Zadania z badan operacyjnych

Zadania z badań operacyjnych
Przygotowanie do kolokwium pisemnego
10.06.2016
Zadanie 1.1. Dane jest zadanie programowania liniowego:
4x1 + 3x2  max
2x1 + 2x2 16
x1 + 2x2 ≥ 4
4x2 ≥ 8
x1, x2 ≥ 0
Sprowadzić zadanie do postaci bazowej i wykonać jedną iteracje metody simpleks.
Zadanie 1.2. Dane jest zadanie programowania liniowego:
10 y1 + 2y2 + y3  min
21 + y2 + y3 ≥3
y1 + 22
≥2
y1, y2, y3 ≥ 0
a) zapiszać zadanie dualne do niego
b) znaleźć rozwiązanie zadania dualnego metoda geometryczną,
c) korzystając z twierdzeń o dualności znaleźć rozwiązanie zadania wyjściowego.
Zadanie 2.1. Rozwiązując metodą podziału i ograniczeń zadanie programowania liniowego w liczbach
całkowitych z kryterium maksymalizacji otrzymano następującą listę zadań:
Nr zadania
Wartość funkcji
celu
Czy spełnione warunki
całoliczbowości
Numery zadań, na które zadanie
zostało podzielone
7
8
9
10
9
9,5
9,25
9,4
Tak
Nie
Tak
Nie
9;10
–
–
Określić dalszy ciąg postępowania.
Zadanie 2.2. Oddział banku pracuje nad określeniem dobrego harmonogramu pracy dla swoich
pracowników (zarówno pełnoetatowych, jak i pracujących na pół etatu). Nowy harmonogram powinien
zapewnić sprawne funkcjonowanie banku oraz odpowiednie warunki pracy dla personelu. Bank jest otwarty
codziennie od 8.00 do 19.00. Liczbę kasjerów niezbędną do zapewnienia sprawnej obsługi klientów w
zależności od pory dnia przedstawiono w poniższej tablicy.
Godziny
8.00–9.00
9.00–10.00
10.00–11.00
11.00–12.00
12.00–13.00
13.00–14.00
14.00–15.00
15.00–16.00
16.00–17.00
17.00–18.00
18.00–19.00
Liczba kasjerów
5
7
5
10
11
9
7
5
9
6
4
Kasjer zatrudniony na pełnym etacie zaczyna pracę o pełnej godzinie i pracuje przez 4 godziny bez przerwy,
następnie ma godzinną przerwę, po której pracuje przez kolejne 3 godziny. Kasjer zatrudniony na pół etatu
pracuje przez 4 godziny bez przerwy (zaczynając pracę również o pełnej godzinie). Wliczając pensje i różne
dodatkowe opłaty, kasjer zatrudniony na pełnym etacie kosztuje bank 40 zł/godz., podczas gdy kasjer
zatrudniony na 1/2 etatu kosztuje 25 zł/godz.
Zapisać model matematyczny problemu ustalenia harmonogramu pracy kasjerów przy jak
najmniejszym koszcie.
Zadanie 3.1. W kolejnej iteracji otrzymano następujące rozwiązanie zadania transportowego:
Rozwiązanie dopuszczalne
0
0
45
30
25
0
0
0
0
25
0
25
25
15
0
0
Macierz wskaźników optymalności
10
0
0
0
2
3
0
0
0
-1
3
5
1
0
3
0
0
0
0
4
0
-2
2
-3
a) Narysować cykl z podziałem na półcykl dodatni i ujemny
b) Zapisać poprawione rozwiązanie otrzymane w tej iteracji (gwiazdkami zaznaczono węzły bazowe). .
Cykl
Poprawione rozwiązanie
*
*
*
*
*
*
*
*
Zadanie 3.2. Wypożyczalnia samochodów ma oddziały w 10 miastach: M1, ..., M10. Klienci
wypożyczalni mogą wypożyczyć i oddać samochód w dowolnym z tych miast. Na początku dnia w każdym
z miast powinno znajdować się tyle samochodów, ile odpowiada przeciętnemu dziennemu zapotrzebowaniu.
