METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH WYśSZEGO

Transkrypt

Sławomir Milewski
Kraków, dn. 2004-10-21
Mechanika Komputerowa V rok
Wydział InŜynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
PRACA DYPLOMOWA
„METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH
WYśSZEGO RZĘDU
I JEJ ZASTOSOWANIA W
JEDNOWYMIAROWYCH
PROBLEMACH
BRZEGOWYCH MECHANIKI”
autor : Sławomir Milewski
promotor : prof. dr hab. inŜ. Janusz Orkisz
1
METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH WYśSZEGO RZĘDU
I JEJ ZASTOSOWANIA W JEDNOWYMIAROWYCH
PROBLEMACH BRZEGOWYCH MECHANIKI
WSTĘP
Przedmiotem pracy jest Metoda RóŜnic Skończonych MRS [1], naleŜąca do szerokiej
klasy metod bezsiatkowych – jednych z podstawowych metod dyskretnych słuŜących do
dyskretnej analizy problemów brzegowych. Podstawą MRS jest zamiana operatorów
róŜniczkowych występujących w obszarze i na jego brzegu na operatory róŜnicowe,
pozwalające na zapisanie funkcji niewiadomej oraz jej pochodnych za pomocą jej wartości
węzłowych (w najprostszej wersji tej metody). Jej klasyczna wersja bazowała jedynie na
siatkach o regularnych odstępach między węzłami. Obecnie mówi się o Bezsiatkowej
Metodzie RóŜnic Skończonych BMRS [1], [6], w której lokalna aproksymacja nie bazuje na
Ŝadnej danej z góry regularnej konfiguracji węzłów lub teŜ wynikającej z podziału na
elementy. Oznacza to, iŜ węzły w dowolnej liczbie mogą być rozmieszczone zupełnie
dowolnie w obszarze oraz na jego brzegu. Pozwoliło to znacznie rozszerzyć pole zastosowań
dla MRS.
Wzory róŜnicowe, najczęściej generowane metodą aproksymacji MWLS (Moving
Weighted Least Squares) pozwalają na zapisanie równań róŜnicowych w postaci układu
równań algebraicznych. Jego rozwiązanie daje wynik numeryczny, obarczony błędem,
zazwyczaj powstałym m.in. przez uŜycie operatora róŜnicowego niskiej klasy. Wśród
sposobów jego zmniejszenia wyróŜnione są podejścia adaptacyjne modyfikujące wyjściową
dyskretyzację problemu brzegowego tam gdzie błąd rozwiązania jest największy. Najbardziej
popularne z nich są podejścia adaptacyjne typu h (zwiększenie liczby węzłów, [1]) oraz p
(podniesienie rzędu lokalnej aproksymacji). Te ostatnie, zwane podejściami wyŜszego rzędu,
są punktem wyjścia dla dalszych rozwaŜań w niniejszej pracy.
Obecny stan rozwoju technik wyŜszego rzędu w klasycznej MRS wskazuje na dwie
metody związane z podniesieniem rzędu aproksymacji przy generacji wzorów róŜnicowych :
podejście defect (deferred) correction (uŜycie operatora róŜnicowego wyŜszego rzędu)
opisane w pracy [4] oraz podejście multipoint (podniesienie rzędu aproksymacji operatora
róŜnicowego w węźle centralnym poprzez wykorzystanie odpowiedniej kombinacji i wartości
2
prawych stron równania obliczanych w pozostałych węzłach gwiazdy róŜnicowej) opisane w
[5]. Jednak oba podejścia nie są pozbawione wad, co niestety zawęŜa pole ich wykorzystania.
Celem obecnego opracowania jest rozwijanie zupełnie nowego podejścia wyŜszego rzędu
zaproponowanego po raz pierwszy w pracy [2]. Zwiększenie rzędu aproksymacji dla
operatora róŜnicowego odbywać się będzie nie poprzez dokładanie nowych węzłów lecz
poprzez uwzględnienie członów wyŜszego rzędu w taki sposób aby jakość aproksymacji była
stała i niezaleŜna od uŜytego operatora róŜnicowego. W dalszej perspektywie naleŜy wskazać
takŜe
moŜliwość
([2])
wprowadzenia
nowego
ulepszonego
podejścia
multipoint.
Tak zdefiniowane podejście wyŜszego rzędu naleŜy równieŜ uogólnić na sytuacje, w których
występują skoki w niewiadomej funkcji lub w jej pochodnych oraz na róŜnego rodzaju
postacie warunków brzegowych. Dzięki temu uwzględnienie jak największej liczby
czynników pozwoli na przybliŜenie się do rozwiązania ścisłego analitycznego danego
problemu brzegowego oraz da moŜliwość pełnej automatyzacji podejścia.
NaleŜy zatem brać pod uwagę przyszłą implementację komputerową owych
algorytmów. W tym celu potrzebne jest rozszerzenie proponowanego podejścia wyŜszego
rzędu z klasycznej MRS na jej bezsiatkową, w pełni zautomatyzowaną wersję BMRS.
W obecnej pracy rozwaŜania teoretyczne są weryfikowane analizą jednowymiarowych
problemów brzegowych, a zwłaszcza obliczaniem ugięć belek. Prostota sformułowania
owych problemów pozwala na przetestowanie przedstawionych w pracy algorytmów wraz ze
stopniowym zwiększaniem poziomu trudności, począwszy od liniowej statyki belki zginanej
aŜ do analizy wyboczenia słupa Eulera. Wszystkie przytoczone w kolejnych rozdziałach
przykłady miały na celu pokazanie efektywność proponowanego podejścia wraz z
sygnalizacją miejsc, gdzie powstają typowe dla niego trudności.
Dalszym krokiem będzie przeniesienie rozwaŜań do dziedziny zadań brzegowych
dwuwymiarowych, na początek próba sformułowania podejścia wraz z przedstawieniem
prostego przykładu. NaleŜy równieŜ wspomnieć o moŜliwości wykorzystania proponowanego
podejścia wyŜszego rzędu do analizy błędu a’posteriori w BMRS. Dzięki temu moŜna będzie
połączyć podejście z istniejącymi technikami adaptacyjnymi, głównie z adaptacją typu h.
3
ZAKRES PRACY – PROBLEMATYKA POSZCZEGÓLNYCH ROZDZIAŁÓW
1.TECHNIKI ULEPSZENIA ROZWIĄZANIA RÓśNICOWEGO
•
przykład wprowadzający
•
kierunki analizy
2.TECHNIKA DEFECT (DEFERRED) CORRECTION
•
sformułowanie
•
przykłady
•
podsumowanie
3.TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH
•
wprowadzenie – idea podejścia
•
sformułowanie 1D dla belek
•
przykłady dla belek
•
podsumowanie
•
zalety
•
wady
•
wnioski – wprowadzenie skoków
4.TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU Z UWZGLĘDNIONYMI SKOKAMI FUNKCJI
I JEJ POCHODNYCH
•
typowe sytuacje skoków w mechanice budowli
•
sformułowanie 1D dla belek
•
•
zastosowanie podejścia do dyskretyzacji warunków brzegowych (belki)
•
5.DYSKRETYZACJA WARUNKÓW BRZEGOWYCH
•
wprowadzenie
•
charakterystyka problemu
•
moŜliwe drogi rozwiązania
•
przykłady wprowadzające
4
•
•
sformułowanie
•
rozwiązanie 1D
•
rozwiązanie 2D
6.TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA STATYKI BELEK SPRĘśYSTYCH
-
ogólne sformułowanie (podejście Clebsha)
-
przykłady
belka przegubowa
belka statycznie niewyznaczalna
wyboczenie słupa Eulera
7.PODEJŚCIE MULTIPOINT
-
-
-
wprowadzenie
idea podejścia
prosty przykład
podsumowanie (wady, zalety, wnioski)
nowe podejście multipoint
idea podejścia
prosty przykład
sformułowanie
8.APROKSYMACJA WYśSZEGO RZĘDU W WERSJI BEZSIATKOWEJ MRS
-
-
wprowadzenie
ogólna BMRS
BMRS w 1D
prosty przykład dla belek
rozwiązanie dla belek
9.ROZWINIĘCIE 2D PODEJŚCIA WYśSZEGO RZĘDU
-
wprowadzenie
-
sformułowanie BMRS wyŜszego rzędu dla problemów brzegowych 2D
5
dyskretyzacja róŜnicowa wewnątrz obszaru
dyskretyzacja róŜnicowa na brzegu
10.KOŃCOWE UWAGI
-
podsumowanie powyŜszej całości
-
kierunki dalszej analizy
11.LITERATURA
ROZDZIAŁ 1 :
TECHNIKI ULEPSZENIA ROZWIĄZANIA RÓśNICOWEGO
Niech punktem wyjścia do dalszych rozwaŜań będzie odwieczny problem : zadanie
brzegowe jednowymiarowe rozwiązano Metodą RóŜnic Skończonych [1] i uzyskano
rozwiązanie
róŜnicowe
otrzymane
po
zastosowaniu
moŜliwie
prostego
operatora
róŜnicowego. Porównano je ze znanym wynikiem analitycznym i okazało się, iŜ względna
róŜnica między nimi jest spora. Powstaje pytanie : czy w ramach tego samego zadania (tj. tej
samej dyskretyzacji) jesteśmy w stanie rozwiązanie to poprawić?
Zanim zostanie udzielona odpowiedź, cały tok postępowania w podejściu róŜnicowym
zostanie zaprezentowany na prostym przykładzie belki swobodnie podpartej obciąŜonej
obciąŜeniem ciągłym równomiernie rozłoŜonym.
Przykład 1.1
6
Do opisu matematycznego problemu zginania belki uŜyto sformułowania lokalnego w postaci
równania róŜniczkowego ugięcia belki. Takie sformułowanie jest najbardziej przejrzyste w
tego typu zadaniach, ale oczywiście alternatywne rozwaŜania moŜna by prowadzić przy
uŜyciu jednego ze sformułowań globalnych.
L ( x) =
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
M ( x) =
1
qx(2l − x)
2
f ( x) = −
w(0) = 0
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
w(2l ) = 0
Ścisłe rozwiązanie analityczne belki przedstawia wielomian rzędu 4-tego :
4
~( x) = 1 q ( x − 1 l x 3 + 2 l 3 x)
w
2 EJ 12 3
3
Do obszaru wprowadzono 3 węzły o rozstawie h = l, zdyskretyzowano warunki brzegowe
(zerowe ugięcia na podporach) oraz operator róŜniczkowy drugiego rzędu w obszarze.
w0 = 0
w2 = 0
Lw1 =
1
( w0 − 2 w1 + w2 )
l2
Rozwiązanie klasyczne otrzymamy przez postawienie operatora róŜnicowego w węźle (1) :
Lw1 = f1
1
1 ql 2
(
w
−
2
w
+
w
)
=
−
0
1
2
l2
2 EJ
→ w 1(L) =
1 ql 4
4 EJ
Indeks „L” przy otrzymanym wyniku oznacza wynik przy uŜyciu operatora róŜnicowego
„niskiego rzędu”, tj. najprostszego z moŜliwych. Obliczono teŜ błąd względny rozwiązania w
stosunku do rozwiązania ścisłego oznaczonego „węŜykiem”.
4
~ = 5 ql
w
1
24 EJ
ε =
~
w−w
~ × 100% = 20%
w
Poziom błędu, 20%, jest relatywnie duŜy i stanowi zachętę do poszukiwań technik
poprawienia tego rozwiązania.
MoŜna przedsięwziąć następujące środki zaradcze :
•
w ramach metody MRS klasycznej (przy równym rozstawie węzłów) moŜna
spróbować zagęścić siatkę – jest to sposób najbardziej oczywisty ale najbardziej
prymitywny (wzrasta koszt obliczeń, a jakość wyniku jest wciąŜ taka sama). Warto
nadmienić, Ŝe przy n = 49 węzłach otrzymano dla powyŜszego zadania ugięcie w
środku, którego błąd względny obliczony tak jak powyŜej wynosi 0.035%;
•
moŜna świadomie zrezygnować z wymogu regularności siatki i spróbować
wykorzystać podejście adaptacyjne, tj. budować kolejne siatki po przeprowadzeniu
analizy błędu residualnego. Tu pomocną moŜe być technika multigrid, gdzie ściśle
7
rozwiązuje się układ równań róŜnicowych na siatce najrzadszej, natomiast błąd
rozwiązania koryguje się na siatce najgęstszej;
•
pierwszym pomysłem na technikę wyŜszego rzędu jest podejście typu defect
correction, zakładające uŜycie operatora róŜnicowego wyŜszego rzędu;
•
innym rozwiązaniem moŜe być technika multipoint, u której podstaw leŜy rozbudowa
prawej strony równania róŜnicowego do kombinacji liniowej wartości prawej strony
równania róŜniczkowego i podniesienie w ten sposób rzędu aproksymacji bez
zwiększania liczby węzłów gwiazdy operatora róŜnicowego;
•
ostatnim, najlepszym rozwiązaniem jest technika aproksymacji wyŜszego rzędu, gdzie
innowacją jest korekta prawej strony równania róŜnicowego przez dodanie
członów zawierających wyrazy wyŜszego rzędu przy tym samym (tj. „niskiego
rzędu”) operatorze róŜnicowym.
ROZDZIAŁ 2 :
TECHNIKA DEFECT (DEFERRED CORRECTION)
Technika zwana defect correction lub deferred correction, zaprezentowana w [4] jest
najbardziej oczywistym sposobem polepszenia jakości wyniku róŜnicowego przy utrzymaniu
tej samej liczby węzłów w siatce. Skoro operator róŜnicowy najprostszy (tj. „niskiego rzędu”)
dał rozwiązanie obarczone stosunkowo duŜym błędem to moŜna oczekiwać, Ŝe błąd
zmniejszy się po zastosowaniu operatora róŜnicowego rzędu wyŜszego tj. zbudowanego na
większej liczbie węzłów (bądź teŜ większej liczbie stopni swobody w węzłach). Operator
róŜnicowy moŜe być bardziej dokładny jeŜeli zostanie wygenerowany techniką MWLS
(Moving Weighted Least Squares). Wtedy przy nadmiarze liczby węzłów w stosunku do
liczby stopni swobody lokalnej aproksymacji traci się własności interpolacyjne, ale błąd
obcięcia jest wówczas „równiej” rozłoŜony na współczynniki stojące przy wyrazach
wyŜszego rzędu.
Zadanie realizowane techniką defect (deferred) correction moŜna podzielić na dwa
etapy :
•
Etap I : zastosowanie operatora róŜnicowego niskiego rzędu, otrzymanie
odpowiadającego mu rozwiązania niskiego rzędu, ewentualne obliczenie poziomu
błędu,
8
•
Etap II : zastosowanie operatora róŜnicowego wyŜszego rzędu, otrzymanie
odpowiadającego mu rozwiązania wyŜszego rzędu, porównanie z rozwiązaniem z
etapu I.
Od razu widoczną wadą podejścia jest fakt, iŜ trzeba rozwiązywać nowy układ równań
róŜnicowych, natomiast warto nadmienić, iŜ przy zastosowaniu iteracyjnej metody
rozwiązywania układu równań róŜnicowych (II etap) optymalnie szybką zbieŜność do
rozwiązania wyŜszego rzędu moŜna otrzymać poprzez uŜycie rozwiązania niskiego rzędu (z
pierwszego etapu) jako wektora startowego do pierwszej iteracji.
Tak więc jedynie jako punkt wyjścia do innych, lepszych technik wyŜszego rzędu
pokazane zostanie rozwiązanie wyŜszego rzędu otrzymane w wyniku podejścia defect
correction, najstarszego chronologicznie, na tej samej belce przy tej samej wstępnej
dyskretyzacji co w przykładzie 1.1.
Przykład 2.1
Przy dyskretyzacji startujemy od tego samego operatora, co poprzednio : w pierwszym etapie
otrzymuje się dobrze znane juŜ rozwiązanie klasyczne – „niskiego rzędu” : w1(L) =
1 ql 4
.
4 EJ
Stosowny operator wyŜszego rzędu, ścisły dla wielomianu 2n = 2×2 = 4, zbudowany
interpolacyjnie na 5 węzłach :
L( H ) wi =
1
(− wi − 2 + 16 wi −1 − 30 wi + 16 wi +1 − wi + 2 )
12h 2
wymaga wprowadzenia dodatkowych fikcyjnych węzłów (f1) i (f2) poza belką, aby moŜliwa
była kolokacja w węźle środkowym belki.
9
Ich fikcyjne ugięcia moŜna określić ze statycznych warunków brzegowych czyli z faktu
zerowania się momentów zginających ( drugich pochodnych ugięć ) na podporach :
w0II = 0 → w0II ≈
w f − 2 w0 + w1
l2
= 0 → w f = − w1 dla f = f1 , f 2
Przy swobodnym podparciu belki ugięcia w węzłach fikcyjnych wydają się więc być
antysymetryczne w stosunku do ich rzeczywistych odpowiedników.
Po zastosowaniu kolokacji otrzymuje się następujące równanie róŜnicowe oraz wynik :
L1( H ) w1 = f1 → w 1(H) =
3 ql 4
14 EJ
Nie otrzymano jednak rozwiązania ścisłego. Błąd względny wynosi tym razem 2.86% i jest
znacznie mniejszy niŜ przy wyniku klasycznym, ale nie jest to rozwiązanie najlepsze.
Dlaczego? Wielomian opisujący ugięcie belki jest stopnia 4-tego, tak jak i drugi operator
róŜnicowy L(H) . Powinien więc on dać wynik ścisły. I dałby, gdyby nie dyskretyzacja
statycznych warunków brzegowych – jest ona niskiego rzędu, gdyŜ została przeprowadzona
za pomocą trzypunktowego operatora róŜnicowego na drugą pochodną – tego samego co w
metodzie klasycznej MRS. Poprawka, wynikająca z istnienia niepełnej antysymetrii między
węzłami (f) i (1) nie została uwzględniona poprzez odrzucenie wyrazów wyŜszego rzędu. Na
obecnym etapie nie da się tego skorygować, takŜe do tego przykładu będzie jeszcze
nawiązanie w dalszym ciągu obecnej pracy.
Po przeprowadzeniu powyŜszej dyskusji moŜna sformułować kilka zarzutów w stosunku do
defect correction, które będą pretekstem do szukania innych technik wyŜszego rzędu
polepszenia wyniku.
Wady podejścia typu defect correction :
•
Rozwiązywanie układów równań z dwiema całkowicie innymi lewymi stronami
(róŜne macierze współczynników), przez zastosowanie dwóch róŜnych operatorów
róŜnicowych : niskiego i wyŜszego rzędu;
•
Potrzeba wprowadzenia dodatkowych węzłów fikcyjnych przy brzegu, a więc nowych
niewiadomych do układu równań, co czasami nie jest korzystne, np. przy zadaniach
dynamiki lub stateczności konstrukcji;
•
Ostateczne rozwiązanie zaleŜy silnie od jakości uŜytego operatora róŜnicowego.
10
Wszystkie te niedogodności znikają przy zastosowaniu proponowanej w tym opracowaniu
metody aproksymacji wyŜszego rzędu ( ang. higher order approximation ).
ROZDZIAŁ 3 :
TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH
U podstaw proponowanego tu podejścia wyŜszego rzędu [2], [3] leŜy otrzymywanie
wyniku, który zaleŜy tylko od przyjętego rzędu aproksymacji, natomiast całkowicie nie zaleŜy
od jakości zastosowanego operatora róŜnicowego. Poprawka operatora skumulowana jest w
członie korekcyjnym, dodawanym do prawej strony równań róŜnicowych. Nie ma więc
potrzeby rozwiązywania dwóch zupełnie róŜnych układów równań. Będą się one róŜnić
między sobą jedynie postacią prawej strony. Korekta operatora ma zapewnić odpowiedni rząd
aproksymacji rozwiązania, wyŜszy niŜ ten, który wynikałby z zastosowania operatora
róŜnicowego bez Ŝadnych poprawek czyli niskiego rzędu. ZałóŜmy, iŜ operator róŜnicowy
jest rzędu
n, wtedy będzie się wymagać w drugim etapie zadania ścisłości dla rzędu
aproksymacji 2n, zarówno dla brzegu jak i wnętrza obszaru (naleŜy pamiętać, iŜ na brzegu i
wewnątrz obszaru mogą być określone zupełnie inne operatory róŜniczkowe tj. innego rzędu
lub innej postaci). Wszystkie brakujące wyrazy rzędu wyŜszego, które razem z operatorem
róŜnicowym rzędu n dawałyby ścisłość dla aproksymacji rzędu 2n znajduje się rozwijając
dany operator w szereg Taylora (a ściślej rzecz biorąc rozwijając wartości funkcyjne, na
których zbudowany jest operator) i zbierając je do wyraŜenia zwanego członem korekcyjnym
∆ (ang. correction term).
Podstawowym problemem będzie teraz obliczenie wartości członu korekcyjnego.
Przyjęte zostanie na wstępie załoŜenie, iŜ funkcja niewiadoma ma ciągłość stopnia co
najmniej 2n, tzn. funkcja i jej wszystkie pochodne do rzędu 2n włącznie są funkcjami
ciągłymi (wielomianami) bez Ŝadnych skoków. O takim rozwiązaniu mówi się, Ŝe jest
gładkie. Na takiej postaci funkcji niewiadomej skupimy się w tym rozdziale. Dzięki temu
człon korekcyjny będzie składał się wyłącznie z wartości pochodnych wyŜszego rzędu (tj. od
n+1 do 2n ) funkcji w węzłach. Ich obliczenie sprowadza się w ogólnym przypadku do ich
złoŜenia (kompozycji) z wartości operatorów rzędu niŜszego czyli z tych, które są juŜ
określone w pierwszym etapie zadania. Gdy juŜ wartość członu korekcyjnego jest znana,
naleŜy go dodać do strony prawej równania róŜnicowego i stworzony w ten sposób układ
równań będzie miał zmodyfikowaną prawą stronę w porównaniu do poprzednio
11
rozwiązywanego. JeŜeli wartość członu korekcyjnego jest ścisła (w ramach rzędu 2n ) , to
rozwiązanie tego układu teŜ będzie ścisłe w ramach załoŜonego rzędu aproksymacji 2n.
Przedstawiona poniŜej procedura obowiązuje dla problemu zginania belek
spręŜystych. Konsekwencją jest przyjęcie operatora róŜnicowego na drugą pochodną ugięcia
trójwęzłowego wewnątrz zarówno dla węzłów z wnętrza obszaru jak i węzłów brzegowych.
ALGORYTM TECHNIKI MRS WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH W
PROBLEMIE ZGINANIA BELEK
Dany jest obszar jednowymiarowy o długości L zdysketyzowany za pomocą n
węzłów o rozstawie h. Rozpatruje się dowolną konfigurację trzech węzłów wewnątrz
obszaru jak na rys :
sformułowanie lokalne problemu brzegowego ( dla belek!)
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0≤x≤L
w(0) = 0
w( L) = 0
Dyskretyzacja róŜnicowa :
Lwi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi +1 ) w0 = 0 wn = 0
h2
Rozwinięcie wartości węzłowych (i-1), (i) oraz (i+1) operatora róŜnicowego w szereg
Taylora :
12
1 2 II 1 3 III 1 4 IV

