Zapisz jako PDF

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Spis treści
1 Definicje prawdopodobieństwa
1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa
1.1.1 Przykład
1.1.2 Rozwiązanie:
1.1.3 Inne rozwiązanie:
1.1.4 Jeszcze inne rozwiązanie:
1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne
1.2.1 Przyklad
Definicje prawdopodobieństwa
Częstościowa definicja prawdopodobieństwa
Niech eksperyment
Jeśli zdarzenie
ma
"równie prawdopodobnych" wyników
określone jest przez podzbiór przestrzeni
to prawdopodobieństwo zdarzenia
:
o liczebności
określamy jako
Jak widać, w tej definicji wykorzystane jest definiowane pojęcie (w odniesieniu do "równie
prawdopodobnych" wyników), co z punktu widzenia teorii jest niewątpliwie poważnym defektem.
Można go uniknąć, wprowadzając prawdopodobieństwo jako liczbę spełniającą po prostu poniższe
aksjomaty (aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa[1]):
jeśli A i B wykluczają się nawzajem, to
Oznaczmy symbolem
dopełnienie zdarzenia
do przestrzeni
. Wtedy (1) i (2) implikują:
czyli
(Ten wniosek bywa dołączany jako czwarty aksjomat.)
Ta definicja jest już formalnie poprawna, jednak nie dostarcza żadnego przepisu na sposób
obliczania definiowanej wielkości, co uniemożliwia jej praktyczne zastosowanie. Z kolei różne od
klasycznego, Bayesowskie podejście do statystyki określa prawdopodobieństwo jako miarę wiary w
możliwość wystąpienia danego zdarzenia — jego obliczanie również bywa niełatwe.
Pojęcie prawdopodobieństwa leży u podstaw klasycznej teorii statystyki, stąd problemy z jego ścisłą
definicją mogą rzucać cień na wiarę w jej spójność. Z drugiej strony, jak zauważa J.L. Simon:
(...)dyskusja ta przypomina kontrowersje wokół pojęcia czasu (czym czas naprawdę
"jest"), które powstrzymywały postęp w fizyce, dopóki Einstein nie powiedział, że czas
powinniśmy zdefiniować po prostu jako to, co odczytuje się z zegara.
Przykład
Spróbujmy określić prawdopodobieństwo zdarzenia, że poprowadzona w sposób przypadkowy
cięciwa okręgu będzie miała długość większą od promienia.
Rozwiązanie:
Jak "przypadkowo" poprowadzić cięciwę? Narysujmy dowolną prostą i wybierzmy na niej losowo
punkt. Przez ten punkt prowadzimy prostopadłą, której punkty przecięcia z okręgiem będą
wyznaczać cięciwy. Oczywiście nie wszystkie punkty na prostej dadzą prostopadłe, które będą miały
w ogóle punkty wspólne z okręgiem — tylko punkty z odcinka E–H rys.%i 1. Z tych punktów
graniczną cięciwę o długości równej promieniowi będzie wyznaczał punkt F, dla którego trójkąt AOB
będzie równoboczny. Analogicznie z drugiej strony dla punktu G i trójkąta COD. Tak więc wszystkie
punkty z odcinka EH będą generować cięciwy, a punkty z odcinka FG — cięciwy dłuższe od
promienia. Prawdopodobieństwo "wylosowania" cięciwy dłuższej niż promień będzie równe
stosunkowi długości odcinka FG do EH. Jeśli pamiętamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego,
łatwo znajdziemy jego wartość:
Jak poprowadzić
.
przypadkowo
cięciwę okręgu:
sposób pierwszy.
Inne rozwiązanie:
Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu, i prowadzimy przez niego prostą prostopadłą do
promienia przechodzącego przez ten sam punkt. Jak widać z rys.%i 2, prosta ta wyznaczy cięciwę
dłuższą niż promień, jeśli punkt będzie położony w odległości mniejszej niż
od środka. Wyznacza
to wnętrze okręgu o promieniu
, którego pole wyniesie
(przyjmujemy jednostkowy promień
,,dużego okręgu). Szukane prawdopodobieństwo jest stosunkiem tej wielkości do pola ,,dużego
okręgu, czyli wynosi .
Jak
poprowadzić
przypadkowo
cięciwę okręgu:
sposób drugi.
Jeszcze inne rozwiązanie:
Wyznaczmy na okręgu punkt, z którego będziemy prowadzić cięciwy (punkt A na rys.%i 3).
Parametrem określającym jednoznacznie cięciwę będzie kąt między styczną do okręgu w danym
punkcie a jej kierunkiem, od
do
. Cięciwy o długości większej niż długość promienia będą
wyznaczone przez kąty od
do
(trójkąty BOA i COA na rys.%i 3 są równoboczne). Stanowi to
dwie trzecie zakresu kątów wyznaczających cięciwy, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi .
Jak poprowadzić
przypadkowo
cięciwę okręgu:
sposób trzeci.
???
Co się nie zgadza? Przykład ten nie podważa bynajmniej idei geometrycznej interpretacji
prawdopodobieństwa w ogóle; po prostu wynik zależy od przepisu na "przypadkowe"
przeprowadzenie cięciwy — każde z rozwiązań zakłada losowanie według równomiernego rozkładu
innego parametru (położenia punktu na prostej, położenia punktu wewnątrz okręgu, kąta). Można
więc powiedzieć, że problem nie został ściśle sformułowany.
Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne
Zapis
oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia liczone w sytuacji, gdy mamy pewność
wystąpienia zdarzenia . Odpowiada to w pewnym sensie wystąpieniu obydwu zdarzeń (
),
jednak prawdopodobieństwo tej sytuacji należy obliczać inaczej niż
).
Przyklad
Niech
oznacza wyrzucenie szóstki, a
Wtedy
— wyrzucenie parzystej liczby oczek w rzucie kostką.
oznacza wyrzucenie szóstki,
. Jednak jeśli bierzemy pod uwagę tylko te
przypadki, w których wyrzucono parzystą liczbę oczek (2, 4 lub 6), to
Rozważmy
; dla dowolnego
.
mamy
bo oczywiście
. Rozbijając przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń
odpowiadającą zdarzeniu i pozostałą
(
), dostajemy:
na część
czyli prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw zajścia , jeśli zaszło
również , oraz prawdopodobieństwa zajścia , jeśli nie zaszło. Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie
(wszak liczymy
), to drugi człon znika (
pozostały człon musimy podzielić przez
Jeśli wystąpienie zdarzenia
zdarzenia
(aby dla
). Aby uzyskać wzór na
było
,
):
nie ma żadnego wpływu na prawdopodobieństwo wystąpienia
, czyli
że dla zdarzeń niezależnych A i B
, to mówimy, że zdarzenia
i
są niezależne. Z (%i 5) wynika,
1. ↑ Podana przez Kołmogorowa w roku 1933.