1 Temat: Liniowe modele decyzyjne Model optymalnej struktury

Badania operacyjne
Ćwiczenia 1
Temat:
Liniowe modele decyzyjne
Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych1
Decyzje podejmujemy w wielu różnych sytuacjach. Sytuacje te nazywamy sytuacjami decyzyjnymi, a osobę
podejmującą decyzje – decydentem. Warunki, w jakich działa decydent nie pozwalają na podjęcie decyzji
dowolnej. Decyzję zgodną z warunkami ograniczającymi nazywamy decyzją dopuszczalną. Wśród zbioru decyzji
dopuszczalnych można wyróżnić decyzję optymalną. Jej wybór wymaga przyjęcia określonego kryterium, wg
którego rozróżniamy decyzje na lepsze i gorsze. Kryterium to nazywamy kryterium wyboru (oceny).




Formułowanie zadań decyzyjnych:
określenie, jakie wielkości mają być wyznaczone, odpowiednie ich oznaczenie (określenie zmiennych
decyzyjnych);
ustalenie wielkości, które zostały podane (parametrów zadania);
określenie, jakie warunki ograniczające musi spełniać dopuszczalna decyzja, sformułowanie ich w postaci
równań/nierówności wiążących zmienne decyzyjne (zapisanie warunków ograniczających);
wyznaczenie celu, jaki chce osiągnąć decydent (sformułowanie funkcji celu).
Zadanie, w którym zarówno funkcja celu, jak i warunki ograniczające są liniowe nazywamy
LINIOWYM ZADANIEM DECYZYJNYM (programem liniowym)
Uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego jest algorytm simplex. Gdy w modelu
występują dwie zmienne decyzyjne, możemy go rozwiązać również metodą geometryczną. W przypadku, gdy w
modelu występują więcej niż dwie zmienne decyzyjne, ale tylko dwa ograniczenia, można zadanie rozwiązać
wykorzystując zależność między programem pierwotnym a dualnym (w programie dualnym będą wówczas dwie
zmienne decyzyjne i można będzie go rozwiązać graficznie).
Przykładowe zagadnienia programowania liniowego
I.
Optymalny wybór asortymentu produkcji.
Zakład może wyprodukować n wyrobów. Do ich produkcji są wykorzystywane różne środki produkcji. Część z
nich (r) dostępna jest w ilościach ograniczonych.
 Parametry modelu matematycznego:
aij – zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednostki j-tego wyrobu (i=1,2,...,r; j=1, 2,...,n);
bi – posiadany zasób i-tego środka produkcji;
cj – cena lub zysk jednostkowy ze sprzedaży j-tego wyrobu;
dj – minimalna ilość j-tego wyrobu, jaką trzeba wyprodukować;
gj – maksymalna ilość j-tego wyrobu, jaką można sprzedać.
Należy określić, jakie wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając posiadanych zasobów
środków produkcji (i ewentualnie spełniając dodatkowe ograniczenia dot. struktury produkcji) zmaksymalizować
przychód (lub zysk) z ich sprzedaży.
 Zmienne decyzyjne:
wielkości produkcji wyrobów: xj – wielkość produkcji j – tego wyrobu;
 Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≤ b1 ,
Pierwsze r warunków dotyczy ograniczonych zasobów środków
..............................................
produkcji (są to ograniczenia strukturalne modelu).
a r1 x1 + a r 2 x 2 + ... + a rn x n ≤ br ;
Warunek oznaczony d j ≤ x j ≤ g j jest związany z ograniczeniami
d j ≤ x j ≤ g j dla niektórych j ,
od strony popytu (nie zawsze występuje w modelu).
x1 , x 2 ,..., x n ≥ 0,
Warunki nieujemności zmiennych decyzyjnych x1 , x 2 ,..., x n ≥ 0
c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n → max,
są nazywane ograniczeniami brzegowymi.
Plany produkcji spełniające ograniczenia strukturalne i ograniczenia brzegowe są rozwiązaniem dopuszczalnym.
Rozwiązanie (rozwiązania) optymalne – jest tym (tymi) spośród rozwiązań dopuszczalnych, dla którego (dla
których) funkcja celu przyjmuje wartość maksymalną.
Opracowanie teoretyczne na podstawie: Karol Kukuła (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1996
1
1
Badania operacyjne
Ćwiczenia 1
II.
Model mieszanki (diety)
Przedmiotem zagadnienia optymalnego mieszanki jest ustalenie, jakie ilości podstawowych surowców należy
zakupić (zmieszać), aby otrzymać produkt o pożądanym składzie przy możliwie najniższych kosztach zakupu
surowców.