I
w
=
w
−
h
w
+
h wi − h wi + h wi + Ri −1
i
−
1
i
i

2
6
24

Lwi ~ 
wi = wi

1 2 II 1 3 III 1 4 IV
I
wi +1 = wi + h wi + h wi + h wi + h wi + Ri +1
2
6
24

oraz zbilansowanie, uwzględniające mnoŜniki liczbowe przy poszczególnych wyrazach
rozwinięcia daje wyraŜenie na operator róŜnicowy :
Lwu =
1 2 II 1 4 IV
1
(h wi + h wi + R ) = wiII + h 2 wiIV + R = f i + ∆ i + Ri
2
h
12
12
fi – prawa strona równania
Di – człon korekcyjny (rozwaŜany)
Ri
–
błąd obcięcia wyrazów szeregu (pomijany)
Etap I : operator niskiego rzędu : rozwiązanie klasyczne (∆i = 0)
Lwi = f i
dla i = 1 , ... , n → wi( L )
Etap II : ten sam operator + człon korekcyjny (∆i ≠ 0) : rozwiązanie wyŜszego rzędu
Lwi = f i + ∆ i
dla i = 1 , ... , n → wi( H )
Jak obliczyć wartość członu korekcyjnego? Wiadomo juŜ, iŜ będzie zaleŜeć on od
pochodnych wyŜszego rzędu III i IV. Najprostszą i najbardziej ogólną metodą (ogólną – tzn.
dla dowolnego operatora róŜnicowego) jest kompozycja pochodnych wyŜszego rzędu (III, IV)
w obszarze z pochodnych niskiego rzędu (sama funkcja, I, II) a następnie wykorzystanie
znanych juŜ wartości tych pochodnych gdyŜ były one układane w pierwszym etapie zadania.
Sprawa nieco komplikuje się przy obliczaniu pochodnych na brzegu. Czasem ich wartość jest
znana z dodatkowych warunków brzegowych (np. przy podparciu swobodnym z faktu
zerowania się momentu zginającego czyli drugiej pochodnej ugięcia) . Tak zawsze być nie
musi. Przykładowo, jeŜeli algorytm natrafiłby na pochodne pierwsze ugięć na brzegu
( w0I , w2I ), to nie dałoby się bezpośrednio podstawić za nie konkretnej wartości. To pierwszy
mankament takiego typu podejścia, wymagający budowy ogólnego algorytmu postępowania
w celu obliczania wartości pochodnych ugięć na brzegu obszaru.
Na razie przyjęte zostanie załoŜenie, Ŝe wartości pochodnych na brzegu wynikają
bezpośrednio z warunków brzegowych. Sposoby obliczania wartości członu korekcyjnego
wewnątrz obszaru są więc następujące:
•
Sposób 1 : najbardziej ogólny : kompozycja operatorów niŜszego rzędu o znanych
wartościach (etap I);
13
•
Sposób 2 : wykorzystanie bezpośrednio równania róŜniczkowego lub po jego
zróŜniczkowaniu – dla prostych problemów brzegowych;
•
Sposób 3 : formuła multipoint (patrz : rozdział 7).
∆i =
1 2 IV 1 2 wiII−1 − 2 wiII + wiII+1
1
h wi = h (
) = ( wiII−1 − 2 wiII + wiII+1 )
2
12
12
h
12
•
ogólnie : wiII−1 , wiII , wiII+1 - znane wartości z I etapu,
•
w przypadkach szczególnych : wiII , wiIII , wiIV itd - z równania L w= f.
PowyŜszy algorytm zostanie zaprezentowany na tym samym przykładzie belki, co
poprzednio dla lepszej konfrontacji z istniejącymi, znanymi juŜ, podejściami.
Przykład 3.1
KaŜda metoda wyŜszego rzędu na ogół wymaga znajomości rozwiązania klasycznego, tu dla
operatora niskiego rzędu :
L( L ) wi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi +1 )
h2
L1( L ) w1 = f1 → w 1(L) =
1 ql 4
4 EJ
Istotą omawianej metody nie jest wprowadzenie innego operatora róŜnicowego ale korekta
tego uŜytego wcześniej. Odbywa się to poprzez rozwinięcie wszystkich wyrazów funkcyjnych
becnych w operatorze róŜnicowym L(L) czyli w0, w1, w2 w szereg Taylora wokół węzła
centralnego operatora (1) :
1 2 II 1 3 III 1 4 IV

I
 w1 − lw1 + 2 l w1 − 6 l w1 + 24 l w1 + R0
1
Lw1 = 2 
− 2 w1
l 
1
1 3 III 1 4 IV
I
2 II
w1 + lw1 + l w1 + l w1 + l w1 + R2
2
6
24

