Wzornik 5

Funkcja popytu
Y = f(X 1, X2, . . . , Xk, ε)
= f(X 1, X 2, . . . , X k)
Y
Y – wielkość popytu na dobro;
X 1, X 2, . . . , Xk – wartości czynników popytotwórczych.
Podstawowy wskaźnik analizy funkcji popytu—elastyczność popytu (względem czynnika/zmiennej X i ):
△X i
△Y
△Y
X
:
=
(31)
i.
Ei =
△X i Y
Xi
Y
Z postaci (31) wynika, że elastyczność względem zmiennej X i jest stosunkiem
względnej zmiany wartości popytu do względnej zmiany czynnika X i . Przyjmując
założenie o nieskończenie małych przyrostach zmiennej X i , tj. △Xi → 0 , wzór (31)
można zapisać następująco:
Xi
∂Y
(32)
,
Ei =
∂X i Y
/∂X i jest pochodną funkcji popytu Y
= f(X 1, X 2, . . . , X k) po zmiennej X i .
gdzie ∂Y
Interpretacja elastyczności: elastyczność względem zmiennej X i informuje o ile procent zmieni się wartość zmiennej Y (popytu), gdy wartość zmiennej X i wzrośnie
o 1%, a wartość pozostałych zmiennych nie ulegnie zmianie (ceteris paribus). Ze
względu na założenie △Xi → 0 mamy w rzeczywistości do czynienia z wynikami
przybliżonymi.
Mając obliczone elastyczności względem różnych czynników można prognozować
względne zmiany popytu, gdy znane są względne zmiany czynników kształtujących
popyt za pomocą następującego przybliżenia:
k
△Y
△X i
100% 100%
Ei
Y
X
i
i=1
(33)
Oznaczmy przez I przychód, definiowany jako iloczyn ceny i wielkości sprzedaży (na
zrównoważonym rynku wielkość sprzedaży odpowiada popytowi):
I = P Y,
(34)
gdzie: P – cena, Y – wielkość sprzedaży (popytu).
Ze względu na charakter czynnika popytotwórczego wyróżnia się dwa szczególne rodzaje elastyczności:
1. Elastyczność cenowa
a. Wobec ceny danego dobra ( E P ):
• E P ∈ ( ∞, 1) – popyt elastyczny, wzrost ceny prowadzi do spadku
przychodu, a obniżka ceny prowadzi do wzrostu przychodu
• E P ∈ ( 1, 0) – popyt sztywny (nieelastyczny), wzrost ceny prowadzi do
wzrostu przychodu, a obniżka ceny prowadzi do spadku przychodu
1
•
E P = 1 – popyt neutralny (obojętny), cena dobra nie wpływa na przychód, sprzedawca osiąga maksymalny przychód
Powyższe zależności stają się jasne, gdy wyprowadzimy względną zmianę przychodu △I/I w zależności od △Y/Y oraz △P/P :
△I (Y + △Y )(P + △P ) P Y △Y △P △Y △P
=
=
+
+
.
I
PY
Y
P
Y P
Ostatnie wyrażenie można pominąć, bowiem jest ono w praktyce zaniedbywalnie
△P
= 0, 02 0, 03 = 0, 0006 ). Mamy
małe (np. dla △Y/Y = 2% i △P/P = 3% △Y
Y P
zatem:
△I △Y △P
+
(35)
.
I
Y
P
b. Wobec ceny innego dobra X ( E PX ) – elastyczność krzyżowa
• EPX < 0 – dobra są względem siebie komplementarne
• E PX > 0 – dobra są względem siebie substytucyjne
• E PX = 0 – dobra są względem siebie niezależne
2. Elastyczność dochodowa ( E D )
• E D < 0 – dobro bezwzględnie poślednie (niższego rzędu)
• E D ∈ (0, 1) – dobro względnie poślednie
• ED > 1 – dobro luksusowe (wyższego rzędu)
Szczególne postacie funkcji popytu
1. Model liniowy (bezpośrednio szacowany KMNK)
= a 0 + a 1X 1 + a 2X 2 + a kX k
Y
Ei = ai
Xi
a iX i
=
,
a 0 + a 1X 1 + a 2X 2 + a kX k
Y
(36)
i ∈ {1, . . . , k}
(37)
2. Model potęgowy (funkcja Cobba-Douglasa) (można estymować KMNK po dokonaniu transformacji liniowej)
= a 0X a 1X a 2 X a k
Y
1
2
k
a
a
a
a
a
a 1X i
i1
i+1
X k ka iX i i
E i = a 0X 1 1X 2 2 X i1
X i+1
Y
(38)
= a i,
i ∈ {1, . . . , k}
(39)
Względny przyrost popytu:
a 0 (X 1 + △X 1) a 1 (X 2 + △X 2) a 2 (X k + △X k)a k a 0X a1 1X a2 2 X ak k
△Y
=
=
a
a
a
a 0X 1 1X 2 2 X k k
Y
k △X 1 a 1
△X 2 a 2
△X k a k
△X i a i
= 1+
1+
1+
1+
1 =
1 (40)
X1
X2
Xk
X
i
i=1
2
Funkcja produkcji
Q = f(X 1, X 2, . . . , X k, ε)
= f(X 1, X 2, . . . , X k)
Q
Q – wielkość produkcji;
X 1, X 2, . . . , X k – wartości czynników produkcji.
