Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia

Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco
usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje
trygonometryczne, podstawy geometrii płaskiej oraz przestrzennej w pigułce. Zapraszam do lektury i…
zaliczania! 8-)
Funkcje trygonometryczne. Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki
między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła
się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi
morskiej. Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ astronomia. Istnieją cztery podstawowe
funkcje trygonometryczne: sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg)
Oprócz nich definiuje się również secans (sec) i cosecans (cosec) lecz są one obecnie rzadko używane
(odpowiednio odwrotność cosinusa i sinusa).
Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Funkcje trygonometryczne dla
kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta
prostokątnego przy kącie wewnętrznym.
= , = , = , = Ponieważ trójkąt jest prostokątny, zachodzi prosta zależność pomiędzy kątami i β. Mianowicie:
= 90 − β. Zatem oczywiście spełnione są następujące równości:
= (90 − ), = (90 − ), = (90 − ), = (90 − ).
Rysując odpowiednie trójkąty łatwo wyznaczyć funkcje trygonometryczne dla kątów 30O, 45O, 60O.
Wartości funkcji dla powyższych kątów znajdują się w poniższej tabeli.
30O
45O
60O
1
3
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
3
1
3
3
3
1
3
3
Jak widać z powyższego rysunku kąt α zawiera się w przedziale (0, 90 ). Jednak funkcje
trygonometryczne można również zdefiniować dla kątów spoza tego przedziału, w szczególności dla
kątów
o
dowolnej
mierze.
W
tym
celu
musimy
wprowadzić
definicję.
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego. Dotychczas za jednostkę miary kąta
"
przyjmowaliśmy stopień (1O), czyli
kąta prostego. Dla zdefiniowanego poniżej kąta skierowanego
#$
będziemy posługiwać się inną jednostką miary. Otóż będzie to długość łuku okręgu o promieniu
jednostkowym, którą wyznacza dany kąt. I tak odpowiednio kąt pełny (360O) wyznacza łuk o długości
&
2%, kąt półpełny (180O), wyznacza łuk o długości %, kąt prosty (90O), wyznacza łuk o długości ' , itd.
Obierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych OXY. Następnie zaczepmy półprostą w
początku układu współrzędnych O, połóżmy ją na osi OX, wybierzmy na niej punkt M znajdujący się w
odległości r od początku układu współrzędnych O i zacznijmy obrót wokół tego punktu w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Półprosta ta będzie tworzyć z osią OX pewien kąt skierowany.
Jego miara może być dowolna, gdyż półprostą możemy obrócić wokół O dowolną ilość razy. Oczywiście
co kąt 2% sytuacja będzie się powtarzać, co wskazuje że funkcje trygonometryczne powtarzają swoje
wartości co 2%.
Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami:
(
*
(
*
= ), = ), = *, = (
Funkcje jak to funkcje. Lubią mieć wykresy. Na wykresach kąt został zastąpiony przez +. Oto one:
y = sinx
y = cosx
y = tgx
y = ctgx
Warto chwilę zadumać się nad tymi malunkami. Widać uderzające podobieństwo pomiędzy 2 pierwszymi
&
i 2 drugimi wykresami. W istocie, wykres funkcji cosinus jest po prostu przesuniętym o w lewo
'
wykresem funkcji sinus. W związku z tym obydwie funkcje mają ten sam okres, wynoszący 2%. Ponadto,
co widać z wykresu funkcje te są określone dla wszystkich + (także ujemnych - wartości ujemne
odpowiadają obrotowi półprostej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara). Kolejną rzeczą,
którą widać jest to, że sinus i cosinus przyjmują wartości z przedziału < −1, 1 >. 2 wykresy z prawej
również są do siebie podobne. Pierwsze co uderza to powtarzające się gałęzie w "pasach" o szerokości %.
Drugie, że wykres kotangensa powstaje z wykresu tangensa poprzez odbicie symetryczne względem osi
&
OY i przesunięcie w prawo o wartość ' . Trzecie, że obydwie funkcje w regularnych odstępach są
nieokreślone, tangens we wszystkich wielokrotnościach %, kotangens w nieparzystych wielokrotnościach
&
. I wreszcie, zarówno tangens jak i kotangens mogą przyjmować dowolne wartości.
'
Jak widać z wykresów funkcje trygonometryczne są okresowe. W przypadku sinusa i cosinusa okres
wynosi 2%. Tangens powtarza się częściej, co %. Powstaje pytanie jak zmnienia się okres funkcji
trygonometrycznej gdy pomnożymy argument funkcji przez liczbę. Nietrudno stwierdzić, że okres funkcji
. = /0 wynosi %. Związek pomiędzy współczynnikiem stojącym przy x i okresem funkcji
trygonometrycznej pozostawiam do samodzielnego ustalenia.