Operator róŜnicowy klasyczny był rzędu n=2, uwzględnia się więc wszystkie wyrazy
rozwinięcia aŜ do rzędu 2n = 4 włącznie. Po zbilansowaniu (czyli dodaniu) wyrazów
rozwinięcia (z mnoŜnikami 1,-2,1 występującymi w operatorze klasycznym) otrzymujemy :
Lw1 =
1 2 II 1 4 IV
1
(l w1 + l w1 ) = w1II + l 2 w1IV + R
2
12
12
l
Lw1 = f1 + ∆1 + R , gdzie :
w1II = f1
prawa strona równania
14
∆1 =
1 2 IV
l w1
12
R≈0
człon korekcyjny (uwzględnione dodatkowe człony wyŜszego rzędu)
pomijany błąd obcięcia wyrazów szeregu
Dla wyrazów do rzędu drugiego włącznie istnieje równość między operatorami :
róŜniczkowym i róŜnicowym klasycznym.
Podstawowym problemem jest obliczenie wartości członu korekcyjnego. Ogólnym sposobem
jest dekompozycja operatora róŜniczkowego rzędu czwartego :
∆1 =
1 2 w0II − 2 w1II + w2II
1
l (
) = (−2 w1II )
2
12
12
l
Drugie pochodne w węzłach (0) i (2) są równe zeru (statyczne warunki brzegowe). Pozostaje
do obliczenia niezerowa pochodna drugiego rzędu. W tym właśnie miejscu naleŜy posłuŜyć
się gotowymi juŜ operatorami niskiego rzędu (rząd pierwszy i drugi) z pierwszego etapu
obliczeń : w bezsiatkowej MRS podczas generacji wzorów róŜnicowych generowane są
metodą najmniejszych waŜonych kroczących kwadratów MWLS (ang. Moving Weighted Least
Squares) wszystkie pochodne aŜ do rzędu n = 2 włącznie :
w1II = Lw1 = f 1 = −
1 ql 2
1 ql 2
→ ∆1 =
2 EJ
12 EJ
W przypadku prostego równania róŜniczkowego (właśnie w przypadku statyki belek) drugie
pochodne ugięć to prawa strona równania róŜniczkowego :
w1II = −
M1
1 ql 2
1 ql 2
=−
→ ∆1 =
EJ
2 EJ
12 EJ
Oczywiście bardziej ogólne jest podejście pierwsze, oparte na wykorzystaniu gotowych juŜ
wartości wygenerowanych operatorów róŜnicowych niskiego rzędu.
Znane są teŜ inne techniki obliczania wartości członu korekcyjnego :
•
w przypadku prostego równania róŜniczkowego dopuszczalne jest jego
róŜniczkowanie :
w IV =
•
q( x)
EJ
w1IV =
q
EJ
→ ∆1 =
1 2 IV
1 ql 2
l w1 =
12
12 EJ
moŜna teŜ skorzystać ze wspomnianej formuły multipoint, ale na tym etapie nie będzie
ona rozwaŜana.
Ostateczne równanie róŜnicowe (czyli w drugim etapie rozwiązywania) będzie wyglądało
następująco :
Lw1 = f1 + ∆1 , gdzie :
L - ten sam operator róŜnicowy
15
f1 + ∆1 - skorygowana prawa strona
w0 − 2 w1 + w2
1 ql 2 1 ql2
=
−
+
l2
2 EJ 12 EJ
→ w 1(H) =
5 ql4
24 EJ
Nie ma juŜ Ŝadnych przeszkód ku temu, aby otrzymany wynik uznać za ścisły : ścisły
dla załoŜonego rzędu lokalnej aproksymacji ( 2n = 4 ) oraz ścisły w porównaniu z wynikiem
analitycznym (rząd wielomianu opisującego ugięcie = 4 stąd R = 0 ).
Na zaprezentowanym przykładzie widać bardzo dobrze zarówno wady jak i zalety podejścia
MRS wyŜszego rzędu. Zanim jednak dokonany zostanie ich bilans, rozwaŜmy jeszcze jeden
przykład : belka swobodnie podparta obciąŜona obciąŜeniem liniowo zmiennym. Komentarze
zostały ograniczone do niezbędnego minimum.
Przykład 3.2
sformułowanie problemu :
d2
L ( x) =
w( x) = f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
gdzie :
M ( x) =
1 qx 2
(4l − x 2 )
12 l
w(0) = 0
w(2l ) = 0
rozwiązanie analityczne (ugięcie belki) – wielomian stopnia 5-tego :
~( x) =
w
−
1 q 1 2 2 3 1 5 84 4
x − l x)
( l x −
12 EJ l 3
20
45
16
dyskretyzacja róŜnicowa warunków brzegowych i operatora róŜniczkowego :
w0 = 0 w2 = 0 Lw1 =
1
( w0 − 2 w1 + w2 )
l2
Etap I : rozwiązanie niskiego rzędu :
Lw1 = f1
1
1 ql 2
1 ql4
(L)
(
w
−
2
w
+
w
)
=
−
→
w
=
0
1
2
1
l2
4 EJ
8 EJ
obliczenie wartości członu korekcyjnego :
∆1 =
1 2 IV
1
1 ql 2
l w1 = (−2 w1II ) =
12
12
24 EJ
Etap II : rozwiązanie wyŜszego rzędu :
1
1 ql 2 1 ql2
(
w
−
2
w
+
w
)
=
−
+
0
1
2
l2
4 EJ 24 EJ
1
5 ql 2
5 ql4
(H)
(
2
w
)
w
−
=
−
→
=
1
1
l2
24 EJ
48 EJ
Lw1 = f1 + ∆1
Otrzymany wynik, ścisły dla załoŜonego rzędu aproksymacji (rząd 4-ty) okazuje się równieŜ
być wynikiem zgodnym z rozwiązaniem analitycznym, mimo iŜ wielomian opisujący ugięcie
jest rzędu 5-tego. Skąd więc zgodność obydwu wyników? OtóŜ symetria operatora
róŜnicowego powoduje, iŜ jedyne niezerowe wyrazy reszty szeregu (wartości piątych
pochodnych) „znoszą” się nawzajem, tak więc w rezultacie wciąŜ reszta R = 0.
Taka „wymuszona” symetria na operatorze róŜnicowym pozwala na otrzymywanie wyników
zgodnych z analitycznymi dla zadań z obciąŜeniem liniowo zmiennym na belkach.
R=−
1 5 V
1 5 V
l w1 +
l w1 + 0 = 0
120
120
Analizując powyŜsze przykłady moŜna dokonać pierwszego bilansu wad i zalet
proponowanego podejścia wyŜszego rzędu.
Do zalet naleŜy zaliczyć :
•
Układ równań ma tę samą lewą stronę jak w podejściu standardowym (ten sam
operator róŜnicowy), natomiast prawa jest wzbogacona o człon zapewniający ścisłość
wyniku dla załoŜonego rzędu aproksymacji,
•
Ostateczne rozwiązanie zaleŜy tylko od błędu obcięcia wyrazów szeregu Taylora, nie
zaleŜy od precyzji operatora róŜnicowego,
•
Wymagane są dwa kroki dla otrzymania rozwiązania : jeden dla rozwiązania
klasycznego, drugi dla rozwiązania wyŜszego rzędu.
Natomiast problemy mogą powstać przy następujących aspektach :
17
•
dyskretyzacja warunków brzegowych : wymagana osobna aproksymacja wyŜszego
rzędu w węzłach brzegowych,
•
mogą wystąpić róŜne stopnie gładkości rozwiązania : wymagane uwzględnienie
skoków w samej funkcji ugięcia lub/i jej pochodnych.
Pierwszą rzeczą, którą trzeba się zająć jest sposób uwzględnienia skoków w funkcji
niewiadomej oraz jej pochodnych, wywołanych obecnością na belkach m.in. obciąŜeń
skupionych. Wprowadzenie aparatu obliczeniowego uwzględniającego skoki pozwoli
osiągnąć pełną zgodność ostatecznego wyniku róŜnicowego z załoŜonym rzędem
aproksymacji (wielomianowej) zarówno w obszarze, jak i, dla prostych operatorów
róŜniczkowych, na brzegu obszaru.
ROZDZIAŁ 4 :
TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU Z UWZGLĘDNIONYMI SKOKAMI FUNKCJI I
JEJ POCHODNYCH
PoniewaŜ dalej będziemy zajmować się głównie problemami statyki belek,
przedstawmy zbiór najczęstszych sytuacji występowania skoków czyli nieciągłości w
kolejnych pochodnych ugięcia belki.
J(5) – skok obciąŜenia liniowo
zmiennego
J(4) – skok obciąŜenia
równomiernie rozłoŜonego
J(3) – skok siły poprzecznej
J(2) – skok momentu zginającego
J(1) – skok kąta ugięcia belki
( przegub )
J(0) – utrata ciągłości belki
18
Skomentować naleŜy przypadek pierwszy i ostatni. Pierwszy J
(5)
trudno uznać na klasyczny
przypadek nieciągłości funkcji, raczej naleŜy go łączyć z próbą uwzględnienia przyrostu
obciąŜenia liniowo zmiennego od pewnego miejsca na belce, ostatni zaś, J
(0)
, występuje
raczej rzadko, np. przy nierównomiernym osiadaniu podpór. Zarówno sam skok, jak i jego
wartość w danym węźle na belce, będą dalej oznaczane symbolem :
J(k)
, gdzie : (k) – rząd pochodnej, w której występuje utrata ciągłości.
Sposób na uwzględnienie skoku w pochodnej odpowiedniego rzędu k (k = 0,1,...5) będzie
polegał na opisaniu pochodnej w okolicy węzła xi , w którym ów skok występuje za pomocą
zerojedynkowej funkcji Heaviside’a przeskalowanej przez wartość tego skoku. W ten sposób
przy rozwijaniu w danym węźle w szereg Taylora odpowiednich wartości funkcji
występujących w operatorze róŜnicowym będzie moŜna uwzględnić skończoną róŜnicę w
wartości pochodnej po obu stronach węzła.
Przedstawiony poniŜej algorytm dotyczy tak jak poprzednio problemu zginania belek.
ALGORYTM TECHNIKI MRS WYśSZEGO RZĘDU PRZY RÓśNYCH STOPNIACH
NIECIĄGŁOŚCI FUNKCJI UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI
Rozpatrzmy konfigurację węzłów jak na rys. poniŜej. W węźle centralnym (i ) mogą wystąpić
wszystkie przypadki nieciągłości rozwiązania zaprezentowane na początku rozdziału.
19
operator róŜnicowy dla problemu ugięcia belek :
Lwi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi+1 )
h2
zapis k-tej pochodnej rozwiązania z nieciągłością w węźle centralnym operatora :
(k )
w ( k ) ( x) = wlewa
( x ) + J ( k ) H ( x − xi )
gdzie :
 0, dla x < xi
1
H ( x − xi ) =  , dla x = xi
2
 1, dla x > xi
funkcja Heaviside’a
rozwinięcie operatora Lwi w szereg Taylora :
k
 4
k h
wi( k ) + Ri −1
 ∑ (−1)
k!
1  k =0
Lwi = 2 
− 2 wi
h 4 k
h
[ wi( k ) + J ( k ) ] + Ri +1
∑
 k =0 k!
po zbilansowaniu :
Lwi = f i + ∆ i + Ri
gdzie poszczególne składniki moŜna rozpisać następująco :
f i = wiII
J
J (1) 1 ( 2) 1
1
1 2 ( 4)
+
+ J + h J ( 3) + h 2 wiIV +
h J
2
h
2
6
12
24
h
= ∆H
znana wartość osiadania podpory
skok kąta ugięcia – dodatkowa niewiadoma
= ∆α
∆i =
J (0)
J (1)
Ri ≈ 0
(0)
Mi
EJ
Q
= i
EJ
q
= i
EJ
J ( 2) =
skok momentu zginającego – znana wartość
J ( 3)
skok siły poprzecznej – znana wartość
J ( 4)
skok obciąŜenia ciągłego – znana wartość
Teraz, w ogólnym przypadku dopuszczającym występowanie wszystkich rodzajów
nieciągłości w funkcji ugięcia, człon korekcyjny składa się oprócz znanych z poprzedniego
rozdziału wartości pochodnych wyŜszego rzędu (tu III i IV) takŜe z wartości skoków
odpowiednich pochodnych w rozwaŜanym węźle. Wszystkie z nich, w przypadku zadań belek
zginanych są znane juŜ z poziomu statyki rozwaŜanego problemu ugięcia belki, natomiast w
przypadku występowania nieciągłości kątowej wartość skoku kąta ugięcia belki w węźle z
20
przegubem naleŜy traktować jako dodatkową niewiadomą do układu równań, gdyŜ nie jest
ona znana a’priori. Wystąpienie przegubu zwalnia jeden z więzów kinematycznych, dlatego
teŜ dysponuje się dodatkowym równaniem pozwalającym na jednoznaczne wyznaczenie
oprócz węzłowych wartości ugięć równieŜ wartości nieciągłości kątowej. Podobnie sprawa
ma
się
z
niewiadomymi
hiperstatycznymi
w
przypadku
konstrukcji
statycznie
niewyznaczalnych, o których mowa będzie w rozdziale 6.
Podany wyŜej algorytm dla belek będzie zilustrowany na kilku prostych przykładach.
Przykład 4.1
Belka taka jak w poprzednich przykładach obciąŜona jest siłą skupioną.
sformułowanie problemu brzegowego :
L ( x) =
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
gdzie :
M ( x) =
 1
 2 Px , 0 ≤ x ≤ l
1
 P(2l − x) , l < x ≤ 2l
2
w(0) = 0 w(2l ) = 0
dyskretyzacja róŜnicowa :
21
w0 = 0 w2 = 0 − warunki brzegowe
Lw1 =
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) − operator
l2
rozwiązanie klasyczne :
Lw1 = f1
1
1 Pl
1 Pl3
(L)
(
w
2
w
w
)
w
−
+
=
−
→
=
0
1
2
1
l2
2 EJ
4 EJ
W zadaniu tym nieciągłość występuje w III pochodnej ugięcia, wywołana jest obecnością siły
skupionej na belce. Rozkład siły poprzecznej w okolicy węzła (1) moŜna zapisać następująco:
Q( x) ∼ w III ( x) + J (3) × H ( x − l )
gdzie :
H ( x − l ) – funkcja Heaviside’a
J (3) – wartość skoku trzeciej pochodnej
Po rozwinięciu operatora róŜnicowego w szereg Taylora :
1
1
1

1 × [ w0 = w1 − lw1I + l 2 w1II − l 3 w1III + l 4 w1IV + R0 ]

2
6
24
1
Lw1 = 2 
− 2 × w1
l 
1 2 II 1 3 III
1 4 IV
I
( 3)
1 × [ w2 = w1 + lw1 + l w1 + l ( w1 + J ) + l w1 + R2 ]
2
6
24

oraz po zbilansowaniu składników otrzymujemy następujące wyraŜenie :
1
1
Lw1 = w1II + l J (3) + l 2 w1IV = f 1 + ∆ 1
6
12
gdzie :
w1II = f1 = −
1 Pl
2 EJ
Pl
EJ
= q( x = l ) = 0
wartość prawej strony
J ( 3) =
wartość skoku III pochodnej ugięcia
w1IV
brak obciąŜenia ciągłego
∆1 =
1 ( 3) 1 2 IV 1 Pl
l J + l w1 =
6
12
6 EJ
człon korekcyjny
Przy obliczaniu wartości IV pochodnej wykorzystany został fakt zerowania się obciąŜenia
ciągłego na belce. PoniewaŜ w rzeczywistości czwarta pochodna ugięcia okazuje się mieć
postać delty Diraca (wymuszenie impulsowe w węźle (1)), nie moŜna jej składać z wartości
pochodnych II rzędu, tak jak w poprzednich przykładach, gdyŜ Ŝaden wzór wielomianowy nie
jest w stanie oddać postaci tej pseudofunkcji. Innym poprawnym sposobem na obliczenie
wartości czwartej pochodnej jest jej dekompozycja aŜ do samych wartości funkcji :
22
w0 − 2w1( L) + w2
w0 − 2w1( L) + w2
w0 − 2w1( L ) + w2
1 Pl
1 Pl
1 Pl
II
II
=
−
,
w
=
=
−
,
w
=
=−
,
1
2
2
2
2
l
2 EJ
l
2 EJ
l
2 EJ
1
1 Pl
(− + 1 − )
II
II
II
w − 2 w1 + w2
w1IV = 0
= 2 2 2 EJ = 0
l2
l
w0II =
NaleŜy teŜ zaznaczyć, Ŝe gdyby belka była dodatkowo tak obciąŜona, iŜ czwarta pochodna
byłaby róŜna od zera, to licząc ją sposobem pierwszym naleŜy nie uwzględniać wpływu
obciąŜenia skupionego.
W ten oto sposób okazuje się, iŜ człon korekcyjny skupia w sobie wpływ jedynie wartości
skoku III pochodnej czyli siły poprzecznej na belce. Tak więc nieuwzględniona w podejściu
klasycznym (niskiego rzędu) wartość skoku siły ma decydujące znaczenie na zgodność rzędu
dokładności wyniku z IV rzędem aproksymacji.
Ostateczne równanie i rozwiązanie róŜnicowe :
Lw1 = f1 + ∆1
w0 − 2 w1 + w2
1 Pl
= −
2
l
3 EJ
→
w 1(H) =
1 Pl3
6 EJ
jest zgodne z wynikiem analitycznym będącym wielomianem rzędu trzeciego, dla którego
pominięta w rozwinięciu reszta R = 0.
Przykład 4.2
Belka swobodnie podparta obciąŜona momentem skupionym. Na belce załoŜono cztery
węzły, zrezygnowano ze symetrii rozwiązania, aby ugięcie w środku rozpiętości nie było
zerowe. W zadaniu występuje skok w drugiej pochodnej ugięcia – w momencie zginającym.
23
sformułowanie zadania:
d 2w
L ( x) = 2 = f ( x)
dx
f ( x) = −
M ( x)
EJ
dla 0 ≤ x ≤ 3l
warunki brzegowe :
w(0) = 0
w(3l ) = 0
moment zginający :
M0x

