Wykład 2

Wykład 2.
Kinematyka.
Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego
składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie
pochodnej funkcji jednej zmiennej. Będzie również potrzebna umiejętność stosowania algebry
wektorów (patrz dodatek na końcu wykładu 1).
Podstawowe wielkości opisujące ruch.
W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:
Układ odniesienia, tor ruchu, wektor wodzący, prędkość średnia, prędkość
chwilowa, przyspieszenie średnie i przyspieszenie chwilowe.
Dodatkowo krótko przedstawię w trakcie wykładu inne – niekartezjańskie układy
współrzędnych.
Układ odniesienia.
•
•
•
Do opisu ruchu potrzebujemy określenia względem czego go opisujemy.
Ruch jest względny. Dla jednego obserwatora, stojącego na chodniku, autobus się
porusza a dla drugiego, siedzącego w środku, autobus jest nieruchomy! To co w końcu
robi autobus? Zależy to od układu odniesienia w którym dany ruch jest opisywany.
Należy więc określić układ odniesienia, w którym będziemy analizowali ruch. U nas
jest to układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie o osiach OX oraz OY.
Toru ruchu i wektor wodzący.
Na rysunku obok przedstawiony jest tor punktu materialnego z zaznaczeniem wektora
wodzącego r(t), i wektora przemieszczenia ∆ r .
Pojęcie toru - Tor ruchu punktu otrzymamy
rejestrując kolejne położenia punktu w
następujących po sobie chwilach czasu. Jest
to linia ciągła ponieważ możemy
rejestrować te położenia w dowolnie małym
odstępie czasu.
Wektor wodzący - wektor "śledzący" swoim
końcem położenie przemieszczającego się
punktu z początkiem zaczepionym na stałe
w punkcie (0,0) układu odniesienia..
Droga przebyta przez przemieszczający się
∆
s
punkt wynosi
i mierzy długość przebytego wzdłuż łuku toru dystansu. Wynika stąd, że
prędkość nie jest równa drodze podzielonej przez czas, w którym została przebyta. Czym jest
prędkość czytaj w kolejnym akapicie.
Prędkośc średnia i chwilowa w ruchu krzywoliniowym punktu materialnego.
W skończonym czasie ∆ t = t 2 − t1
cząstka przemieściła się z punktu P1
do P2 . Wektor przemieszczenia
zaczyna się w P1 a kończy w P2.
Prędkość średnią definiujemy jako
iloraz wektora przemieszczenia do
czasu, w którym to przemieszczenie
nastąpiło. Jest to oczywiście wielkość
wektorowa. (Czytaj
więcej o
prędkości śeredniej w dalszym
tekście).
W
miarę
skracania
przedziału czasu tak zdefiniowana
prędkość zaczyna być coraz bliższa
stycznej do toru w punkcie P1.
Graniczna wartość ilorazu nieskończenie małego przemieszczenia dr, które nastąpiło w
nieskończenie krótkim czasie dt jest prędkością chwilową w czasie t.
Definicja prędkości chwilowej.
Prędkość chwilowa jest graniczną wartością ilorazu przemieszczenia i czasu w którym to
przemieszczenie nastąpiło. Wartość graniczna, czyli taka, gdy czas, w którym obliczamy ten
iloraz jest dowolnie mały. Zapisujemy to jako:
∆ r dr
v(t) = lim
=
.
dt
∆ t→ 0 ∆ t
Ponieważ wektor wodzący
r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k,
to wektor przemieszczenia równy jest:
∆r = r(t+∆t) - r(t) =[x(t+∆t)-x(t)] i + [y(t+∆t) - y(t)]j + [z(t+∆t) - z(t)]k.
Wstawiając to do definicji prędkości otrzymamy:
[ x(t + ∆ t) - x(t) ]i + [y(t + ∆ t) - y(t)] j + [z(t + ∆ t) - z(t)] k
,
∆t
0
v(t) = lim
∆ t→
oraz po pogrupowaniu wyrazów i skorzystaniu z twierdzenia o granicy sumy funkcji:
[x(t + Δt) - x(t) ]
[y(t + Δt) - y(t)]
i + lim
∆
t
→
0
Δt
Δt
Δt → 0
v(t) = lim
czyli ostatecznie:
j + lim
∆ t→ 0
[z(t + Δt) - z(t)]
Δt
k,
v (t) =
dx
dy
dz
dr
i+
j+
k=
.
dt
dt
dt
dt
Korzystając z wzoru określającego prędkość jako pochodną wektora wodzącego i formalnie
podstawiając ogólne wyrażenie opisujące wektor wodzący r(t)=x(t) i + y(t)j + z(t)k
uzyskamy:
v(t) =
dx(t)
di dy(t)
dj dz(t)
dk
i + x(t) +
j + y(t) +
k + z(t)
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Ponieważ wersory i, j oraz k nie zmieniają kierunku (mają też oczywiście stałą długość) to ich
pochodne po czasie są zerowe. Jak się wkrótce przekonamy w innych układach odniesienia
nie zawsze musi to być prawdą.)
Przykład do samodzielnego rozwiązania.