Podstawowe wskaźniki:
1. Produkt całkowity
PC = Q
2. Produkt krańcowy
PK i =
∂Q
∂X i
(41)
Produkt krańcowy określa, o ile w przybliżeniu zmieni się (wzrośnie lub spadnie) wartość produkcji, gdy wartość czynnika produkcji X i wzrośnie o jedną kolejną jednostkę, ceteris paribus.
3. Produkt przeciętny
PPi =
PC
Xi
(42)
Produkt przeciętny określa przeciętną wartość produkcji przypadającą na jednostkę
czynnika produkcji X i , przy ustalonych wartościach pozostałych czynników produkcji.
4. Elastyczność produkcji (punktowa)
Ei =
∂Q Q
PK i
:
=
∂X i X i PP i
(43)
5. Efekt skali produkcji (por. wzór (33))
A
k
Ei
(44)
i=1
Efekt skali produkcji to oczekiwana względna (np. procentowa) zmiana produkcji
spowodowana jednoczesnym jednostkowym względnym przyrostem wszystkich czynników produkcji (np. o 1%).
Ze wskaźnikiem tym wiąże się pojęcie funkcji jednorodnej stopnia r, dla której zachodzi f(jX 1, jX 2, . . . , jX k) = j rf(X 1, X 2, . . . , X k) .
6. Krańcowa stopa substytucji czynnika i przez czynnik j
SS ij = ∂X j
∂Q
∂Q
PK i
=
:
=
∂X i ∂X i ∂X j PK j
(45)
3
Wskaźnik ten określa, jaki nakład (zasób) czynnika j powinien zostać wprowadzony
w miejsce wycofanej jednostki nakładów (zasobów) czynnika i, tak by poziom produkcji nie uległ zmianie.
7. Optymalizacja struktury czynników produkcji (wyznaczanie X i )
Funkcja kosztów
C = P1X 1 + P2X 2 + . . . + PkX k
(46)
gdzie Xi to czynniki produkcji określone w jednostkach naturalnych, a Pi to ceny
jednostkowe tych czynników.
Należy: C = P1X1 + . . . + PkXk → min
Przy czym: f(X1 , X2, . . . , Xk) = Q0
X2
C1
Q0
C2 C3
X1
C0 = P1X1 + P2X2 ,
C
P
X 2 = 0 1X 1
P2 P2
∂X 2
P
= 1
P2
∂X 1
Q0 = f(X1, X2),
X2 = g(X1 , Q0)
∂X 2
∂Q ∂Q
PK 1
=
:
=
∂X 1 ∂X 2
PK 2
∂X 1
Z warunku styczności wynika równość:
PK1 P1
=
PK2 P2
czyli:
PK1 PK2
=
P1
P2
(47)
Uogólnienie (47) na większą liczbę czynników:
PK r PK s
=
,
Ps
Pr
r, s = 1, 2, . . . , k
(48)
4
8. Elastyczność substytucji
Zakres substytucji nakładów (zasobów) można zmierzyć za pomocą wzoru określającego elastyczność punktową, zwaną elastycznością substytucji i oznaczanej symbolem
:
X X P
1
1
wzgledny przyrost X d X
d P 21
2
2 =
: P2
(46)
=
X 1
P2
wzgledny przyrost P 1
P1
X2
Im większa jest ( ∈ [ 0, ∞ ) ), tym większa jest substytucyjność dwu nakładów:
•
•
= 0 odpowiada sytuacji, gdy dwa nakłady muszą być użyte w ustalonej proporcji jako dobra komplementarne,
= ∞ odpowiada sytuacji, gdy dwa nakłady są doskonałymi substytutami.
Wybrane wskaźniki na przykładzie funkcji produkcji CES:
!/
Q = [ L + (1 )K ] ,
, ! > 0,
PKL =
PKK =
∂Q
= !
∂L
∈ ( ∞, 0) ∪ (0, 1), ∈ (0, 1),
E K = PKK
Q 1
L
∂Q
= (1 )!
∂K
E L = PKL
1
/!
L
= !
Q
1
Q 1
/!
K
L Q
/!
K
= (1 )!
Q
/!
/!
K Q
/!
PKK 1 K
=
SS KL =
PK L
L
/!
/!
1
1
1
PK L
K
=
=
SS LK =
SS KL PK K 1 L
Optymalny stosunek użycia czynników produkcji:
K
L
1
=
PK
1 PL
1/(
PK
K=L
1 PL
1)
5
Funkcja kosztów
K = f(Q, X 1, X 2, . . . , X k, ε)
= f(Q, X1, X 2, . . . , Xk)
K
Q – wielkość produkcji;
X 1, X 2, . . . , X k – wartości czynników kosztów.
Koszt całkowity: K = K SC + K ZC
Koszt całkowity stały: KSC = f(0)
Kaszt całkowity jednostkowy; k = f(Q)/Q
Koszt całkowity krańcowy: KK = ∂K/∂Q
Funkcja przychodu: I = QP
6