dla 0 ≤ x ≤ 2l
 − 3l
M ( x) = 
M
 0 ( x − 3l ) dla 2l ≤ x ≤ 3l
 3l
Lw1 =
f0 = 0
1
( w0 − 2 w1 + w2 )
l2
f1 =
1 M0
3 EJ
Lw2 =
f 2(l ) =
1
( w1 − 2 w2 + w3 )
l2
2 M0
3 EJ
f 2( p ) = −
1 M0
3 EJ
w0 = 0
w3 = 0
f3 = 0
W dyskretnych wartościach funkcji prawej strony rozróŜniono wartość po stronie prawej i
lewej momentu skupionego przyłoŜonego w węźle (2).
rozwiązanie niskiego rzędu :
Lw1 = f1



f 2(l ) + f 2( p )
Lw
=
 2
2

 w0 − 2 w1 + w2 1 M 0
=

l2
3 EJ

w
2
w
w
−
+
1 M0
1
2
 0
=
2

l
6 EJ
 (L)
5 M0l2
w
=
−
 1
18 EJ

2
 w (L) = − 2 M0l
 2
9 EJ
korekta operatorów :
1 2 IV
l w1 + R1 = f1 + ∆ 1
12
gdzie : w1IV = 0
R1 = 0
stad : ∆ 1 = 0
Lw1 = w1II +
1
1
Lw2 = (w2II + w2II + J (2) ) + l 2 w2IV + R2 = w2II + ∆2
2
12
M
1 M0
gdzie : w2IV = 0
R2 = 0
J (2) = − 0
stad : ∆2 = −
EJ
2 EJ
24
rozwiązanie wyŜszego rzędu :
Lw1 = f1 + ∆1



f 2(l ) + f 2( p )
Lw
=
+ ∆2
 2

2
w0 − 2 w1 + w2 1 M 0

=
+0

l2
3 EJ

 w0 − 2 w1 + w2 = 1 M 0 − 1 M0 = − 1 M 0

l2
6 EJ 2 EJ
3 EJ
 (H)
1 M0l2
w
=
−
 1
9 EJ

2
 w (H) = 1 M0l
 2
9 EJ
Otrzymany wynik jest ścisły w ramach czwartego rzędu aproksymacji oraz pokrywa się z
rozwiązaniem analitycznym.
Podany na początku rozdziału algorytm moŜna efektywnie wykorzystać w celu zapewnienia
tego samego rzędu aproksymacji (czwartego) nie tylko w obszarze ale takŜe na jego brzegu.
Jest to moŜliwe dzięki prostocie operatorów róŜniczkowych występujących w zadaniach z
belkami. Nie jest to w Ŝadnym wypadku podejście ogólne (patrz : rozdział 5), ale jedynie
próba stworzenia ogólnego algorytmu statyki belek zginanych przy pełnym wykorzystaniu
moŜliwości płynących z moŜliwości uwzględniania skoków w funkcji ugięcia oraz jej
pochodnych. Zostaną wyróŜnione dwa najczęściej występujące przypadki : pełne
utwierdzenie oraz podparcie swobodne.
PEŁNE UTWIERDZENIE
25
Pomysł polega na tym, aby przedłuŜyć symetrycznie fragment belki tuŜ przy
wsporniku wprowadzając jeden fikcyjny węzeł (f) w takiej samej odległości w jakiej leŜy
najbliŜszy węzeł (1) węzła brzegowego (0). Wykorzystany jest tutaj fakt symetrii fikcyjnego
ugięcia belki w węźle (f) w stosunku do węzła (1) wynikający z dyskretyzacji (niskiego
rzędu) operatora róŜniczkowego na brzegu (na pierwszą pochodną ugięcia) za pomocą
operatora centralnego :
d2
w( x) = f ( x) ,
dx 2
w0 = 0 w' 0 =
f ( x) = −
w f − w1
2h
M ( x)
EJ
w(0) = 0 w' (0) = 0
= 0 → w f = w1
I tak, zamiast poprawiać operator róŜnicowy brzegowy, potraktujemy okolice wspornika jako
przewieszoną belkę swobodnie podpartą, z odpowiednio dobranym obciąŜeniem. Poprawie
ulegnie teraz „klasyczny” operator na drugą pochodną postawiony w węźle (0).
Zbierając reakcje do podpory swobodnej w węźle (0) dostaje się wartość 2(P+qh), którą
potraktuje się jako siłę skupioną powodującą skok trzeciej pochodnej ugięcia (siły
poprzecznej) na podporze.
Tak więc realizacja numeryczna jest taka sama jak w powyŜszych przykładach.
„Nowy” operator róŜnicowy na brzegu ma teraz postać :
Lw0 =
1
( w f − 2 w0 + w1 )
h2
Rozwinięcie operatora w szereg Taylora w węźle brzegowym (0) :
1 2 II 1 3 III 1 4 IV

I
w
−
hw
+
h w0 − h w0 +
h w0 + R f
0
0

2
6
24
1 
Lw0 = 2 
− 2 w0
h 
1
1
1 4 IV
I
2 II
3
III
( 3)
h w0 + R1
w0 + hw0 + h w0 + h ( w0 + J 0 ) +
2
6
24

1
1
Lw0 = w0II + h J 0( 3) + h 2 w0IV = f 0 + ∆ 0 , gdzie :
6
12
w0II = f 0 = −
M0
EJ
2
( P + q h)
EJ
q
w0IV =
EJ
1
1
h 1
1
∆ 0 = h J 0( 3) + h 2 w0IV = −
( P + q h)
6
12
EJ 3
4
J 0(3) = −
26
Tak policzony wyraz korekcyjny dodany do prawej strony równania róŜnicowego na brzegu,
uzupełniony o pozostałe równania zapewni w efekcie ścisłość rozwiązania dla czwartego
rzędu aproksymacji w całym obszarze i na jego brzegu.
PODPARCIE SWOBODNE
Sformułowanie problemu
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
x ∈ (0, L)
w(0) = 0 w' ' (0) = 0
Dyskretyzacja warunków brzegowych
w0 = 0
w"0 = 0
w"0 =
w f − 2 w0 + w1
h2
→ w f = − w1
W przypadku podpory swobodnej fragment belki wraz z jej obciąŜeniem od węzła
brzegowego (0) do pierwszego węzła w obszarze przedłuŜyć moŜna antysymetrycznie ze
względu na wstępną dyskretyzację drugiej pochodnej na brzegu. Zerowanie się momentu
zginającego na podporze (tzw. warunek brzegowy statyczny) moŜna bowiem potraktować
jako dodatkowy warunek na brzegu obszaru mimo, iŜ równanie róŜniczkowe w obszarze jest
27
rzędu pierwszego. Jest to dopuszczalne w przypadku, gdy konieczne jest wprowadzenie
węzłów fikcyjnych poza obszarem w celu podniesienia ogólnej liczby węzłów do generacji
równań róŜnicowych.
Operator róŜnicowy brzegowy :
1
1
1 4 IV

w0 − hw0I + h 2 w0II − h 3 w0III +
h w0 + R f

2
6
24
1 
Gw0 = 2 
− 2 w0
h 
1 2 II 1 3 III 1 4 IV
I
h ( w0 + J 0( 4) ) + R1
w0 + hw0 + h w0 + h w0 +
2
6
24

1 2 IV 1 2 ( 4)
h w0 + h J 0 = f 0 + ∆ 0
12
24
2q
f0 = 0
J 0( 4 ) =
w0IV = 0
EJ
1
1
1 qh 2
∆ 0 = h 2 w0IV + h 2 J 0( 4) =
12
24
12 EJ
Gw0 = w0II +
Tym razem przy korekcie operatora róŜnicowego na brzegu uwzględnia się w członie
korekcyjnym
niezerową
wartość
skoku
obciąŜenia
ciągłego,
powstałego
przez
antysymetryczny rozkład obciąŜenia na rozwaŜanym fragmencie belki.
Nowa dyskretyzacja warunku brzegowego w podparciu swobodnym wygląda następująco :
Gw0 = f 0 + ∆ 0
→
w f − 2 w0 + w1
h2
=
1 qh 2
12 EJ
„stara” dyskretyzacja ( D0 = 0 )
w f = − w1
„nowa” dyskretyzacja ( D0 ≠ 0 )
1 qh 4
w f = − w1 +
12 EJ
Łatwo zauwaŜyć, iŜ początkowa antysymetria, wynikająca ze starej dyskretyzacji (czyli
niskiego rzędu) uległa korekcie, i fikcyjne ugięcie w węźle (f) jest nieco mniejsze niŜ jego
odpowiednik po stronie rzeczywistej belki – w węźle (1) – wszystko w ramach ścisłości dla
czwartego rzędu aproksymacji wielomianowej.
PowyŜsze rozwaŜania moŜna wykorzystać w dziedzinie statyki belek spręŜystych oraz w
innych prostych problemach brzegowych. W bardziej złoŜonych zadaniach naleŜy opracować
osobny schemat podejścia wyŜszego rzędu dla operatorów brzegowych. Stanowi to tematykę
28
linia przerywana – pełna antysymetria
linia ciągła – antysymetria + korekta
następnego
rozdziału,
natomiast
wykorzystanie
całego
aparatu
obliczeniowego
uwzględniającego skoki przedstawia rozdział 6.
Na sam koniec jeszcze jeden przykład : wykorzystanie algorytmu dla podparcia swobodnego
dla belki z przykładu 2.1. Tam nie udało się uzyskać „najlepszego”, ścisłego wyniku przy
zastosowaniu operatora wyŜszego rzędu. Teraz moŜna juŜ skutecznie poprawić operator
róŜnicowy na drugą pochodną postawiony w węźle brzegowym.
Przykład 4.3
Przypomnienie sformułowania problemu zadania z przykładu 2.1 :
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
L ( x) =
M ( x) =
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
1
qx(2l − x) w(0) = 0 w(2l ) = 0
2
Operator róŜnicowy pięciowęzłowy miał następującą postać :
L( H ) wi =
1
(− wi − 2 + 16 wi −1 − 30 wi + 16 wi +1 − wi + 2 )
12h 2
warunek brzegowy :
w f = − w1 +
1 ql 4
12 EJ
f = (f1 ,f2)
(*)
kolokacja w węźle środkowym belki (2) :
L( H ) w1 = f1 →
− 2 w f − 30 w1
12l 2
=−
1 ql 2
2 EJ
→ − 28w1 = −
35 ql 4
6 EJ
Ostateczne rozwiązanie po podstawieniu do powyŜszego wyraŜenia za wf związku (*) :
w 1(H) =
5 ql4
24 EJ
okazuje się być w końcu zgodne z wynikiem analitycznym.
29
ROZDZIAŁ 5 :
DYSKRETYZACJA WARUNKÓW BRZEGOWYCH
W rozdziale będzie mowa o osobnym schemacie postępowania w przypadku, gdy
konieczne jest wymuszenie odpowiedniego rzędu aproksymacji wielomianowej na brzegu
obszaru . Jak dotąd pokazano postępowanie dla operatorów róŜnicowych w obszarze, gdy ich
korekta sprowadzała się do obliczenia członu korekcyjnego. Wyraz ów mógł składać się z
pochodnych wyŜszego rzędu oraz z wartości skoku poszczególnych pochodnych niewiadomej
funkcji. Dla operatorów centralnych, symetrycznych korekta nie była zwykle zbyt uciąŜliwa
do obliczania.
Układanie oraz poprawianie operatorów róŜnicowych na brzegu równieŜ jest moŜliwe
i w zasadzie konieczne, z tym zastrzeŜeniem, iŜ cechuje je o wiele mniejsza dokładność niŜ w
przypadku operatorów z wnętrza obszaru. Proponowane podejście aproksymacji wyŜszego
rzędu operatorów brzegowych pokazuje jak robić to w sposób najbardziej racjonalny, aby ich
korekta nie była zbyt uciąŜliwa do wykonania a zarazem wykorzystywała algorytmy
zaprezentowane w poprzednich rozdziałach. Podejście po raz pierwszy zaproponowano w [2].
W MRS moŜliwe sposoby dyskretyzacji operatora róŜniczkowego na brzegu to :
•
dyskretyzacja jedynie za pomocą samej wartości funkcji we wnętrzu obszaru – sposób
najprostszy ale najbardziej prymitywny, gdyŜ operatory róŜnicowe tak zbudowane są
na ogół mało dokładne,
•
dyskretyzacja za pomocą operatora róŜnicowego bazującego, podobnie jak w MES, na
róŜnych stopniach swobody w węzłach – oprócz samych wartości funkcji takŜe na
pochodnych kierunkowych, np. normalnych do brzegu, wartościach rozmaitych
operatorów róŜnicowych etc.,
•
dyskretyzacja za pomocą operatorów róŜnicowych bazujących na sztucznie
wprowadzonych, fikcyjnych węzłach poza obszarem w celu uzyskania jak największej
dokładności dyskretyzacji brzegowej (porównywalnej z tą w obszarze) – sposób
najlepszy, ale tylko w niektórych typach zadań; w zadaniach stateczności i dynamiki
nie polecany (więcej węzłów podnosi tzw. masę układu),
•
aproksymacja wyŜszego rzędu na brzegu obszaru – bazująca na korekcie dowolnego
zastosowanego wcześniej operatora róŜnicowego brzegowego, tak aby był on ścisły
30
dla załoŜonego rzędu aproksymacji wewnątrz obszaru, oraz aby wynik ostateczny był
niezaleŜny od jakości operatora róŜnicowego zastosowanego na brzegu obszaru.
Pierwsze trzy klasyczne sposoby zostaną ze sobą skonfrontowane na wstępnym przykładzie
zadania ugięcia belki wspornikowej.
Przykład 5.1
0
2
1
l
l
Belka wspornikowa o długości 2l jest obciąŜona siłą skupioną przyłoŜoną na końcu
wspornika. Na belce załoŜono trzy węzły. NaleŜy zadanie rozwiązać stosując trzy rodzaje
dyskretyzacji operatora róŜniczkowego na brzegu.
L ( x) =
M ( x) =
d 2w
= f ( x)
dx 2
f ( x) = −
( x − 2l )
w(0) = 0
P
EJ
M ( x)
EJ
dla 0 ≤ x ≤ 2l
w' (0) = 0
operator róŜniczkowy na brzegu :
G ( x) =
d
w( x)
dx
dla
x=0
ścisłe rozwiązanie analityczne dla ugięć we węzłach :
3
~ = 5 Pl
w
1
6 EJ
3
~ = 8 Pl
w
2
3 EJ
31
sposoby na uwzględnienie warunku brzegowego w’(0) = 0 (wraz z pozostałymi równaniami
róŜnicowymi, rozwiązaniem niskiego rzędu i poziomem błędu względnego w węzłach) :
•
operator róŜnicowy wprzód (na pierwszą pochodną) – najmniej dokładny! :
w1 − w0

