu wpisanego. Dorysuj odcinek PQ. Dzieli on trójkąt ABC na dwie
części: trapez ABQP i trójkąt PQC, podobny do trójkąta ABC. Dorysuj wysokość trójkąta ABC
opuszczoną z wierzchołka C. Przecina on podstawę AB w punkcie D.
Aby nie pisać bez przerwy |AB|, |P Q| itp. wprowadźmy następujące oznaczenia:
Długość podstawy trójkąta ABC: a = |AB|
Długość podstawy trójkąta PQC: b = |P Q|
Wysokość trójkąta PQC oznaczmy małym h
Wysokość trójkąta ABC oznaczmy dużym H
Promień okręgu wpisanego oznaczmy r
Długość ramienia trójkąta ABC oznaczmy c = |AC| = |BC|
Dopisz te oznaczenia na rysunku, będzie lepiej widać.
Zauważ, że jeśli znajdziemy zależność wysokości H od “a” i “b” to szukane pole P trójkąta ABC
wynosi
1
P = aH
(1)
2
Napiszemy 4 równania na zmienne H, h, r, c, będziemy eliminować h, r, c, dostaniemy wtedy zależność
H od a, b.
Z podobieństwa trójkątów ABC i PQC wynika, że:
h
H
b
=
zatem h = H
b
a
a
Na odcinku CD, ponieważ PQ jest styczny do okręgu, mamy równość:
H = h + 2r
(2)
(3)
Z porównania pola trójkąta ABC wyrażonego albo jako połowa iloczynu aH, albo jako połowa obwodu
razy promień r mamy równość:
1
1
aH = (a + 2c)r
(4)
2
2
I wreszcie z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ADC mamy:
2
2
c =H +
2
a
2
(5)
Lecimy od góry. Z równania (2) wyznaczamy “h” (jest już wyznaczone) i wstawiamy do równania (3)
b
H 1−
b
H(a − b)
a
H = H + 2r zatem r =
=
(6)
a
2
2a
Wstawiamy “r” obliczone w równaniu (6) do równania (4), które przedtem mnożymy przez 2, aby
pozbyć się 1/2
H(a − b)
aH = (a + 2c)
(7)
2a
W równaniu (7) skracamy H, mnożymy przez 2a obie strony i obliczamy “c”
c=
a(a + b)
2(a − b)
(8)
Wstawiamy “c” z równania (8) do równania (5) i mamy związek H, a i b
a2 (a + b)2
a2
2
=
H
+
4(a − b)2
4
Z równania (9) wyliczamy H 2 , wyciągamy a2 /4 przed nawias.
Ciąg dalszy na następnej stronie
(9)
a2
H =
4
2
(a + b)2
−1
(a − b)2
!
(10)
Sprowadzamy wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika
H2 =
a2 (a + b)2 − (a − b)2
a2 a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2
a2 4ab
=
=
4
(a − b)2
4
(a − b)2
4 (a − b)2
(11)
Skracamy “4”, wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron i mamy “H”. Ponieważ a > b w
mianowniku nie jest potrzebna wartość bezwzględna.
√
a ab
H=
(12)
a−b
Odstawiamy otrzymane “H” do równania (1) na pole trójkąta:
√
√
a2 ab
1 a ab
=
P = a·
2
a−b
2(a − b)
Jeszcze zapiszmy to używając długości odcinków. Widać, że dostaliśmy wzór z zadania:
|AB|2 |AB| · |P Q|
P =
2(|AB| − |P Q|)
p
Pozdrowienia - Antek
(13)