Lista zada« z teorii liczb

Lista zada« z teorii liczb
Podzielno±¢ liczb
1. Ile jest liczb naturalnych z przedziaªu
[500, 1000]
2. Pokaza¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej
n:
a)
podzielnych przez: a)
3|n3 − n;
7|n7 − n.
b)
7 i 4;
c)
c) Czy zawsze
12 i 15?
6|n6 − n?
3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej
a)
4|54n−1 + 3;
10|38n+6 + 1;
b)
4. Wyznaczy¢ liczby naturalne
n
c)
n:
7|24n+2 + 38n+1 ;
b)
8;
takie, »e liczba
5. Wyznaczy¢ wszystkie liczby caªkowite
x 6= 3,
d)
9|42n + 3n − 1;
n3 + 5n2 − 7n + 2
takie »e
jest podzielna przez a)
5
b)
n2 − n + 1 .
15
daje reszt¦
10
a przy dzieleniu przez
12
3.
7. Dowie±¢, »e istnieje niesko«czenie wiele liczb naturalnych
przez
n + 3;
x − 3|x3 − 3.
6. Pokaza¢, »e nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez
daje reszt¦
169|33n+3 − 26n − 27.
e)
i przez
n, dla których liczba 4n2 + 1 jest podzielna jednocze±nie
13.
8. Liczba naturalna
n
daje reszt¦
dzieleniu tej liczby przez
32
zarówno przy dzieleniu przez
55
jak i przez
54.
Jak¡ reszt¦ otrzymamy przy
22?
9. Dowie±¢, »e dla naturalnych
n
mamy
10. Znale¹¢ wszystkie liczby naturalne
n,
n2 |(n + 1)n − 1.
n10 + 1
dla których liczba
jest podzielna przez
10.
Liczby pierwsze
1. Aby przy pomocy sita Eratostenesa otrzyma¢ liczby pierwsze
2, 3, 5, 7 . . . . . .
≤ n trzeba odsiewa¢ wielokrotno±ci licz
n = 1000, a na jakiej gdy n = 625?
pierwszych
Na jakiej liczbie pierwszej mo»na zaprzesta¢, gdy
2. Wyznaczy¢ liczby pierwsze b¦d¡ce sum¡ liczb pierwszych i jednocze±nie ró»nic¡ liczb pierwszych.
3. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest siedmiokrotnie wi¦kszy od ich sumy.
4. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest trzykrotnie wi¦kszy od ich sumy.
5. W liczbach pierwszych rozwi¡» równanie: a)
6. Udowodni¢, »e
n + 15
n=4
pq = 35 − p2 ;
b)
p2 = 435 − pq ;
jest jedyn¡ liczb¡ naturaln¡, dla której ka»da z liczb
c)
p2 − 3q 2 = 1.
n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13
i
jest pierwsza.
7. Dla dowolnej liczby naturalnej
n>1
pokaza¢, »e
8. Pokaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej
n|(n − 1)! + 1
wtedy i tylko, wtedy
n
jest liczb¡ pierwsz¡.
n istnieje przedziaª dªugo±ci n nie zawieraj¡cy liczby pierwszej (skªada-
j¡cy si¦ z liczb zªo»onych).
NWD, algorytm Euklidesa, liniowe równania diofantyczne
1. Wyznaczy¢: a)
N W D(4403, 2125);
b)
N W D(423, 123);
c)
N W D(1085, 87).
2. Znale¹¢ takie liczby caªkowite
a)
x, y , »e:
930x + 435y = N W D(930, 435); b) 903x + 231y = N W D(903, 231);
35525x + 561y = N W D(35525, 561).
3. Znale¹¢ takie liczby caªkowite
a)
x, y, z , »e:
1245x + 75y + 471z = N W D(1245, 75, 471);
c)
b)
34x + 2y + 33z = N W D(34, 2, 33).
4. W liczbach caªkowitych rozwi¡za¢ równanie:
a)
8x + 25y = 4;
b)
34x + 14y = 9;
c)
55x + 111y = 45;
d)
24x + 34y + 6z = 8.
5. Sprawdzi¢, które z uªamków s¡ nieskracalne dla dowolnej liczby naturalnej
6. Udowodnij, »e je»eli
ad − bc = 1
7. Rozwi¡zuj¡c test zªo»ony
50
punktów, za ka»d¡ zª¡ minus
to uªamek
a+b
c+d
a)
5n + 2
;
7n + 3
b)
n+3
;
4n + 11
c)
9n + 14
.
4n + 5
jest nieskracalny.
pyta« uczennica otrzymaªa
8,
n:
78
punktów. Za ka»d¡ dobr¡ odpowiedz otrzymaªa
za pytanie pozostawione bez odpowiedzi
prawidªowo, a na ile bª¦dnie? Znajd¹ wszystkie mo»liwe rozwi¡zania.
0
10
punktów. Na ile pyta« odpowiedziaªa