'
≈
=
= 0 ⇒ w1 = w 0 = 0
w
Gw
0
0

l

3
w1'' ≈ w0 − 2 w1 + w2 = f1 = P l ⇒ w 2 = Pl

EJ
l2
EJ
~
w1 − w
1
= 1.0
~
w1
~
w −w
ε 2 = 2 ~ 2 = 0.625
w
ε1 =
2
•
operator zbudowany na róŜnych stopniach swobody w węźle brzegowym ( w, wI ) :
wiII ≈ −
2
2
2
wi − wiI + 2 wi +1
2
h
h
h
2
2 I 2
Pl
 II
 w0 ≈ − l 2 w0 − l w0 + l 2 w1 = f 0 = 2 EJ

w − 2 w1 + w2
Pl

w1II ≈ 0
= f1 =
2

l
EJ

Pl3
 w 1 =
EJ

3
w 2 = 3 Pl
EJ

•
ε1 = 0.2
ε 2 = 0.125
wprowadzenie węzła fikcyjnego (f) i iloraz centralny na brzegu :
w0I ≈
w1 − w f
2l
= 0 ⇒ w f = w1
 II w f − 2 w0 + w1
Pl
= f0 = 2
 w0 ≈
2
l
EJ

 wII ≈ w0 − 2 w1 + w2 = f = Pl
1
 1
l2
EJ

Pl3
w
=
 1
EJ

3
w 2 = 3 Pl

EJ
ε1 = 0.2
ε 2 = 0.125
32
Analizując wyniki moŜna łatwo stwierdzić, iŜ pierwsza dyskretyzacja z uŜyciem mało
dokładnego operatora róŜnicowego wprzód na pierwszą pochodną (interpolacja liniowa) dała
niemalŜe absurdalne wyniki w postaci zerowego ugięcia w węźle (1) . Pozostałe sposoby są
o wiele lepsze, wyniki są identyczne z powodu zastosowania kwadratowej interpolacji przy
brzegu. Nie są one jednak ścisłe, tzn. pominięto niezerowe człony wyŜszego rzędu. Ich
uwzględnienie będzie moŜliwe dzięki opracowaniu ogólnego algorytmu korekty dowolnego
zastosowanego operatora róŜnicowego na brzegu obszaru.
SFORMUŁOWANIE DYSKRETYZACJI WARUNKÓW BRZEGOWYCH DLA
APROKSYMACJI WYśSZEGO RZĘDU
RozwaŜany problem brzegowy :
Lu = f
w Ω
Gu = g
na ∂Ω
L – operator róŜniczkowy wewnątrz obszaru (rzędu n-tego)
G – operator róŜniczkowy brzegowy
Procedura rozwiązania problemu wygląda następująco :
•
dyskretyzacja warunku brzegowego niskiego rzędu Gu 0 (dowolny sposób) :
Gu 0 ≈ Gu 0
•
rozwinięcie operatora róŜnicowego Gu 0 w szereg Taylora w węzłach brzegowych :
Gu 0 = g 0 + ∆ 0 [u 0 , u ' 0 ,..., u 0( n ) , u 0( n +1) ,..., u 0( 2 n ) ]
•
eliminacja pochodnych niskiego rzędu na brzegu u 0 , u ' 0 ,..., u 0( n ) przez uŜycie :
o warunku brzegowego : Gu 0 = g 0
o równania róŜniczkowego (rzędu n-tego) w obszarze Lu 0 = f 0 ,
•
zastąpienie pochodnych wyŜszego rzędu na brzegu u 0( n +1) ,..., u 0( 2 n ) przez pochodne w
węźle wewnątrz obszaru (rozwinięcie w szereg) , np. :
u 0III = u1III − h u1IV
•
u 0IV = u1IV
obliczenie pochodnych wyŜszego rzędu wewnątrz obszaru :
o składanie operatorów (kompozycja formuł róŜnicowych),
o inne techniki (róŜniczkowanie równania w obszarze, multipoint).
33
W szczególności moŜna podać sposób na aproksymację wyŜszego rzędu na brzegu dla
przypadku jednowymiarowego (1D) oraz dwuwymiarowego (2D) – patrz rozdział 9.
ZałoŜono dla skupienia uwagi konkretne postacie operatorów róŜniczkowych : pełny drugi
rząd w obszarze oraz pełny pierwszy na brzegu.
DYSKRETYZACJA WARUNKÓW BRZEGOWYCH – PRZYPADEK 1D
węzeł brzegowy
0
1
2
h
h
Dany jest problem brzegowy 1D :
Lu ( x) = f ( x) dla x ∈ Ω
Ω = (0, L)
Gu ( x) = g ( x) dla x ∈ ∂Ω
Niech :
Lu0 = au0 + bu + cu = f 0
I
0
G u0 = α u 0 + β u = g 0
I
0
II
0
dla x ∈ ∂Ω

⇒

u0I =
u0II =
g 0 −α u0
β
f 0 − au0 − bu0I
c
Z zapisania równania róŜniczkowania w obszarze i na brzegu moŜna wyznaczyć wartości
pochodnych niskiego rzędu w węźle brzegowym. PosłuŜą one później do obliczania wartości
poprawki operatora.
Dyskretyzacja róŜnicowa warunków brzegowych (niskiego rzędu) :
34
Gu 0 = αu 0 + β
u1 − u0
h
Rozwinięcie operatora róŜnicowego w szereg Taylora :
1
1
1
Gu0 = α u0 + β u0I + β ( u0II h + u0III h 2 + u0IV h3 ) + R = g 0 + ∆ 0
2
6
24
Po eliminacji wartości pochodnych niskich rzędów ( u I , u II ) pozostaje obliczyć wartości
pochodnych wyŜszych rzędów ( u III , u IV ). Pierwszy etap to sprowadzenie pochodnych
brzegowych do pochodnych w obszarze a następnie ich obliczenie znanymi juŜ sposobami.
rozwinięcie w szereg względem węzła (1) – najbliŜszego z obszaru :
u0III = u1III − hu1IV ,
u0IV = u1IV
Ostateczna postać członu korekcyjnego to :
∆(u0II , u0III , u0IV ) = ∆(u0 , g , f , u1III , u1IV )
Największą zaletą proponowanego sposobu aproksymacji jest przeniesienie cięŜaru
składania operatorów z brzegu do wnętrza obszaru, gdzie zazwyczaj dysponuje się bardzo
dokładnymi centralnymi, czasem równieŜ symetrycznymi operatorami róŜnicowymi, a ich
wartości mogą być znane z pierwszego etapu zadania, czyli z rozwiązania niskiego rzędu.
Podobny tok rozumowania moŜna przeprowadzić w 2D, choć tam liczba potrzebnych do
obliczenia pochodnych cząstkowych wzrasta niewspółmiernie...
Przykład 5.2
Zadanie z poprzedniego przykładu zostanie powtórnie rozwiązane w trzech wariantach, ale
teraz z uŜyciem technik wyŜszego rzędu.
•
operator wprzód (interpolacja liniowa) :
rozwiązanie I etapu :
w1 − w0
 '
= 0 ⇒ w 1(L) = w 0 = 0
 w0 ≈ Gw0 =
l

w
−
2
w
+
w
Pl
Pl3
(L)
1
2
w1'' ≈ 0
=
=
⇒
=
f
w
1
2

l2
EJ
EJ
korekta operatora (rozwinięcie w szereg / człon korekcyjny) :
w0 = w0
1
1
1
w1 = w0 + l w0' + l 2 w0'' + l 3 w0''' + l 4 w0IV
2
6
24
35
1
1
1
Gw0 = w0' + l w0'' + l 2 w0''' + l 3 w0IV = w0' + ∆ 0
2
6
24
przy obliczaniu członu korekcyjnego posłuŜono się : równaniem brzegowym ( wI )
oraz równaniem z obszaru zapisanym na brzegu ( wII ), natomiast w III , w IV naleŜy
najpierw „przenieść” do pierwszego węzła w obszarze, a potem złoŜyć z wartości
drugich pochodnych :
1
1
1
∆ 0 = l w0II + l 2 w0III + l 3 w0IV
2
6
24
w0III = w1III − l w1IV
w0I = g 0 = 0 w0II = f 0 = 2
Pl
EJ
w0IV = w1IV
Pl
w2II − w0II 0 − 2 EJ
P
=
=−
2l
2l
EJ
II
II
II
Pl
Pl
2 EJ
− 2 EJ
+0
w − 2 w1 + w2
w1IV = ( w1II ) II = 0
=
=0
2
2
l
l
5 Pl 2
Pl 2 1 2
P
∆0 =
+ l (−
)−0 =
6 EJ
EJ 6
EJ
w1III = ( w1I ) II =
Człon korekcyjny dla operatora róŜnicowego z obszaru - kolokacja w węźle (1) –
został obliczony zgodnie z wcześniejszymi zasadami :
∆1 =
1 2 IV 1 II
1
Pl
Pl
−2
+ 0) = 0
l w1 = ( w0 − 2 w1II + w2II ) = (2
12
12
12 EJ
EJ
rozwiązanie II etapu :
w1 − w0

I
= f0 + ∆0
 w0 ≈
l

 wII ≈ w0 − 2 w1 + w2 = f + ∆
1
1
 1
l2
Zapewniono ten sam, czwarty rząd aproksymacji na brzegu i w obszarze. PoniewaŜ
rozwiązanie analityczne opisuje wielomian rzędu trzeciego, otrzymany wynik
dyskretny jest wynikiem ścisłym :
 w1 − w0
5 Pl3
5 Pl 2
(H)
=
+
⇒
w
0
=
1

l
6 EJ
6 EJ

8 Pl3
 w0 − 2 w1 + w2 = Pl + 0 ⇒ w (H)
2 =

l2
EJ
3 EJ
•
operator zbudowany na róŜnych stopniach swobody (interpolacja parabolą) :
wiII ≈ −
2
2
2
wi − wiI + 2 wi +1
2
h
h
h
36
2
2 I 2
Pl
 II
 w0 ≈ − l 2 w0 − l w0 + l 2 w1 = f 0 = 2 EJ

w − 2 w1 + w2
Pl

w1II ≈ 0
= f1 =
2
l
EJ

 (L) Pl3
 w 1 = EJ

3
 w (L) = 3 Pl
 2
EJ
korekta operatora :

w0 = w0


w0I = w0I


1 2 II 1 3 III 1 4 IV
I
w1 = w0 + l w0 + 2 l w0 + 6 l w0 + 24 l w0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1
1
Lw0 = w0II + l w0III + l 2 w0IV = f 0 + ∆ 0
3
12
Pochodne wyŜszego rzędu obliczane są identycznie jak w pierwszym przypadku.
2
2 I 2
 II
 w0 ≈ − l 2 w0 − l w0 + l 2 w1 = f 0 + ∆ 0

w − 2 w1 + w2

w1II ≈ 0
= f1 + ∆1

l2
f0 = 2
Pl
,
EJ
f1 =
Pl
EJ
∆0 = −
1 Pl
3 EJ
∆1 = 0
5 Pl
 2
 l 2 w1 = 3 EJ
 − 2w + w
Pl
1
2

=
2
l
EJ

Ostateczne rozwiązanie :
 (H) 5 Pl3
w 1 =
6 EJ

8 Pl3
 w (H)
=
2
3 EJ

•
węzeł fikcyjny + operator centralny (interpolacja parabolą) :
operator róŜnicowy na brzegu :
Gw0 =
w1 − w f
2l
operatory róŜnicowe w obszarze :
37
w f − 2w0 + w1

 Lw0 =
l2

 Lw1 = w0 − 2w2 1 + w2

l
dyskretyzacja niskiego rzędu warunku brzegowego :
w0I ≈
w1 − w f
2l
= 0 ⇒ w f = w1
 II w f − 2 w0 + w1
Pl
= f0 = 2
 w0 ≈
2
l
EJ

w
w
w
−
2
+
Pl
1
2
 wII ≈ 0
= f1 =
2
 1
l
EJ
 (L) Pl3
 w 1 =
EJ

Pl3
w (L)
=
3
 2
EJ
korekta operatora róŜnicowego brzegowego :
1 2 II 1 3 III 1 4 IV

I
w0 + l w0 + 2 l w0 + 6 l w0 + 24 l w0
w1 − w f 
=
0
Gw0 =
2l
 w − l w I + 1 l 2 w II − 1 l 3 w III + 1 l 4 w IV
0
0
0
0
 0
2
6
24

1
Gw0 = w0I + l 2 w0III = g 0 + ∆ 0
6
g0 = 0
1
∆ 0 = l 2 w0III
6
w0III = w1III − l w1IV , w0IV = w1IV
 III
w2II − w0II
P
I II
=−
 w1 = ( w1 ) =
2l
EJ

II
II
II
w
−
2
w
+
w
1
2
w1IV = ( w1II ) II = 0
=0

l2
P
w0III = −
, w0IV = 0
EJ
1 Pl 2
∆0 = −
6 EJ
PowyŜej powtórzono wszystkie rachunki mające na celu obliczenie poprawki dla
operatora brzegowego.
38
korekta operatorów róŜnicowych z obszaru :
Lw0 =
w f − 2 w0 + w1
l
2
= f 0 + ∆'0
1 2 IV
l w0 = 0
12
Pl
Lw0 = 2
EJ
∆'0 =
w0 − 2 w1 + w2
= f1 + ∆1
l2
1
∆ 1 = l 2 w1IV = 0
12
Pl
Lw1 =
EJ
Lw1 =
Ostateczny układ równań to zestaw trzech równań róŜnicowych : jedno równanie dla
operatora brzegowego i dwa dla operatorów z obszaru.
Gw0 = g 0 + ∆ 0