Dane dotyczące przeciętnej liczby wypożyczeń i zwrotów w każdym z miast w ciągu doby oraz odległości
między miastami podano w poniższej tablicy.
Odległość
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
Liczba
zwrotów
M1
M2
0
3
M3
7
0
8
17
13
0
8
M4
33
6
33
0
11
M5
50
10
52
12
0
6
M6
65
17
70
10
27
0
14
M7
30
7
33
50
23
20
0
12
M8
34
11
37
54
27
24
30
0
7
M9
38
15
41
58
31
28
34
29
0
6
M10
42
19
45
62
35
32
39
33
30
0
5
Liczba
wypożyczeń
10
15
8
12
6
4
5
10
3
7
Ustalić taki plan przewozu zwróconych samochodów, aby zminimalizować puste przebiegi.
Zadanie 4.1. Firma techniczna miesza trzy surowce, tak aby wytworzyć dwa produkty: dodatek do paliwa
(DP) oraz rozpuszczalnik (R). Każda tona DP składa się z 2/5 t surowca 1 i 3/5 t surowca 3. Tona R składa
się z 1/2 t surowca 1, 1/5 t surowca 2 i 3/10 t surowca 3. Produkcja firmy jest ograniczona z uwagi na
ograniczone ilości surowców. W obecnym cyklu produkcyjnym firma posiada następujące zapasy
poszczególnych surowców: surowiec 1 - 20 t; surowiec 2 - 5 t; surowiec 3 - 21 t. Właściciel firmy chce
osiągnąć następujące równoważne cele:
Cel 1: wytworzenie co najmniej 30 t produktu DP.
Cel 2: wytworzenie co najmniej 15 t produktu R.
Sformułować odpowiednie zadanie programowania celowego.
Zadanie 4.2. Rozpatrujemy dwukryterialne zadanie quasi-hierarchiczne. Chcemy osiągnąć następujące cele:
cel 1 – maksymalizacja wartości produkcji
cel 2 – minimalizacja zużycia deficytowego surowca S1.
Jednostkowe zużycie surowca S1 do produkcji zarówno produktu P1, jak i P2 wynosi 2, zysk jednostkowy
dla produktów p1 oraz P2 wynosi odpowiednio 2 i 3. Jednostkowe zużycia surowców S2 oraz S3 są
następujące:
surowiec S2 – odpowiednio 1 i 2,
surowiec S3 – odpowiednio 4 i 0.
a) zapisać zadanie pierwszego poziomu hierarchii,
b) wiedząc, że optymalna wartość funkcji celu dla pierwszego poziomu hierarchii wynosi 14, oraz, że
decydent akceptuje wartość funkcji celu pierwszego poziomu hierarchii nie mniejszą od wartości
optymalnej o 10%, zapisać zadanie drugiego poziomu hierarchii.
Zadanie 5.1. Kierownictwo firmy transportowej rozważa decyzje dotyczące poziomu
zatrudnienia: zwiększenie liczby pracowników, zmniejszenie liczby pracowników oraz utrzymanie
zatrudnienia na dotychczasowym poziomie. Skuteczność podjętej decyzji zależy w głównej mierze
od przyszłych cen ropy. Na podstawie analizy rynku oceniono, że prawdopodobieństwo spadku cen
ropy wynosi 0,2, prawdopodobieństwo wzrostu ceny ropy równe jest 0,6, natomiast pozostałe
prawdopodobieństwa określają szanse na utrzymanie ceny ropy bez zmiany.W poniższej tablicy
przestawiono zysk (w tys. zł) odpowiadający odpowiednim decyzjom w zależności od
kształtowania się ceny ropy.
cena ropy
spada
nie zmienia się
zmniejszenie zatrudnienia
400
300
50
zatrudnienie bez zmian
500
400
0
zwiększenie zatrudnienia
700
500
- 200
decyzja
rośnie
Jaką decyzję podejmie kierownictwo firmy?