Spróbuj policzyć samodzielnie składową prędkości w kierunku osi x oraz w kierunku osi y dla
rzutu ukośnego, czyli wyrzuconego pod kątem α do poziomu z prędkością o wartości v0.
Wiemy, że x=(v0 cos α)t , a y=(v0 sin α)t – 0.5gt2.
Prędkośc średnia.
Definicja prędkości średniej.
Prędkość średnia określona jest jako iloraz wektora przemieszczenia, które nastąpiło w
skończonym czasie ∆t do wartości tego przedziału czasu ∆t:
∆r
v średnie (t) =
.
∆t
Przyspieszenie i jego składowe w układzie kartezjańskim.
Definicja przyspieszenia chwilowego.
Jest to analogia do definicji wektora prędkości chwilowej. Przyspieszenie określa nam
szybkość zmiany wektora prędkości. Wektor przyspieszenia chwilowego w czasie t jest
granicą ilorazu zmiany prędkości dv do czasu dt, w którym ona nastąpiła, czyli formalnie:
∆ v dv
a (t) = lim
=
dt
∆ t→ 0 ∆ t
Przykład do samodzielnego rozwiązania.
Jak zmienia się wektor przyspieszenia całkowitego podczas rzutu ukośnego punktu
materialnego? Użyj obliczonych poprzednio wartości vx i vy .
Wektor przyspieszenia w układzie kartezjańskim - zapis w formalizmie wersorowym.
Przyspieszenie można przedstawić w układzie kartezjańskim jako wektor o trzech
współrzędnych:
a = ax i + ay j + az k
Składowe: axi, ayj, azk są wektorami powstałymi przez prostokątne rzutowanie wektora a
na osie OX, OY oraz OZ.
Zachodzą związki:
dv y
dv x
dv z
ax =
,
ay =
, az =
, które wynikają z definicji wektora przyspieszenia jako
dt
dt
dt
pochodnej wektora prędkości oraz przedstawienia wektora prędkości w formie zapisu z
użyciem wersorów:
v = vx i + v y j + v z k
Przyspieszenie średnie.
Definicja przyspieszenia średniego.
Przyspieszenia średnie jest ilorazem zmiany wektora prędkości ∆v, która nastąpiła w
skończonym czasie ∆t do wartości tego przedziału czasu ∆t:
∆v
.
∆t
Zarówno średnia prędkość jak i średnie przyspieszenie są wielkościami wektorowymi.
a średnie (t) =
DODATEK:
Przyspieszenie styczne i normalne.
Można pokazać, że przyspieszenie można rozłożyć na dwie składowe: styczną do toru:
dv
es
dt
v2
en .
ρ
oraz normlną(prostopadłą) do toru:
Zapis wektorowy jest pokazany poniżej:
v2
dv dv
a= =
es + en.
dt
dt
ρ
UWAGA - Wnioski końcowe. To jest najważniejsze !!
dv
określa nam jak zmienia się wartość prędkości w
dt
v2
ruchu, natomiast wartość przyspieszenia normalnego
określa jaka jest krzywizna toru
ρ
czyli zawiera informację o zmianie kierunku wektora prędkości.
Wartość przyspieszenia stycznego
Problem:
• Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a ≠ 0? [odpowiedź na końcu tekstu]
Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie.
Przyspieszenie:
v2
dv dv
a= =
es +
en = a s es +a n en
dt
dt
ρ
• kierunek prędkości stały, wartość stała - ruch prostoliniowy jednostajny.
a s= 0, a n=0, ρ → ∞
• kierunek prędkości stały, wartość zmienna - ruch prostoliniowy zmienny
a s niezerowe, a n= 0, ρ → ∞
• kierunek prędkości zmienny, wartość stała - ruch krzywoliniowy po okręgu
a s = 0, a n stałe i różne od zera, ρ=R i stałe równe promieniowi okręgu.
• kierunek prędkości zmienny, wartość zmienna - ruch krzywoliniowy zmienny
a s zmienne, a n zmienne, ρ zmienne.
Sprawdź czy to rozumiesz.
Sam(a) spróbuj opisać przy użyciu pojęć przyspieszenia stycznego i normalnego różne znane
Ci z życia codziennego lub z kursu fizyki szkolnej przykłady ruchów.
Ja zaproponuję kilka przykładów:
Przykłady.
Robert Kubica wchodzi w zakręt (dla uproszczenia jest to ćwierć długości okręgu o stałym
promieniu R). Wartość prędkości na łuku jest stała. Jakie są wartości przyspieszeń stycznego i
normalnego na tym łuku.
Miotacz młotem Szymon Ziółkowski wykonuje cztery obroty trzymając młot za uchwyt i
zwiększając swoją prędkość kątową. Oszacuj jak zmienia się w tej fazie rzutu (od początku
wykonywania obrotów do chwili wyrzutu) wartość przyspieszenia stycznego a jak
normalnego. Czyli określ czy rośnie czy maleje czy pozostaje niezmieniona.
Odpowiedź :
Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a ≠ 0?
Jest to ruch po okręgu. Przyspieszenie styczne wynosi zero, bo prędkość ma stałą wartość,
natomiast normalne jest różne od zera ponieważ tor jest krzywoliniowy i promień krzywizny
jest tu stały i równy promieniowi okręgu.