'
 Lw0 = f 0 + ∆ 0
 Lw = f + ∆
1
1
 1
 w1 − w f
1 Pl 2
=
−

 w −22l w + w 6 EJ
Pl
 f
0
1
=2

2
l
EJ

w
−
w
+
w
Pl
2
1
2
 0
=2
2

l
EJ

1 Pl 3
w
w
=
+
(*)
1
 f
3
EJ

Pl 3

 w f + w1 = 2
EJ

3
 − 2 w + w = Pl
1
2

EJ
 (H) 5 Pl3
w 1 =
6 EJ

8 Pl3
 w (H)
=
 2
3 EJ
Najciekawszy wydaje się być związek (*) pokazujący „nową” zaleŜność między
ugięciem węzła (1) a jego fikcyjnym odpowiednikiem (f). Absolutna równość między
nimi (a więc i symetria) wynikały tylko z dyskretyzacji niskiego rzędu. Po
uwzględnieniu wyrazów wyŜszego rzędu równość oraz symetria zostały zaburzone.
Teraz wartość fikcyjnego ugięcia będzie się znacznie róŜnić, w zaleŜności od wartości
trzeciej pochodnej na brzegu. Ogólnie moŜna ten fakt zapisać i zilustrować rysunkiem
39
1
w f = w1 − l 3 w0III
3
l
l
0
1
W1
(H)
Wf
(L)
Wf
"f"
linia przerywana - pełna symetria (niski rząd dyskretyzacji - II)
linia ciągła – symetria + korekta (wyŜszy rząd dyskretyzacji - IV)
ROZDZIAŁ 6 :
TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA STATYKI BELEK SPRĘśYSTYCH
Rozdział jest próbą uogólnienia rozwaŜań zawartych w poprzednich rozdziałach dla
dowolnych zadań z dziedziny podstawowych zagadnień dotyczących belek spręŜystych [7].
Przedstawione algorytmy słuŜą do otrzymywania rozwiązań (np. ugięć belek) ścisłych w
ramach załoŜonego czwartego stopnia aproksymacji wielomianowej jakiej podlega linia
ugięcia belki. Zadania moŜna podzielić na kilka grup :
•
Zadania statyki belek : w przypadku obciąŜenia belek co najwyŜej obciąŜeniem
stałym (lub w przypadku symetrii operatora róŜnicowego obciąŜeniem liniowo
zmiennym) moŜliwe jest otrzymywanie wyników dyskretnych pokrywających się z
rozwiązaniem analitycznym (równieŜ wielomianowym); dzieje się tak wtedy i tylko
wtedy gdy zostaną uwzględnione wszystkie czynniki wpływające na postać linii
ugięcia belki : oprócz rodzaju obciąŜenia takŜe nieciągłości w kolejnych pochodnych
funkcji ugięcia oraz postacie warunków brzegowych (tzn. swobodne podparcie lub
utwierdzenie). W dziedzinie belek spręŜystych warto wyróŜnić :
40
o belki statycznie wyznaczalne : równania statyki pozwalają jednoznacznie
wyznaczyć rozkład sił przekrojowych, niewiadomymi są tylko ugięcia
węzłowe,
o belki statycznie niewyznaczalne : duŜa liczba reakcji podpór powoduje, iŜ
równieŜ prawa strona równań róŜnicowych zawiera w sobie niewiadome (ich
liczba to stopień statycznej niewyznaczalności układu), końcowy układ równań
algebraicznych oprócz ugięć węzłowych zawiera więc teŜ reakcje więzów,
o belki przegubowe (gerberowskie) : kaŜdy przegub determinuje dodatkową
niewiadomą w układzie równań jaką jest nieciągłość kąta ugięcia w węźle z
przegubem.
Ze względu na typ warunków brzegowych moŜna wyróŜnić :
o belki swobodnie podparte : dyskretyzacja warunków brzegowych na ogół nie
przysparza trudności, dodatkowy statyczny warunek brzegowy (zerujący się
moment zginający w podporze) moŜna wykorzystać przy wprowadzeniu
dodatkowych węzłów poza obszarem dokonując wstępnej antysymetryzacji
fragmentu belki; potem naleŜy skorygować operator róŜnicowy brzegowy przy
uŜyciu techniki wliczania skoków do członu korekcyjnego,
o belki utwierdzone (wsporniki) : warunek brzegowy - zerujący się kąt ugięcia
we wsporniku (pierwsza pochodna ugięcia) - musi być zdyskretyzowany
niezaleŜnie od operatorów róŜnicowych w obszarze; jest kilka moŜliwości z
uŜyciem kilku typów aproksymacji przy brzegu, moŜna teŜ przedłuŜyć
fragment belki przy wsporniku symetrycznie wprowadzając węzeł fikcyjny a
następnie skorygować operator róŜnicowy z obszaru postawiony na brzegu
przy wykorzystaniu teorii dotyczącej skoków.
•
Zadania stateczności i dynamiki belek : chociaŜ aproksymowane jest pole
przemieszczeń (linia ugięcia belki), to wielkościami szukanymi najczęściej są
odpowiednio : siła krytyczna i częstość drgań (własnych bądź wymuszonych). Ugięcia
ścisłe belek w tych typach zadań, o ile w ogóle istnieją, opisane są najczęściej za
pomocą kombinacji funkcji trygonometrycznych, tak więc uzyskanie rezultatu
ścisłego przy pomocy MRS jest niemoŜliwe, ale uwzględnienie jak największej liczby
czynników (skoki, warunki brzegowe) w członie korekcyjnym moŜe spowodować
zbliŜenie się do wartości analitycznych z Ŝądaną dokładnością w ramach czwartego
rzędu aproksymacji linii ugięcia belki.
41
Warto teŜ nadmienić, iŜ w przypadku zadań w dziedziny statyki belek węzły jest sens
generować jedynie w miejscach „newralgicznych”, tj. na podporach, w przegubach, w
miejscach przyłoŜenia obciąŜeń skupionych itp. Dalsze zwiększanie liczby węzłów na ogół
nie ma Ŝadnego sensu, o ile juŜ przy pierwszej, najrzadszej dyskretyzacji obszaru otrzymano
wynik
ścisły.
Natomiast
ilość
węzłów
w
przypadku
drugiego
typu
zadań
(stateczność/dynamika) będzie miała kluczowe znaczenie przy ustalaniu jakości końcowego
wyniku.
Przy próbie ogólnego sformułowania zadania wykorzystano podejście Clebscha. Polega ono
na dodawaniu kolejnych członów do równań sił przekrojowych wzdłuŜ osi belki. Symbol „+”
na dole przy nawiasie oznacza, iŜ przyrost danej wielkości rozpoczyna się dopiero od miejsca
określonego przez argument, natomiast wcześniej miała ona wartość 0.
OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MRS WYśSZEGO RZĘDU DLA BELEK
L ( x) =
d 2w
= f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
dla 0 ≤ x ≤ l
+ warunki brzegowe : w(0) = 0, ..., w(L) = 0; w’(0) = 0, ..., w’(L) = 0.
42
Na belce o długości L wprowadzono n+1 węzłów, w kaŜdym z nich moŜliwy jest przyrost,
zmiana bądź punkt przyłoŜenia obciąŜenia. ZałoŜono równieŜ dowolną krotność statycznej
niewyznaczalności oraz dowolną liczbę przegubów, ale przy umowie, iŜ belka jest
geometrycznie niezmienna. Siatka węzłów jest regularna, o rozstawie h; wielkość rozstawu
determinuje najmniejsza odległość między punktami na belce z obciąŜeniem, podporą bądź
przegubem.
Rozkład sił przekrojowych w dowolnym, i-tym węźle przedstawiają równania :
n −1
n −1
n −1
n
h
M i = − M 0 + ∑ R j ( xi − x j ) + −∑ Pj ( xi − x j ) + − ∑ M j H ( xi − x j ) − ∑ q j −1h [( xi − x j ) + + ] − M n
2
j =0
j =0
j =0
j =1
n −1
n −1
n
j =0
j =0
j =1
Qi = ∑ R j H ( xi − x j ) −∑ Pj H ( xi − x j ) − ∑ q j −1h H ( xi − x j )
n
qi = ∑ q j −1 H ( xi − x j )
j =1
n −1
∆α = ∑ ∆α j
j =1
gdzie :
H – funkcja Heaviside’a
 x − a dla x > a
( x − a) + = 
 0 dla x ≤ a
Sformułowanie uzupełnione jest równaniami statyki :
n
n
n
∑ Y = −∑ R + ∑ P + ∑ q
i
j =0
∑M
(0)
j =0
i
j =1
j −1
h=0
n
n
n
n
h
= M 0 + ∑ R j x j − ∑ Pj x j + ∑ q j −1 h ( x j − ) + ∑ M j +M n = 0
2 j =0
j =1
j =0
j =1
+ równania na przegub ( prawa lub lewa strona) : ( k = węzły przegubowe )
∑M
( l ),( p )
(k )
=0
1 etap : rozwiązanie klasyczne (rozwiązanie niskiego rzędu w(L))
Lwi = f i
,
i = 0 ... n
→
wi( L )
2 etap : rozwiązanie wyŜszego rzędu w(H)
Lwi = f i + ∆ i
,
i = 0 ... n
→
wi( H )
43
∆i =
∆α i 1 ( 2) 1
1
q
1
+ J i + h J i( 3) + h 2 i + h 2 J i( 4)
h
2
6
12 EJ 24
gdzie :
J (1) = ∆α
M
J ( 2) = i
EJ
Q
J ( 3) = i
EJ
q
J ( 4) = i
EJ
skok kąta ugięcia – dodatkowa niewiadoma
skok momentu zginającego – znana wartość
skok siły poprzecznej – znana wartość
skok obciąŜenia ciągłego – znana wartość
W dalszej kolejności zostaną przedstawione przykłady ilustrujące praktyczne
stosowanie powyŜszych algorytmów. Pierwszy przykład dotyczy utwierdzonej belki
przegubowej, z jednym przegubem, na razie jeszcze statycznie wyznaczalnej. W tym
przykładzie pokazano szczegółowo całą procedurę korekty operatorów róŜnicowych, łącznie
z pełnymi rozwinięciami w szereg Taylora; w przykładach późniejszych tę część pominięto,
skupiając się na końcowej postaci członów korekcyjnych.
Przykład 6.1
Belka wspornikowa przegubowa statycznie wyznaczalna.
L ( x) =
d 2w
= f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
dla 0 ≤ x ≤ 2l
gdzie :
44
M ( x) =
 1
− q ( x + l ) 2 , 0 ≤ x ≤ l
 2

0 , l < x ≤ 2l
w(0) = w(2l ) = 0 w' (0) = 0
•
warunki brzegowe
w0 = 0 w2 = 0 w'0 = 0 ⇒ w f = w1
•
operator
Lwi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi +1 )
l2
rozwiązanie klasyczne MRS (niskiego rzędu) :
Lw0 = f 0
1
1 ql 2
1 ql 4
(L)
( w f − 2 w0 + w1 ) =
→ w1 =
l2
2 EJ
4 EJ
rozwinięcie operatorów róŜnicowych w szereg Taylora w węzłach (0) i (1) :
1
1
1

w0 − lw0I + l 2 w0II − l 3 w0III + l 4 w0IV + R f

2
6
24
1
Lw0 = 2 
− 2 w0
l 
1 2 II 1 3 III
1 4 IV
I
( 3)
w0 + lw0 + l w0 + l ( w0 + J 0 ) + l w0 + R1
2
6
24

(*)
i dalej :
1
1
Lw0 = w0II + l J 0(3) + l 2 w0IV = f 0 + ∆ 0
6
12
gdzie :
J 0( 3) = −2
ql
EJ
w0IV =
q
EJ
1
1
1 ql 2
∆ 0 = l J 0(3) + l 2 w0IV = −
6
12
4 EJ
Łatwo zauwaŜyć, iŜ przy korekcie operatora uŜyto sposobu ze symetrycznym przedłuŜeniem
fragmentu przy wsporniku („od węzła do węzła”) opisanego w rozdziale 5.
1
1
1

w1 − lw1I + l 2 w1II − l 3 w1III + l 4 w1IV + R0

2
6
24
1
− 2 w1
Lw1 = 2 
l 
1 2 II 1 3 III 1 4 IV
I
(1)
( 4)
w1 + l ( w1 + J1 ) + l w1 + l w1 + l ( w1 + J1 ) + R2
2
6
24

(**)
co daje :
Lw1 =
J1(1)
1
1
+ w1II + l 2 w1IV + l 2 J1( 4) = f1 + ∆1
l
12
24
gdzie :
J
(1)
1
= ∆α
IV
1
w
=0 J
(4)
1
q
=
EJ
1
1 ql 2
∆1 = ∆α +
l
24 EJ
W powyŜszym rozwinięciu operatora róŜnicowego zapisano kompletne rozwinięcie wartości
w2 względem węzła (1) aŜ do wyrazu czwartego rzędu włącznie mimo, iŜ ze wstępnej analizy
45
statycznej konstrukcji wynika, iŜ część belki po stronie prawej przegubu zachowuje się jak
mechanizm – wykonuje ruch sztywny (przesunięcie, obrót) ze względu na fakt zerowania się
momentu zginającego. Pozwala to uprościć rozwinięcie w szereg na prawo od węzła (1) :
w2 = w1 + l ( w1I + J1(1) ) + 0
Oczywiście wynik końcowy będzie identyczny. Warto zwrócić jednak uwagę na fakt, iŜ gdy
znana jest a’priori postać (wtedy zazwyczaj wielomianowa) rozwiązania moŜna to
wykorzystać przy rozwinięciu w szereg – znacznie uprości to obliczenia.
Końcowy układ równań przybiera więc postać :
(*)  Lw0 = f 0 + ∆ 0

(**)  Lw1 = f1 + ∆1
Obydwie wartości to wyniki ścisłe. Tylko bowiem przy ścisłej analitycznej wartości zmiany
kąta w przegubie moŜliwe jest uzyskanie ścisłej wartości ugięcia.
 2 w1 1 ql 2 1 ql 2
=
−
 l 2
2 EJ 4 EJ

2
− 2 w1 = 1 ∆α + 1 ql
 l 2
l
24 EJ

2 w1 1 ql 2
=

4 EJ
l2

2
2
1
w
− 1 − ∆α = 1 ql
 l 2 l
24 EJ
 (H) 1 ql 4
 w 1 =
8 EJ

3
∆α = − 7 ql

24 EJ
46
Przykład 6.2
Przykład prawie identyczny jak wyŜej. Zamiast obciąŜenia ciągłego na belce jest siła
skupiona.
Sformułowanie problemu :
d2
M ( x)
w( x) = f ( x) f ( x) = −
2
dx
EJ
w(0) = 0 w' (0) = 0 w(2l ) = 0
Równania statyki :
 ∑ Y = − R0 + P − R2 = 0