Szczególnym wariantem problemu mieszanek jest zagadnienie diety. Załóżmy, że mamy do dyspozycji n
produktów żywnościowych, w których powinno być zawarte r składników odżywczych.
 Parametry modelu matematycznego:
aij – zawartość i-tego składnika odżywczego w jednostce j-tego produktu (i = 1,2, ..., r; j = 1, 2, ..., n);
bi – tzw. norma żywienia, czyli minimalna (maksymalna) ilość i-tego składnika, jakiego należy dostarczyć;
cj – cena j-tego produktu żywnościowego;
dj – minimalna ilość j-tego produktu, jaką powinno się spożywać;
gj – maksymalna ilość j-tego produktu, jaką można spożywać.
Należy określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywnościowych, które zapewnią organizmowi
niezbędne składniki odżywcze i spełnią ewentualnie pewne dodatkowe ograniczenia, a równocześnie koszt ich
zakupu będzie możliwie najniższy.
 Zmienne decyzyjne:
ilości produktów jakie należy zakupić: xj – wielkość zakupu j – tego produktu żywnościowego
 Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≥ b1 ,
..............................................
a r1 x1 + a r 2 x 2 + ... + a rn x n ≥ br ;
d j ≤ x j ≤ g j dla niektórych j ,
x1 , x 2 ,..., x n ≥ 0,
c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n → min
Rozwiązanie (rozwiązania) optymalne – jest tym (tymi) spośród rozwiązań dopuszczalnych, dla którego (dla
których) funkcja celu przyjmuje wartość minimalną.
W obu powyższych modelach wszystkie ograniczenia strukturalne maja ten sam znak. W praktyce często spotyka
się zagadnienia programowania liniowego, typu mieszanego, tzn. część warunków ograniczających jest typu „≤”,
„≥” lub „=”.
III.
Wybór procesów technologicznych (zagadnienie rozkroju).
Zakład może wyprodukować r wyrobów w ilościach b1, b2, ..., br. Do wytwarzania tych wyrobów można stosować
n procesów technologicznych. Stosując j-ty proces z jednostkową intensywnością (w skali jednostkowej – jeden
raz) uzyskuje się poszczególne produkty w ilościach aij i ponosi koszty cj. Należy tak dobrać procesy
technologiczne, aby wytworzyć potrzebne ilości wyrobów przy najmniejszych kosztach.
 Zmienne decyzyjne:
xj - intensywność, z jaką powinny być stosowane j-te procesy technologiczne.
 Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≥ b1 ,
..............................................
a r1 x1 + a r 2 x 2 + ... + a rn x n ≥ br ;
x1 , x 2 ,..., x n ≥ 0,
c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n → min,
2
Badania operacyjne
Ćwiczenia 1
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków,
spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I – 96 000 jednostek, środek II – 80 000 jednostek.
Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2 podano w tablicy:
Środki
produkcji
I
II
Jednostkowe nakłady
W1
W2
16
24
16
10
Wiadomo także, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów stanowiącego wąskie gardło procesu
produkcyjnego nie pozwalają produkować więcej niż 3 000 szt. wyrobów W1 oraz 4 000 szt. wyrobów W2.
Dodatkowo, działająca w ramach przedsiębiorstwa komórka analizy rynku ustaliła optymalne proporcje produkcji,
które kształtują się odpowiednio jak 3:2. Cena sprzedaży jednostki wyrobu W1 wynosi 30 zł, a wyrobu W2 – 40 zł.
Ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację przychodu ze sprzedaży przy
istniejących ograniczeniach. W modelu zastosować metodę geometryczną.
Zadanie 2
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: Z1 i Z2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków,
spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I – 36000 jednostek, środek II – 50000 jednostek.
Nakłady limitowanych środków ma jednostkę produkcji podano w tablicy:
Środki
produkcji
I
II
Jednostkowe nakłady
Z1
Z2
6
6
10
5
Należy także uwzględnić, że zdolność produkcyjna jednego z agregatów nie pozwala wyprodukować więcej niż
4000 szt. wyrobów Z2. Nie ma natomiast żadnych dodatkowych ograniczeń w stosunku do wyrobu Z1.
Określić optymalne rozmiary produkcji przy założeniu, że zysk realizowany na obu wyrobach jest jednakowy. Przy
rozwiązywaniu zastosować metodę geometryczną.
Zadanie 3
W gospodarstwie hodowlanym sporządzana jest mieszanka paszowa dla trzody chlewnej z dwóch produktów: P1 i
P2. Mieszanka paszowa ma dostarczyć trzodzie chlewnej pewnych składników odżywczych S1, S2, S3 w ilościach
nie mniejszych niż określone minima. Zawartość składników odżywczych w jednostce poszczególnych produktów,
ceny produktów a także minimalne ilości składników podano w tabeli:
Składniki
Zawartość składnika w 1 kg produktu
P1
P2
3
9
8
4
12
3
6
9
S1
S2
S3
Cena (w zł)
Minimalna ilość
składnika
27
32
36
W jakich ilościach należy zakupić produkty P1 i P2, aby dostarczyć trzodzie chlewnej składników odżywczych S1,
S2, S3 w ilościach nie mniejszych niż minima określone w tabeli i aby koszt zakupu/sporządzenia mieszanki był
minimalny?