Tożsamości trygonometryczne. Piękne jest wzajemne przenikanie się funkcji trygonometrycznych.
Świadczą o tym tożsamości. Oto i one. Jedynka trygonometryczna to tożsamość trygonometryczna
postaci:
/ 0 + / 0 = 2
Mówi nam ona, że dla każdej wartości suma kwadratów sinusa i cosinusa = 1. Piękne, nieprawdaż...?
Dowód? Spróbujmy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Inne:
0
/ 0
, /0 = /0 · 0, /0 = / 0 − / 0, /0 =
0=
/
0
24
0
Wzory redukcyjne. To po prostu wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji
trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a
dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0° do 45°. W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta.
Oto kilka z nich:
;
;
567(−) = −, 895(−) = , 567 : − < = , 895 : − < = /
/
... i wiele wiele innych. Wyprowadzenie ich jest dziecinnie łatwe. Należy tylko wnikliwie przyjrzeć się
kątowi skierowanemu w układzie współrzędnych. Wzory redukcyjne można wyprowadzić na podstawie
symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych.
Zadanie 1. Sprawdź tożsamości
2
/ − 2 = /
Przekształcamy lewą stronę.
==
2
/
−2 =
2−/ /
=
/ / = /
=>
? + ? = 2 − // ∙ / Przekształcamy lewą stronę.
= = ? + ? = (/ + / )/ − // ∙ / = 2 − // ∙ / = >
2 − /
2 − // =
2 + /
Przekształcamy tym razem prawą stronę.
/ / − / /
2
−
/ − / 2− / =
/ =
=
= / − / = 2 − // >=
/ / + / / + / 2 + /
2+
/ / ==
2 − ? / + / =
/ Przekształcamy lewą stronę.
/ / ∙ / + / /
/
/
= = + = +
=
/ / /
/
/
(2 −∙ ) ∙ + / + / − ? 2 − ? =
=
=
=>
/ / / Znak funkcji trygonometrycznych. "W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w
trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". Która ćwiartka jest która? Numeracja biegnie wraz ze
wzrostem kąta. Jeśli już mowa o znaku, to można odczytać z wykresu, że funkcja sinus jest nieparzysta.
Podobnie wygląda sytuacja dla tangensa i kotangensa. Cosinus wyłamuje się z towarzystwa, gdyż jest
funkcją parzystą.
Okresowość funkcji trygonometrycznych wykorzystywana jest... do gnębienia uczniów. Równania
trygonometryczne, bo o nich mowa, mają na ogół nieskończenie wiele rozwiązań. Równaniem
trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje tylko w wyrażeniu, z
którego oblicza się wartości funkcji trygonometrycznych. Zatem równanie + = + nie jest równaniem
trygonometrycznym natomiast równanie + = + nim jest.
Na przykład rozwiążmy powyższe równanie + = +. Jak to ugryźć? Chodzi o punkty przecięć
sinusoidy i cosinusoidy. Jeden rzut oka na wykresy tych funkcji wystarcza by się przekonać, że jest ich
nieskończenie wiele. Ale nie ma się czym zrażać. Widać, że są one rozłożone regularnie.
Zadanie 2. Rozwiąż równania
0 = 0
Korzystając z wzorów redukcyjnych zamieńmy cosinus na sinus, otrzymujemy:
;
0 = ( − 0)
/
z czego wynikają następujące rozwiązania:
;
;
0 = − 0 + /A; ⇒ 0 = + A;
?
/
C0 = 0
Otóż niewątpliwie cosinusy będą równe w przypadku równości C0 = 0, co jak łatwo stwierdzić zachodzi
dla 0 = D. Cy jest to jedyne rozwiązanie tego równania? Otóż nie, z racji parzystości cosinusa musimy
rozpatrzyć przypadek C0 = /; − 0. Reasumując:
0 = D + /A; ⇒ 0 = /A;
A
C0 = /; − 0 ⇒ 0 = ;
/
A
Ponieważ pierwsze rozwiązanie zawiera się w drugim, zatem 0 = ;.
/
0 + 0 = E 0 + 0
(*trudne!) Oczywiście nie wolno zapominać o dziedzinie, po pierwsze musi być 0 + 0 ≥
;
D, 0 + 0 ≥ D a także, dla zachowania sensu tangensa i cotangensa 0 ≠ + A; i 0 ≠ A;.