∑ M ( 0) = M 0 − P l + 2 R2 l = 0

∑ M ((1p) ) = P2 l = 0

pozwalają na obliczenie wartości wszystkich reakcji więzów :
 R0 = P

M 0 = Pl
 R =0
 2
równanie momentu zginającego :
M ( x) = − M 0 + R0 x − P ( x − l ) + = P [ x − l − ( x − l ) + ]
 P( x − l ) , x ∈ (0, l 〉
M ( x) = 
 0 , x ∈ (l ,2l )
47
równanie siły poprzecznej :
Q( x) = R0 − P H ( x − l ) = P [1 − H ( x − l )]
 P , x ∈ (0, l )
Q( x) = 
0 , x ∈ (l ,2l )
Na belce brak jest obciąŜenia ciągłego ( q(x) ≡ 0 ), występuje jedna nieciągłość kątowa (∆α1).
Dyskretyzacja róŜnicowa :
w0 = 0 w2 = 0 w' 0 = 0 ⇒ w f = w1
Lwi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi +1 )
l2
Lw0 = f 0
Pl
1 Pl3
1
(L)
w
w
w
w
(
−
2
+
)
=
→
=
f
0
1
1
l2
EJ
2 EJ
Etap II : rozwiązanie wysokiego rzędu :
Lw0 = f 0 + ∆ 0
Lw1 = f1 + ∆1
1
1
P
1 Pl
∆ 0 = l J 0(3) = l (−2
)=−
6
6
EJ
3 EJ
∆1 =
J1(1) 1 ( 3) ∆α 1 Pl
+ l J1 =
+
l
6
l
6 EJ
ostateczne rozwiązanie :
 2 w1 Pl 1 Pl 2 Pl
−
=
 2 =
EJ 3 EJ 3 EJ
 l
 − 2 w1 − ∆α = 1 Pl

l2
l
6 EJ

 (H) 1 Pl3
 w 1 =
3 EJ
→ 
2
∆α = − 5 Pl

6 EJ
48
Przykład 6.3
Belka swobodnie podparta statycznie niewyznaczalna.
d2
w( x) = f ( x)
dx 2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
w(0) = w(2l ) = w(4l ) = 0
Podparcie swobodne wymusza jedynie narzucenie zerowych wartości węzłowych ugięć,
natomiast statyczna niewyznaczalność (jednokrotna) wymaga wprowadzenia dodatkowej
niewiadomej (tu wybrano : wartość reakcji w podporze w węźle (4)). Przy dyskretyzacji
wykorzystano teŜ symetrię zadania.
warunki brzegowe :
warunki symetrii :
niewiadome :
w0 = w2 = w4 = 0
w1 = w3
w1 , R4 = R
Z warunków statyki wynikają związki :
R0 = R
R2 = 4ql − 2 R
a wartości węzłowe momentu zginającego wynoszą :
M0 = M4 = 0
1
l (2 R − ql )
2
M 2 = 2l ( R − q l )
M1 = M 3 =
49
dyskretyzacja operatorów róŜniczkowych :
Lwi =
1
( wi −1 − 2 wi + wi +1 ) , i = 1,2
l2

 Lw1 = f1

 Lw2 = f 2

 − 2 w1 l (ql − 2 R)
 l 2 = 2 EJ
 2 w 2l (ql − R)
 21 =
EJ
 l
 (L) 1 ql4
w 1 =
6 EJ

5
 R = ql

6
człony korekcyjne – poprawki wyŜszego rzędu operatorów :
1 2 q
l
12 EJ
1 l
1
q
1 l
∆2 = −
(4ql − 2 R) + l 2
=
(4 R − 7 ql )
6 EJ
12 EJ 12 EJ
∆1 =
Etap II : rozwiązanie wyŜszego rzędu :

 Lw1 = f1 + ∆1

 Lw2 = f 2 + ∆ 2

 (H) 1 ql4
w 1 =
12 EJ

 R = 3 ql
4

 − 2 w1 l (7 ql − 12 R)
 l2 =
12 EJ
 2 w l (17 ql − 20 R)
1
 2 =
12 EJ
 l
Ponownie otrzymano wyniki ścisłe. Porównując te wartości z wynikiem z etapu pierwszego
moŜna zauwaŜyć lepszą dokładność reakcji w etapie pierwszym niŜ samego ugięcia. Wartość
ugięcia w etapie drugim (czyli wartość ścisła) zmalała dwukrotnie, podczas gdy wartość
reakcji zmieniła się „jedynie” o 11%.
50
Przykład 6.4
NaleŜy rozwiązać przy pomocy MRS wyŜszego rzędu zadanie wyboczenia słupa Eulera.
f
wf
0
1
w0
w1
sformułowanie problemu (stateczność zlinearyzowana) :
d2
M ( x, w)
L ( x) = 2 w( x) = f ( x, w) , f ( x, w) = −
dx
EJ
0≤ x≤l
gdzie :
M ( x, w) = − P ( f − w)
w(0) = 0 w' (0) = 0
wartość ścisła siły krytycznej (siła Eulera) :
PE =
1 π 2EJ
EJ
≈ 2.467 2
2
4 l
l
Etap I : rozwiązanie klasyczną MRS
w1 − w f

= 0 ⇒ w f = w1
w0I ≈ Gw0 =

2l

w − 2 w0 + w1
w − w0
2 P
w0II ≈ f
)=0
=P 1
⇒ w1 ( 2 −
2

l
EJ
l
EJ
⇒ P=2
ε=
EJ
l2
P − PE
× 100 % = 18.9 %
PE
Etap II : rozwiązanie MRS wyŜszego rzędu
1 2 IV
1
l w0 = w0II + ( w IIf − 2 w0II + w1II )
12
12
1
5
5 P( w1 − w0 )
Lw0 = w0II + (0 − 2 w0II + 0) = w0II =
12
6
6
EJ
Lw0 = w0II +
51
w f − 2 w0 + w1
l
w1 (
=
2
5 P
w1
6 EJ
2 5 P
−
)=0
l 2 6 EJ
⇒ P=
12 EJ
EJ
= 2.40 2
2
5 l
l
, ε=
P − PE
× 100 % = 2.70 %
PE
Jak widać, zastosowanie tylko w dziedzinie belek metody MRS wyŜszego rzędu moŜe być
dosyć szerokie, wyniki ostateczne są ścisłe bądź bliskie ścisłym.
ROZDZIAŁ 7 :
PODEJŚCIE MULTIPOINT
Jedną z najprostszych technik wyŜszego rzędu w MRS oraz w BMRS jest technika
polegająca na rozbudowie prawej strony równań róŜnicowych do kombinacji liniowych
znanych wartości funkcji występujących w wyjściowym równaniu róŜniczkowym w obszarze
bądź teŜ na brzegu. Nosi ona nazwę multipoint i jest niezwykle skuteczna w przypadku
prostych operatorów róŜniczkowych. Informacje wprowadzone do prawych stron równań
róŜnicowych podnoszą rząd lokalnej aproksymacji, jako Ŝe stanowią dodatkowe znane stopnie
swobody w węzłach, na których budowany jest operator róŜnicowy. Z tym, Ŝe te nowe stopnie
swobody muszą odpowiadać wprost operatorowi róŜniczkowemu występującemu w obszarze.
Ich eliminacja (zastąpienie wartościami funkcji prawej strony) i przeniesienie na stronę prawą
rozbudowuje równania róŜnicowe do postaci kombinacji liniowej wartości węzłowych (strona
lewa równań róŜnicowych) i wartości funkcji prawej strony (strona prawa równań).
Klasyczna kolokacja róŜnicowa :
Lui ≈ Lui = ∑ α ij u j = f i
j
Klasyczna kolokacja multipoint :
Lui ≈ Lui = ∑ α ij u j = ∑ β ij f j
j
j
Poszukiwanie współczynników stojących po obu stronach równania moŜe być
kłopotliwe, zwłaszcza przy kilku typach operatorów róŜnicowych (w metodzie bezsiatkowej),
zachodzi teŜ konieczność rozwiązywania układu równań tak aby nowy operator był ścisły dla
rzędu aproksymacji 2n. ZałoŜenie liniowości operatora róŜniczkowego w podejściu multipoint
wymuszone jest przez fakt, iŜ musi się dać odseparować od siebie współczynniki liczbowe
52
występujące osobno przy wartościach węzłowych (niewiadome pierwotne) oraz przy
wartościach (znanych) funkcji prawej strony.
Przykład 7.1
0
1
h
2
h
Klasyczny przykład (Collatz, [6]) na wyprowadzenie formuły multipoint dla operatora
róŜnicowego na drugą pochodną zbudowanego na trzech węzłach. ZałoŜono czwarty rząd
interpolacji wielomianowej, dlatego teŜ dołączono dwa dodatkowe stopnie swobody w
węzłach skrajnych, związane z wartością operatora róŜniczkowego w tych węzłach.
wII ( x) = f ( x)
równanie róŜniczkowe w obszarze
wII ≈ Lw1 = a w0 + b w1 + c w2 + d w0II + e w2II
załoŜona postać operatora róŜnicowego
Współczynniki liczbowe a, b, c, d, e zostaną znalezione klasyczną metodą generacji wzorów
róŜnicowych : metodą współczynników nieoznaczonych, bazującą na rozwinięciu kaŜdego
współczynnika funkcyjnego operatora w szereg Taylora wokół węzła centralnego (1) :
1
1
1
w0 = w1 − h w1I + h 2 w1II − h3 w1III + h 4 w1IV + ...
2
6
24
w1 ≡ w1
1
1
1
w2 = w1 + h w1I + h 2 w1II + h3 w1III + h 4 w1IV + ...
2
6
24
1
w0II = w1II − h w1III + h 2 w1IV + ...
2
1
w2II = w1II + h w1III + h 2 w1IV + ...
2
KaŜde z powyŜszych rozwinięć wymagało zatrzymania wyrazów aŜ do czwartego rzędu
włącznie; jest to konsekwencją przyjętego rzędu interpolacji (IV). Pięć nieznanych
współczynników wymaga pięciu niezaleŜnych równań algebraicznych. Tworzy się je
następująco : mnoŜy się kaŜde rozwinięcie przez odpowiadający mu współczynnik, tj.
pierwsze przez a , drugie przez b itd., a następnie dodaje stronami grupując wyrazy stojące
przy odpowiednich pochodnych co prowadzi do poniŜszej relacji :
53
w1II ≈ a w0 + b w1 + c w2 + d w0II + e w2II = w1 (a + b + c) + w1I (− ha + hc) +
1
1
1
1
+ w1II ( h 2 a + h 2 c + d + e) + w1III (− h3 a + h3c − hd + he) +
2
2
6
6
1
1
1
1
+ w1IV ( h 4 a + h 4 c + h 2 d + h 2 e)
24
24
2
2
Aby zachodziła powyŜsza równość, współczynniki stojące przy odpowiednich pochodnych po
stronie lewej (operator róŜniczkowy) i prawej (operator róŜnicowy) muszą być sobie równe.
Zapisanie tych równości prowadzi do ostatecznego układu równań algebraicznych :
a+b+c = 0


− ha + hc = 0


1 2
1
h a + h2 c + d + e = 1

2
2

1
1
 − h3 a + h3c − hd + he = 0

6
6

 1 h4 a + 1 h4c + 1 h2 d + 1 h2e = 0
 24
24
2
2
Po jego rozwiązaniu otrzymuje się wartości współczynników :
6 1
5 h2
12 1
b=−
5 h2
1
d =e=−
10
a=c=
a operator róŜnicowy wygląda następująco :
w1II ≈ Lw1 =
6 1
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) − ( w0II + w2II )
2
5h
10
Kolokację w węźle (1)
w0II = f 0
Lw1 = f1
moŜna rozpisać, podstawiając jednocześnie :
, w2II = f 2 :
6 1
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) − ( f 0 + f 2 ) = f1 ,
2
5h
10
co prowadzi do ostatecznej formuły multipoint dla tego zadania :
1
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) = ( f 0 + 10 f1 + f 2 )
2
h
12
Cechy omówionego powyŜej klasycznego podejścia multipoint są następujące :
•
zapewnienie ścisłości wyniku dla załoŜonego rzędu aproksymacji wielomianowej
(2n),
54
•
rozbudowa prawej strony równań róŜnicowych zamiast modyfikacji macierzy
współczynników wzorów róŜnicowych,
•
efektywność podejścia jedynie dla prostych liniowych operatorów róŜnicowych,
•
konieczność generacji nowych wzorów róŜnicowych bazujących na większej liczbie
stopni swobody (w tym : konieczność rozwiązywania większych układów równań),
•
brak moŜliwości uwzględnienia nieciągłości rozwiązania w postaci skoków.
Proponowane w pracy, nowe podejście typu multipoint opiera się na korekcie wyjściowego
operatora róŜnicowego nie poprzez dokładanie nowych stopni swobody do układu równań (na
poziomie generacji wzorów róŜnicowych), ale poprzez uwzględnienie członów wyŜszego
rzędu tak aby jakość aproksymacji była niezaleŜna od jakości operatora róŜnicowego. Jako
człony wyŜszego rzędu rozumie się oprócz wartości pochodnych takŜe człony wynikające ze
skoków w funkcji lub/i jej pochodnych. Algorytm postępowania pokazany jest poniŜej :
Dany problem brzegowy (1D,2D) :
Lu = f
w Ω
Gu = g
na ∂Ω
L , G – liniowe operatory róŜniczkowe (odpowiednio : w obszarze i na jego brzegu)
Cel : naleŜy zapewnić ścisłość wyniku dla aproksymacji wielomianowej rzędu 2n
do dyskretyzacji liniowych operatorów róŜnicowych
i
j
generacja operatorów róŜnicowych i ich rozwinięcie w szereg Taylora, stąd :
Lu 0 = Lu 0 + ∆ 0 (czlony wyzszego rzedu) + R0 = f 0 + ∆ 0 + R0
rozwinięcie operatorów róŜniczkowych w węzłach gwiazdy w szereg Taylora :
1
1
Lui = Lu0 + hi Lu0I + hi2 Lu0II + hi3 Lu0III + ... = f i , i = 1,..., m
2
6
eliminacja pochodnych u0 wyŜszego rzędu w celu otrzymania formuły kolokacji multipoint :
55
∑α u = ∑ β
ij
j
j
ij
fj
j
kombinacja wartości funkcji = kombinacja wartości prawej strony
Tak sformułowane zadanie multipoint nie wymaga kaŜdorazowej generacji operatora z
uwzględnieniem dodatkowych stopni swobody w węzłach, moŜe być efektywnie uŜyte w
podejściach wyŜszego rzędu zarówno w problemach 1D jak i 2D.
Przykład 7.2
Zadanie poprzednie (z przykładu 7.1) zostanie rozwiązane nowym wariantem metody
multipoint, gdzie charakterystyczna formuła zostanie wyprowadzona na etapie korekty
operatora róŜnicowego.
wII ( x) = f ( x) równanie róŜniczkowe
wII ≈ Lw1 =
1
( w0 − 2 w1 + w2 )
h2
klasyczny operator róŜnicowy (niski rząd)
Rozwinięcie w szereg operatora róŜnicowego :
Lw1 = w1II +
1 2 IV
l w1 + R1 = f1 + ∆1
12
Rozwinięcie w szereg operatorów róŜniczkowych :
1
Lw0 = w0II = w1II − l w1III + l 2 w1IV + R1 = f 0
2
1
Lw2 = w2II = w1II + l w1III + l 2 w1IV + R2 = f 2
2
2 w1II + l 2 w1IV = 2 f1 + l 2 w1IV ≈ f 0 + f 2
f − 2 f1 + f 2

w1IV = 0

l2
⇒
1

∆ 1 = ( f 0 − 2 f1 + f 2 )

