1. Funkcje sufit i podłoga Z. 1. Obliczyć: ⌊2 ⌋ + ⌈ √ 3⌉ − 2 ⌊−1, 71

1. Funkcje sufit i podłoga
Z.
2 1. Obliczyć:
√ 3 − 2 b−1, 71c −
e +
1
2
d2πe.
Z. 2. Grupę 123 studentów należy podzielić na grupy laboraroryjne i 4 grupy ćwiczeniowe. Grupa
laboratoryjna nie może liczyć więcej niż 14 studentów. Ile najmniej grup laboratoryjnych należy utworzyć? Ilu co najmniej studentów będzie w każdej grupie ćwiczeniowej, zakładając możliwie równomierny
podział? W rozwiązaniu użyć funkcji podłoga i sufit.
x ∈ R i m ∈ Z prawdziwe są związki:
m ¬ x < m + 1,
x − 1 < m ¬ x,
m − 1 < x ¬ m,
x ¬ m < x + 1.
m
Z. 4. Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej m zachodzi m
2 + 2 = m.
Z. 3. Uzasadnić,
(1) bxc = m
(2) bxc = m
(3) dxe = m
(4) dxe = m
że dla
⇔
⇔
⇔
⇔
Z. 5. Uzasadnić, że ani funkcja sufit ani funcja podłoga nie mają własności addytywności ani jednorodności.
Z. 6. Ilu cyfr należy użyć do dziesiętnego zapisu liczby k ∈ N? Podać liczbę cyfr dla k = 2100 .
Z. 7. Ile liczb całkowitych znajduje się w przedziale:
(1) h0, 4i,
(2) h−0, 5; 4, 91i,
(3) ha, bi, gdy a, b ∈ Z,
(4) ha, bi, gdy a, b 6∈ Z,
(5) (a, b), gdy a, b ∈ R?
Z. 8. Rozwiązać równania:
3x − 2
2x − 1
,
=
(1)
4
5
2x − 5
3x − 4
(2)
=
,
3
2
11x − 2
x−2
(3)
,
=
4 7
2x − 1
3x − 4
=
.
(4)
5
3
bxc + m
x+m
Z. 9. Wykazać, że:
=
dla dowolnych x ∈ R, m ∈ Z i n ∈ N.
n
n
Jak zinterpretować trzykrotne zastosowanie tej własności dla m = 0 i n = 10?
Z. 10. Wykazać, że:
2
n X
n
k
=
dla n ­ 0,
(1)
2
4
k=1
n X
k
n(n + 2)
(2)
=
dla n ­ 0,
2
4
k=1 jxk
bxc
(3)
=
dla dowolnych x ∈ R, n ∈ N.
n
n
Z. 11. Wykazać, że bx + yc = bxc + byc lub bx + yc = bxc + byc + 1.
Z. 12. Wykazać, że funkcja f (x) = 2bxc − x, x ∈ R jest różnowartościowa. Wyznaczyć f −1 .
Z. 13. Rozwiązać równanie bxc + x + 21 + x + 23 = 2009.
Z. 14. (∗) Udowodnić, że dla n ∈ Z i m ∈ N+ prawdziwa jest tożsamość:
m−1
X n − k
n=
.
m
k=0
1