/
Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:
(0 + 0)/ = 0 + 0
2 + /0 ∙ 0 = ( 0 + 0)/
;
/
⇒ 0 = + A;
2 + /0 =
?
/0
;
Łatwo sprawdzić, że w przedziale D ≤ 0 < 2; wielkość 0 = spełnia zastrzeżenia dziedziny
(0 + 0 ≥ D, 0 + 0 ≥ D), zaś dla 0 =
;
Reasumując, 0 = + /A;.
?
I;
?
?
, 0 + 0 < 0, zatem nie spełnia.
Planimetria. To dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych
leżących na płaszczyźnie (płaskich). Z planimetrii przypomnę jedynie twierdzenie Talesa.
Twierdzenie Talesa. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi (na rysunku są tylko dwie
proste m i n, ale twierdzenie zachodzi dla dowolnej ich liczby), to długości odcinków wyznaczone przez
te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych
przez te proste na drugim ramieniu kąta. Zachodzi również twierdzenie odwrotne (jeżeli odpowiednie
odcinki są proporcjonalne, to proste m i n są równoległe).
JKLJ
Mamy zatem: JKMJ =
JLNJ
JKLJ
JKMJ
JLMJ
, a także JKNJ = JKOJ = JNOJ.
JMOJ
Proporcje te wynikają z podobieństw trójkątów ∆KLM~∆KNO.
A teraz niespodzianka! To by było na tyle planimetrii. Ponieważ zakładam, że każdy jest z nią za pan brat
i beczkę soli z nią zjadł 8-). Jak się wkrótce okaże, znienawidzona przez wszystkich stereometria to… też
taka planimetria, tyle że bardziej, hm, jak to powiedzieć (pękata?). Ale w dalszym ciągu punkty
pozostaną w niej punktami, proste prostymi. Tylko rola płaszczyzny zostanie zredukowana. W planimetrii
była całym Wszechświatem, tu w stereometrii będzie tylko jednym z nieskończenie wielu światów.
Dobra, dość filozofowania, w końcu od tego jest imć Machul…
Stereometria. To dział geometrii w przestrzeni trójwymiarowej. Odpowiednikiem figur płaskich ze
stereometrii będą bryły (np. kula, sześcian, ostrosłup i ogólnie dowolny „obiekt” posiadający objętość).
Sporo miejsca poświęcimy na omówienie wielościanów. Otóż wielościan to bryła, ograniczona przez
powierzchnię utworzoną z wielokątów, które stykają się tylko bokami. Wielościan musi posiadać
przynajmniej 4 ściany.
Rodzaje wielościanów.
Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi
wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są
równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.
Graniastosłupy dzielimy na:
• proste – krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw
• pochyłe – jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw
• prawidłowe – o podstawach będących wielokątami foremnymi
• równoległościany – podstawą jest równoległobok, a przeciwległe ściany są równoległe
• prostopadłościany – wszystkie ściany to prostokąty
• sześciany – wszystkie ściany to kwadraty
Wysokość graniastosłupa jest to odległość między podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek
łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie.
Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są
trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Ostrosłupy dzielimy
na:
• proste – na podstawie których można opisać okrąg, a punkt w którym wysokość styka się z
podstawą, jest jednocześnie środkiem tego okręgu
• czworościany – o podstawie trójkąta
• prawidłowe –krawędzie boczne są równej długości a podstawą jest wielokąt foremny
Wysokość ostrosłupa to odległość wierzchołka od podstawy.
Z doświadczenia wiem, że największe kłopoty w graniastosłupach i ostrosłupach sprawiają kąty. Otóż
kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy (zarówno dla graniastosłupa jak i ostrosłupa) nazywamy
kąt pomiędzy prostą prostopadłą do krawędzi podstawy, leżącą w płaszczyźnie tej ściany i podstawą.
Kątem nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy nazywamy zaś kąt pomiędzy tą krawędzią i
podstawą. Jeszcze innym zagadnieniem jest kąt nachylenia ścian bocznych. Kąty nachylenia prostych i
płaszczyzn szczegółowo opisałem w dziale STEREOMETRIA na kątowej stronie matematycznej.
Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są
identycznymi wielokątami foremnymi. Poniżej znajduje się WSZYSTKIE PIĘĆ wielościanów
foremnych:
czworościan
sześcian
ośmiościan
dwunastościan
dwudziestościan
Bryły obrotowe to bryły ograniczone powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi
obrotu). Najważniejsze bryły obrotowe to:
Walec – bryła powstała
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, to:
Pole powierzchni bocznej walca
w
wyniku
obrotu
prostokąta wokół jednej
>( = /; ∙ ) ∙ R
z krawędzi
Pole powierzchni całkowitej walca
> = /; ∙ ) ∙ () + R)
Objętość walca
S = ; ∙ )/ ∙ R
Stożek – bryła powstała
w
wyniku
obrotu
trójkąta prostokątnego
wokół przyprostokątnej
Kula – bryła powstała
w wyniku obrotu koła
wokół jego średnicy
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, a
tworząca
l
to:
Pole powierzchni bocznej stożka
TU = V ∙ W ∙ X
Pole powierzchni całkowitej stożka
T8 = V ∙ W ∙ (W + X)
Objętość stożka
2
S = ; ∙ )/ ∙ R
C
Jeżeli promień kuli wynosi r, to:
Pole powierzchni kuli (sfery)
S = ?; ∙ )/
Objętość kuli
?
S = ; ∙ )C
C
Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze
od pola podstawy.
Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14cm.
Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie. Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup o podstawie kwadratu. Jego ściany boczne
to trójkąty równoramienne. Do wyznaczenia objętości S potrzebna jest nam wysokość ostrosłupa.
2[\
Oznaczmy ją R. Pole podstawy YZ = 2[\. Zatem pole ściany bocznej Y( = C . Skoro mamy pole
możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej R( .
R
2[\
/^
Y( = 2? ∙ ( = ] ∙ R( ⇒ R( =
=
.
/
/2
C
/^
Wreszcie, z twierdzenia Pitagorasa mamy: R/ + ]/ = R( / ⇒ R = _( C )/ − ?[=
2
Ostatecznie: S = C ∙ 2[\ ∙
]2C
C
=
2C]/2C
[
Sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi wyznaczymy ze stosunku Teraz musimy skorzystać ze znajomości tożsamości trygonometrycznych. Otóż:
/
/
2
/ 2 − /
/
/
=
⇒
=
=
=
−2
/ /
/ /
/
/
/
/
/
Oczywiście = // / − 2
[
/
]
?[
I]\
\C]
C
/
=
=
]
/^
C
]2C
C
.
/2
C
= /^ = ?
/?
Ostatecznie mamy 2\ = 2` − 2 ⇒ = /I ⇒ = _2 − \/I= _\/I = /I
Zadanie 2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a
pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i jego objętość.
Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup ten ma u podstawy kwadrat, oznaczmy krawędzie graniastosłupa
odpowiednio *, (. Objętość graniastosłupa S = */ ∙ (. Mamy dane: ^ ∙ * + ? ∙ ( = ?^ i / ∙ */ + ? ∙ * ∙
( = [D
Z pierwszego równania wyliczamy ( = 2/ − /*, po czym podstawiamy do drugiego. Otrzymujemy
/ ∙ */ + ? ∙ * ∙ (2/ − /*) = [D. Nietrudno sprawdzić, że równanie ma 2 rozwiązania: *2 = C i */ = I,
którym odpowiadają (2 = \ i (/ = /.
Zadanie 3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8,
a jeden z kątów ma miarę 30O. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę
jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie. Obliczmy przyprostokątne trójkąta w podstawie.
KL
2
LM
C
= CDa = ⇒ KL = ?,
= CDa =
⇒ LM = ?C
KM
/
/
KM
R = KM + LM + KL = ^ + ?C + ? = 2/ + ?C
Liczmy pole powierzchni całkowitej i objętość:
2
> = / ∙ ∙ KL ∙ LM + R/ = 2\C + (2/ + ?C)/ = 2[/ + 22/C
/
2
S = ∙ KL ∙ LM ∙ R = ^C ∙ (2/ + ?C) = [\ + [\C
/
Zadanie 4 W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy R = 8 umieszczono dwie kule o
promieniu r = 5 , w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca,
jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły.
Oblicz objętość tego walca.
Rozwiązanie. W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do
podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki AD , BC i CE . Pierwszy i
trzeci mają długość r = 5 a długość drugiego możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABC .
Zauważmy, że długość odcinka AB to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul.
Zatem:
KL = /b − /) = 2\ − 2D = \
LM = EKM/ − KL/ = 2DD − C\ = ^
Zatem wysokość walca wynosi:
c = KN + LM + MO = 2^
i objętość:
S = ; ∙ b/ ∙ R = 22I/ ∙ ;