Pobierz PDF

Ściąga eksperta
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Pitagoras z Samos żył w latach 572 p. n. e do 497 p. n. e , założył Bractwo Pitagorejskie, które prowadziło działalność naukową; ludzie
wchodzący w skład tego bractwa uważali głównie, że świat można opisać za pomocą liczb; twierdzenie Pitagorasa używane było już
wcześniej przez Babilończyków; od Pitagorejczyków pochodzi podobno tylko ogólny dowód i nazwa twierdzenia
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej
Załóżmy, że trójkąt przedstawiony na rysunku jest prostokątny, twierdzenie wynikające z
2 2 twierdzenia Pitagorasa sprowadza się do napisania równania: z = x + y
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
2
Strona 1/5
Ściąga eksperta
Zadanie 1.
Jaką wysokość ma romb o przekątnych długości
Oznaczmy długości przekątnych rombu jako:
8 cm i 6 cm?
e = 8 cm, f = 6 cm
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/5
Ściąga eksperta
Ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to stosując twierdzenie Pitagorasa możemy obliczyć długość boku rombu a.
a2 = (e/2)2 + (f/2)2 =42 + 32 ⇒ a2 = 25 ⇒ a = 5
Nie możemy obliczyć długość wysokości h rombu stosując twierdzenie Pitagorasa, bo nie wiemy w jakim stosunku wysokość pada na bok a;
możemy policzyć pole rombu na dwa sposoby:
P = a ∙ h = (e ∙ f)/2
Dostaniemy:
P = (e ∙ f)/2 = (8∙6)/2 = 24 cm2
A z drugiej strony:
P = a ∙ h = 5h
czyli porównując pola - dostaniemy równanie:
5h = 24 ⇒ h = 4,8 cm
4,8 cm
wysokość ma długość
Zadanie 2.
W pewnym trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 16 cm, ramię jest o 4 cm dłuższe od wysokości padającej na daną podstawę;
oblicz pole tego trójkąta
Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:
(h + 4)2 = h2 + 82
stosując wzór skróconego mnożenia, dostaniemy:
h2 + 8h + 16 = h2 + 64 ⇒ 8h = 48 ⇒h = 6 cm
pole: P = (a∙h)/2 = (16∙6)/2 = 48 cm2
pole tego trójkąta wynosi 48 cm2
Zadanie 3.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm; oblicz
długości boków tego trójkąta
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 3/5
Ściąga eksperta
niech dany będzie trójkąt prostokątny
dla dowolnej liczby x > 32 możemy wprowadzić oznaczenia jak na rysunku
zastosujmy twierdzenie Pitagorasa:
x2 = (x -32)2 +(x -1)2
x2 = x2 - 64x + 1024 + x2 - 2x + 1
x2 - 66x + 1025 = 0
dostaliśmy równanie kwadratowe, wypisujemy współczynniki:
a=1, b=-66, c=1025 i liczymy wyróżnik kwadratowy:
∆ = b2 - 4ac = (-66)2 - 4 ∙ 1 ∙ 1025 = 4356 - 4100 = 256, √∆ = 16
x1 = (-b - √∆)/2a = (66 -16)/2 = 25
x2 = (-b + √∆)/2a = (66 +16)/2 = 41
rozwiązanie x1 = 25 nie spełnia naszych założeń, czyli dostaliśmy długość przeciwprostokątnej: x = 41 cm
długości przyprostokątnych wynoszą natomiast 40 cm oraz 9 cm
Zadanie 4.
Przekątna kwadratu jest o 2 cm dłuższa od jego boku; oblicz pole tego kwadratu.
Oznaczmy długość boku literą a > 0, wówczas długość przekątnej wynosi a + 2
rozwiążmy to zadanie dwoma sposobami:
1. bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa:
(a + 2)2 = a2 + a2 ⇒ a2 + 4a + 4 = 2a2 ⇒ a2 - 4a - 4 = 0
rozwiążmy otrzymane równanie kwadratowe:
∆ = 42 - 4 ∙ 1 ∙ (-4) = 16 + 16 = 32, √∆ = 4√2
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 4/5
Ściąga eksperta
a1 = (4 - 4√2)/2 = 2-2√2
a2 = (4 + 4√2)/2 = 2+2√2
pierwsze rozwiązanie jest liczbą ujemną, zatem bok kwadratu ma długość
policzymy pole omawianego kwadratu:
2. wzór na długość przekątnej kwadratu:
a=(2 + 2√2)cm
P = a2 = (2 + 2√2)2 = 4 + 8√2 + 8=(12 + 8√2) cm2
d=a∙√2 (wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa)
(a∙√2)
przekątna kwadratu ma długość
cm
z treści zadania wynika, że jest o 2 cm dłuższa od jego boku, czyli ma długość (a+2) cm
możemy zapisać równanie:
a + 2 = a√2 ⇒ a√2 - a = 2 ⇒ a ∙ (√2 -1) = 2
a = 2/(√2 - 1) = (2 ∙(√2 +1))/(√2 -1)(√2 +1) = 2√2 + 2
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 5/5