Zadanie 4
Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę bydła rogatego. Zwierzętom należy w pożywieniu dostarczyć m.in.
składnika odżywczego A w ilości co najmniej 60 jedn., zawartego w produktach P1 i P2 służących jako pasza.
Produkty P1 i P2 zawierają także pewne ilości składników B i C. Ze względu na szkodliwe działanie tych
składników, zwierzęta powinny otrzymywać je w ilościach ograniczonych: składnika B co najwyżej 40 jednostek, a
składnika C co najwyżej 36 jednostek.
Składniki
A
B
C
Cena (w zł)
Zawartość składnika w jednostce produktu
P1
P2
3
3
10
4
6
9
6
9
Wiedząc ponadto, że w diecie powinno się znaleźć co najmniej 10 jednostek produktu P1 określić wielkość zakupu
produktów P1 i P2, aby zrealizować wymagania co do składu paszy i aby koszt zakupu był minimalny.
3
Badania operacyjne
Ćwiczenia 1
Zadanie 5
Rafineria ropy naftowej typu paliwowo-olejowego zakupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2, w cenach
odpowiednio 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Wycinkowy proces technologiczny odbywający się w wieży
rektyfikacyjnej daje trzy produkty. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymuje się 16 hl benzyny, 20 hl oleju
napędowego i 24 hl pozostałości. Z jednostki przerobowej R2 otrzymuje się 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego
i 14 hl pozostałości. Ile należy zakupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20
000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie nabycia surowca?
Należy także wziąć pod uwagę, że zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej mierzoną łączna objętością
wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
1. Zbudować model matematyczny zagadnienia.
2. Rozwiązać go metodą geometryczną.
3. Określić procentowo stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej wieży rektyfikacyjnej przy
optymalnych rozmiarach zakupu poszczególnych rodzajów ropy.
Zadanie 6
W gospodarstwie doświadczalnym ustalono, że karma dla zwierząt jest odpowiednia tylko wówczas, gdy każde z
nich otrzyma w racji dziennej nie mniej niż: 60 j. białka, 120 j. cukrów oraz 40 j. tłuszczów. Zawartość
poszczególnych składników w dwóch produktach przedstawia tabelka.
Składniki
P1
P2
Białko
20
10
Cukry
20
40
Tłuszcze
0
40
Cena jednego kg karmy wynosi: P1-5 zł, P2-6 zł. Należy ustalić jaką ilość karmy każdego rodzaju należy podawać
dziennie, aby zachować jej optymalny skład oraz zminimalizować koszt zakupu.
Zadanie 7
Spółdzielnia mleczarska wytwarza jogurty owocowe i serki homogenizowane. Do wytworzenia 100 opakowań
jogurtu zużywa się 200 l mleka, a do 100 opakowań serków – 250 l mleka. Mleczarnia może przeznaczyć na te
wyroby nie więcej niż 200.000 l mleka. Jogurty i serki są konfekcjonowane na tej samej taśmie, dlatego też
mleczarnia może napełnić co najwyżej 9000 opakowań jogurtu i 7000 opakowań serka. Sklepy zamawiają jogurtu
1,5 raza tyle co serka. Zakładając, że zyski jednostkowe na obu wyrobach są jednakowe, ustalić program produkcji
dla spółdzielni mleczarskiej.
1. Ile należy produkować serków, a ile jogurtów aby zapewnić spółdzielni maksymalny zysk?
2. Ile wynosi optymalny zysk spółdzielni?
3. Czy przy optymalnej strukturze produkcji mleczarnia zużyje cały posiadany zasób mleka?
Zadanie 8
Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek
o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, aby odpad
powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy
optymalnym cięciu?
Zadanie 9
Klient dostarczył do tartaku tarcicę o długości 560 cm, zlecając pocięcie jej tak, aby otrzymać 300 desek o długości
140 cm i 390 desek o długości 160 cm. W jaki sposób należy pociąć posiadany surowiec, aby zrealizować
zamówienie minimalizując odpad? Podać wielkość minimalnego odpadu. Ile tarcic o długości 560 cm będzie
potrzebnych do zrealizowania zamówienia?
Jak zmieni się odpad, jeżeli zamówienie zostanie zwiększone o 12 desek o długości 160 cm?
4