16.12.2010 r. Zadanie 1. Udowodnić, że funkcja pochodna funkcji

16.12.2010 r.
Zadanie 1. Udowodnić, że funkcja pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, zaś funkcji
nieparzystej jest parzysta. Wykazać, że funkcja pochodna funkcji okresowej jest okresowa z
takim samym okresem.
Zadanie 2. Znaleźć wzory na n-tą pochodną funkcji
ln x
,
x
ex cos x.
Napisać dla tych funkcji wzór Taylora z resztą Lagrange’a.
Zadanie 3. Przy założeniu, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz f (x0 ) > 0 proszę
obliczyć
n
f (x0 + n1 )
lim
.
n→∞
f (x0 )
Zadanie 4. Niech n ∈ N i f : R → R będzie zdefiniowana wzorem
1 −1/x2
e
, gdy x 6= 0;
xn
f (x) =
0,
gdy x = 0.
Wykazać, że f 0 (0) = 0.
Wskazówka: Aby policzyć granicę limh→0
de L’Hospitala.
2
e−1/h
hn+1
podstawić k := h−1 i skorzystać z reguły
Zadanie 5. Niech g : R → R będzie określona jako
−1/x2
e
, gdy x 6= 0;
g(x) =
0,
gdy x = 0.
Wykazać, że g (n) (0) = 0. Jak wygląda wzór Taylora w zerze dla funkcji g?
Wskazówka: Skorzystać z poprzedniego zadania.
Zadanie 6. Niech n ∈ N oraz fn (x) = xn−1 e1/x . Wyprowadzić tzw. wzór Halphena na n-tą
pochodną funkcji fn .
Zadanie 7. Wykazać, że dla dowolnego n ∈ N oraz x ∈ R zachodzi nierówność
n−1 k n
X
x
|x| |x|
x
≤
e .
e
−
k! n!
k=0
Wywnioskować, że dla dowolnego x ∈ R
ex = lim
n→∞
n−1 k
X
x
k=0
k!
.
Wskazówka: Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) = ex w zerze.
1
Zadanie 8. Obliczyć granicę (dla ustalonego n ∈ N)
lim x
x→0
−n−1
n
X
xm
e −
m!
m=0
x
!
.
Zadanie 9. Załóżmy, że ruch punktu po prostej opisany funkcją czasu ϕ : (−δ, δ) → R
spełnia równanie
mϕ00 (t) = F (ϕ(t))
gdzie F jest funkcją pochodną pewnej funkcji H : R → R (F = H 0 ). Wykazać, że funkcja
1
E(t) := m(ϕ0 (t))2 − H(ϕ(t))
2
jest stała. Jest to tzw. prawo zachowania energii. Funkcję t 7→
energią kinetyczną, a −H energią potencjalną.
2
1
m(ϕ0 (t))2
2
nazywa się