Zadanie 5.2.
Rozpatrujemy gre dwuosobową o sumie zero. macierz wypłat jest następująca:
Gracz II
Strategie
1
2
3
1
4
-1
3
Gracz I
2
2
-2
-3
3
-1
2
-1
a) wyeliminować strategie dominujące i zdominowane,
b) zapisać dwa zadania programowania liniowego (dla gracza I i II), pozwalające na
znalezienie optymalnych strategii mieszanych.
Zad. 5.3. Rozpatrujemy problem podejmowania decyzji w warunkach niepewności:
Stan natury S1
S2
S3
Decyzja
1
2
5
8
2
4
3
9
3
9
7
1
4
6
8
7
Określić, zgodnie z regułą Hurwicza, przy współczynniku ostrożności równym 0,5 rekomendowaną decyzję:
Zadanie 6.1. Dwie cukrownie mają za zadanie przerobienie łącznie 12 000 ton buraków. Dzienny
przerób cukrowni wynosi odpowiednio: 120 i 240 ton buraków. Straty cukru powstałe w trakcie
procesu przetwarzania buraków są zależne od czasu ich składowania. Straty te opisuje następująca
funkcja:
f(x1, x2) = x12 + 2x22 +12x1 + 16x2
gdzie x1, x2 są czasami trwania procesów przetwarzania buraków w cukrowniach (w dniach).
Zapisać model matematyczny rozdziału 12 000 ton buraków między cukrownie, aby
zminimalizować straty cukru?
Zadanie 6.2. Obliczyć współczynniki optymalności i wskazać zmienną, wchodzącą do bazy w
kolejnej iteracji.
cx-->
min
Baza
d
x1
d
x2
x2
w2
cj- zj
0
cB
0
0
0
1
x1
-9
-4
5
-6
0
0
d
x2 x1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
d
x2
0
1
0
0
0
0
0
d
y1
y2
y1
-0,5 -0,5
0,5
-0,25 -0,25 0,25
1,5 0,25 -0,25
-1,5
0,5
0,5
0
d
y2
0
0
0
1
1
w1
-0,25
-0,25
0,25
-0,5
1
w2
0
0
0
1
b
5
6,5
2,5
20
Zadanie 7. Rozpatrywany projekt opisany jest w poniższej tablicy.
Czynność
A: 1-2
B: 1-3
C: 2-3
D: 2-4
E: 3-4
F: 4-5
Czas (dni)
normalny
przyspieszony
4
3
6
3
3
1
4
2
7
5
5
4
Koszt (zł)
normalny
przyspieszony
30
50
50
110
10
30
30
50
100
200
80
120
a) narysować harmonogram ALAP dla czasu normalnego,
b) zapisać zadanie minimalizacji czasu realizacji projektu przy zadanym koszcie przyspieszenia realizacji,
nie przekraczającym 100 jp.
Zadanie 8.
a) Określić minimalne drzewo rozpinające, rozpoczynając od wierzchołka 4.
Iteracja 1
Rozpatrywane krawędzie
Dołączona krawędź
Iteracja 2
Rozpatrywane krawędzie
Dołączona krawędź
Iteracja 3
Rozpatrywane krawędzie
Dołączona krawędź
Iteracja 24
Rozpatrywane krawędzie
Dołączona krawędź
b)określić najkrótsze drogi prowadzące z wierzchołka początkowego do pozostałych wierzchołków
Iteracja 1
Iteracja 2
Iteracja 3
Iteracja 4
Iteracja 5
Najkrótsze drogi:
do wierzchołka 2
do wierzchołka 4
do wierzchołka 3
do wierzchołka 5.