12
Ostateczna formuła multipoint :
1
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) = ( f 0 + 10 f1 + f 2 )
2
l
12
jest identyczna z otrzymaną w przykładzie 7.1, a wymagała o wiele mniejszego nakładu
obliczeń, zwłaszcza rozwiązywanie dodatkowego duŜego układu równań nie było konieczne.
56
Wzory róŜnicowe, jak wiadomo, mogą być otrzymywane równieŜ na drodze aproksymacji
(wyniki mogą się róŜnić, ale sposób konstrukcji wzorów jest podobny). Tak więc w
przypadku, kiedy liczba węzłów gwiazdy jest o wiele większa niŜ to wymaga rząd ścisłości
wielomianowej
(2n)
formuła multipoint moŜe być generowana za pomocą techniki
aproksymacji MWLS. Eliminacja pochodnych wyŜszego rzędu odbywa się podobnie poprzez
rozwijanie w szereg Taylora wartości operatorów róŜniczkowych w węzłach gwiazdy.
Warto podkreślić, iŜ :
•
podobnie jak w ogólnym sformułowaniu aproksymacji wyŜszego rzędu pochodne
rzędów wyŜszych niŜ 2n są pomijane podczas gdy pochodne rzędu niŜszego lub
równego 2n są zachowane w członie korekcyjnym,
•
podczas obliczania pochodnych wyŜszego rzędu dopuszczalna jest kombinacja
podejścia multipoint, składania operatorów oraz róŜniczkowania równania z obszaru,
•
mimo iŜ rozwaŜana była aproksymacja wielomianowa (ścisła dla rozwiązań gładkich)
takŜe uwzględniane mogą być nieciągłości dowolnego rzędu poprzez wliczanie
odpowiednich członów skoku do rozwinięcia w szereg, tak jak to było pokazane w
poprzednich rozdziałach.
Na koniec zostaną przedstawione zadania z dziedziny belek z zastosowaniem podejścia
multipoint przy korekcie operatora róŜnicowego.
Przykład 7.3
BELKA SWOBODNIE PODPARTA – PODEJŚCIE MULTIPOINT
57
Sformułowanie zadania :
d2
L ( x) = 2 w( x) = f ( x)
dx
M ( x) =
1
qx(2l − x)
2
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
w(0) = 0 w(2l ) = 0
Dyskretyzacja operatora :
Lw1 ≈ Lw0 =
w0 − 2 w1 + w2
l2
PoniewaŜ jest to jedyny operator róŜnicowy występujący w zadaniu, moŜna skorzystać z
wyników z przykłady 7.2, gdzie wyprowadzona została ostateczna formuła kolokacji
multipoint dla tego operatora :
1
1
( w0 − 2 w1 + w2 ) = ( f 0 + 10 f1 + f 2 )
2
l
12
Po podstawieniu wartości funkcji fi otrzymuje się ostateczne rozwiązanie :
f0 = 0
1 ql 2
2 EJ
f2 = 0
f1 =
⇒ w1 =
5 ql4
24 EJ
Jest to ścisły wynik analityczny, sposób jego otrzymania naleŜy porównań ze sposobami
rozwiązywania zadań 1.1 – 2.1.
Przykład 7.4
BELKA WSPORNIKOWA – PODEJŚCIE MULTIPOINT
0
2
1
l
l
58
Sformułowanie zadania :
d2
L ( x) = 2 w( x) = f ( x)
dx
M ( x) = P ( x − 2l )
f ( x) = −
M ( x)
EJ
0 ≤ x ≤ 2l
w(0) = 0 w' (0) = 0
Dyskretyzacje róŜnicowe operatorów (obszar, brzeg) wraz z przypisaną im korektą :
1
1
1
w1 − w0
− ∆ 0 = g 0 , ∆ 0 = l w0II + l 2 w0III + l 3 w0IV
2
6
24
l
1
w − 2 w1 + w2
− ∆1 = f1 , ∆1 = l 2 w1IV
Lw1 = 0
2
12
l
Gw0 =
Rozwinięcie operatorów róŜniczkowych w wybranych węzłach obszaru
•
względem węzła (0) :
1
Lw1 = w1II = ( w0II = f 0 ) + l w0III + l 2 w0IV + R1 = f1
2
II
II
III
Lw2 = w2 = ( w0 = f 0 ) + 2l w0 + 2l 2 w0IV + R2 = f 2
•
względem węzła (1) :
1
Lw0 = w0II = w1II − l w1III + l 2 w1IV + R1 = f 0
2
1
Lw2 = w2II = w1II + l w1III + l 2 w1IV + R2 = f 2
2
Otrzymane formuły multipoint dla pochodnych wyŜszego rzędu :
w0III =
1
(−3 f 0 + 4 f1 − f 2 )
2l
w0IV =
1
( f 0 − 2 f1 + f 2 )
l2
w1IV =
1
( f 0 − 2 f1 + f 2 )
l2
Ostateczne równania i rozwiązanie :
l
 w1 − w0
= (7 f 0 + 6 f1 − f 2 )

l
24
 w − 2w + w
1
1
2
 0
= ( f 0 + 10 f1 + f 2 )
2
l
12

⇒
5 Pl3
6 EJ
8 Pl3
w2 =
3 EJ
w1 =
59
Uwaga : powyŜsze zadanie moŜna teŜ rozwiązać w sposób wykorzystujący wprowadzone w
poprzednich rozdziałach metody aproksymacji wyŜszego rzędu na brzegu obszaru. Oznacza
to sprowadzenie wszystkich pochodnych wyŜszego rzędu występujących w korekcie
operatora brzegowego do pochodnych wewnątrz obszaru, gdzie ich złoŜenie ze znanych
wartości jest juŜ bardzo proste.
Sprowadzenie pochodnych z brzegu do węzłów z obszaru :
w0III = w1III − l w1IV
w0IV = w1IV
ZłoŜenie pochodnych w obszarze :
w2II − w0II
f − f0
= 2
2l
2l
II
II
w0 − 2 w1 + w2II
f − 2 f1 + f 2
II II
= ( w1 ) =
= 0
2
l
l2
w1III = ( w1I ) II =
w1IV
Formuły multipoint dla pochodnych wyŜszego rzędu :
w0III =
− 3 f 0 + 4 f1 − f 2
2l
w1III =
f2 − f0
2l
w1IV =
w0IV =
f 0 − 2 f1 + f 2
l2
f 0 − 2 f1 + f 2
l2
Formuły multipoint dla członów korekcyjnych :
∆0 =
l
( 7 f 0 + 6 f1 − f 2 )
24
∆1 =
1
( f 0 − 2 f1 + f 2 )
12
Formuły multipoint dla równań róŜnicowych :
l
w1 − w0
= g 0 + ( 7 f 0 + 6 f1 − f 2 )
l
24
w0 − 2 w1 + w2 1
= ( f 0 + 10 f1 + f 2 )
l2
12
Celem niniejszego rozdziału jest pokazanie zasad funkcjonowania najstarszego
historycznie podejścia wyŜszego rzędu w MRS, idealnego w prostych problemach
brzegowych, gdzie wymagany stopień aproksymacji uzyskiwany jest poprzez wprowadzenie
kombinacji liniowej do klasycznej formuły kolokacji róŜnicowej. Nowe sformułowanie
multipoint zakłada rozbudowę prawej strony równań róŜnicowych na etapie korekty
operatorów róŜnicowych przy dowolnej ilości węzłów gwiazdy. NaleŜy równieŜ zaznaczyć
dogodność sformułowania do celów implementacji komputerowej. W przyszłości warto
zwrócić baczniejszą uwagę na ten kierunek analizy.
60
ROZDZIAŁ 8 :
APROKSYMACJA WYśSZEGO RZĘDU W WERSJI BEZSIATKOWEJ MRS
Tematyka poprzednich rozdziałów miała na celu wprowadzenie pojęcia aproksymacji
wyŜszego rzędu, podkreślenie jej zalet w sformułowaniach brzegowych a takŜe
zasygnalizowanie miejsc występowania najpowaŜniejszych problemów z nią związanych.
Testowanie przestawionych algorytmów przeprowadzono na szeregu przykładów z dziedziny
belek jako jednego z najczęstszych zastosowań MRS w zagadnieniach brzegowych 1D.
Jednak w powszechnym uŜyciu funkcjonuje bezsiatkowa wersja MRS, bazująca na dowolnie
nieregularnym rozkładzie węzłów. Oznacza to, iŜ przy wprowadzaniu siatki węzłów do
obszaru nie nadaje jej się jakieś z góry narzuconej konfiguracji, tak iŜ mogą one leŜeć
zupełnie dowolnie. Opracowane podstawy teoretyczne podejścia bezsiatkowej MRS (BMRS)
znaleźć moŜna w [1]. Obecnie naleŜy skupić się na problemie wprowadzenia do algorytmu
BMRS techniki aproksymacji wyŜszego rzędu.
Szczególne
zastosowanie
BMRS
odnalazła
w
zadaniach
brzegowych
dwuwymiarowych (2D), natomiast na obecnym etapie pracy techniki wyŜszego rzędu zostaną
przetestowane jedynie na problemach brzegowych 1D, w celu skonfrontowania z wynikami
zadań z poprzednich rozdziałów.
Jednymi z najbardziej charakterystycznych dla BMRS punktami algorytmu są
generacje siatki węzłów oraz wzorów róŜnicowych. Podczas generacji siatki węzłów korzysta
się z pojęcia gęstości siatki oraz z mechanizmu zwanego generatorem siatki typu Liszki [6].
Problem generacji zostanie w pracy pominięty jako niezwiązany bezpośrednio z przedmiotem
opracowania. We wszystkich sformułowaniach i dalszych przykładach załoŜono gotową
dyskretyzację obszaru. Natomiast generacja wzorów róŜnicowych odbywa się metodą MWLS,
produkującą komplet wzorów róŜnicowych dla pochodnych odpowiadających operatorom
róŜniczkowym występującym w sformułowaniu problemu. WaŜną rzeczą jest problem doboru
węzłów do gwiazd róŜnicowych, bowiem w przypadku BMRS odrzuca się załoŜenie jednolitej
konfiguracji węzłów dla kaŜdej gwiazdy z obszaru, tak jak to było w klasycznej MRS. RóŜne
typy gwiazd róŜnicowych wynikają z niejednolitego rozkładu węzłów, zwłaszcza w okolicach
brzegu obszaru. Do przypisania węzłom gwiazd słuŜą rozmaite kryteria, najczęściej są nimi
kryterium krzyŜa lub kryterium sąsiadów Voronoi.
W przypadku zadań brzegowych 1D obowiązujące przy doborze węzłów do gwiazd
będzie kryterium związane z połoŜeniem danego węzła. NaleŜy wyróŜnić trzy rodzaje stref
61
dla siatki węzłów 1D : skrajna, przedskrajna oraz środkowa. Od razu trzeba teŜ zaznaczyć, iŜ
generacja wzorów róŜnicowych dotyczyć będzie wszystkich węzłów, zarówno z obszaru jak i
brzegowych. Ma to na celu całkowicie uniezaleŜnić proponowane podejście od wymogu
istnienia znanych wartości ścisłych funkcji bądź jej pochodnych np. na brzegu. Mimo, iŜ
kolokacja w sformułowaniu lokalnym problemu odbywa się zazwyczaj w węzłach obszaru to
znajomość wartości pochodnych niskiego rzędu jest niezbędna do późniejszych obliczeń
pochodnych wyŜszego rzędu z obszaru.
Niech dany będzie problem brzegowy poprzez sformułowanie lokalne :
Lw = f
w Ω
Bw = g
na ∂Ω
,
co dla zadań z dziedziny belek moŜe wyglądać następująco :
d2
M ( x)
w( x) = −
dla x ∈ (0, L)
2
EJ
dx
w( x I ) = wI w( x II ) = wII wI , wII ∈ (0, L)
Dyskretyzacja róŜnicowa obszaru i warunków brzegowych : wprowadzenie węzłów do
obszaru (dowolne odstępy), numeracja, dyskretyzacja warunków brzegowych.
W zadaniach 1D zakłada się stopień lokalnej aproksymacji p = 2. Pochodne wyŜszego rzędu
naleŜy złoŜyć wykorzystując schematy róŜnicowe wygenerowane za pomocą MWLS.
Proponowana klasyfikacja węzłów do gwiazd róŜnicowych zakłada maksymalnie dwa węzły
z kaŜdej strony węzła centralnego aby uniknąć „rozchwiania” operatora w jednym z
kierunków.
Generacja kompletu wzorów róŜnicowych ( wiI , wiII )
1.Kryteria przynaleŜności węzłów do gwiazd :
•
strefa skrajna ( 4 węzły )
•
strefa przedskrajna ( 4 węzły )
•
strefa środkowa ( 5 węzłów )
Sposób przypisania węzłów do gwiazd róŜnicowych obrazuje poniŜszy rysunek :
62
2.Aproksymacja MWLS
a) strefa skrajna

h1
1

P = 1
h1 + h2

1 h + h + h
1
2
3

W = diag (



1
(h1 + h2 ) 2 
2

1
2
(h1 + h2 + h3 )

2
1 2
h1
2
macierz interpolantów
1
1
1
,
,
) macierz wagowa (diagonalna)
3
3
(h1 ) (h1 + h2 ) (h1 + h2 + h3 ) 3
B = ( P tW 2 P ) −1 P tW 2 macierz wzorów róŜnicowych
Dw' = B w
komplet przybliŜonych wartości pochodnych (dla belek : Dw ' = {wI ,wII } )
operatory róŜnicowe dla belek :
3
w0I ≈ ∑ α i wi = α 0 w0 + α 1 w1 + α 2 w2
i =0
3
w0II ≈ Lw0 = ∑ β i wi = β 0 w0 + β 1 w1 + β 2 w2
i =0
63
b) strefa przedskrajna

1 − h1

P = 1
h2


1 h2 + h3

W = diag (






1
2
(h2 + h3 ) 
2

1 2
h1
2
1 2
h2
2
1
1
1
,
,
)
3
3
(− h1 ) (h2 ) (h2 + h3 )3
B = ( P tW 2 P) −1 P tW 2
Dw ' = Bw
operatory róznicowe dla belek :
3
w1I ≈ ∑ α i wi = α 0 w0 + α1w1 + α 2 w2 + α 3 w3
i=0
3
w1II ≈ Lw1 = ∑ β i wi = β 0 w0 + β1w1 + β 2 w2 + β 3 w3
i=0
c) strefa środkowa

1 −hi − 2 − hi −1

1
− hi −1

P=
1
hi +1


1 hi +1 + hi + 2

W = diag (
1

(hi −1 + hi − 2 ) 2 
2

1 2

hi −1

2

1 2

hi +1
2


1
(hi +1 + hi + 2 )2 
2

1
1
1
1
,
,
,
)
3
3
3
(− hi −1 − hi − 2 ) (− hi −1 ) (hi +1 ) (hi +1 + hi + 2 )3
B = ( P tW 2 P) −1 P tW 2
Dw ' = Bw
64
operatory róŜnicowe dla belek :
4
wiII ≈ ∑ α j w j = α i − 2 wi − 2 + α i −1wi −1 + α i wi + α i +1wi +1 + α i + 2 wi + 2
j =0
4
w ≈ Lwi = ∑ β j w j = β i − 2 wi − 2 + β i −1wi −1 + β i wi + β i +1wi +1 + β i + 2 wi + 2
II
i
j =0
I etap rozwiązania : rozwiązanie róŜnicowe niskiego rzędu ( p = 2 )
Lwi = f i
i = 0,..., n
m
dla belek :
∑β
j =0
ij
w j = fi
i = 0,..., n
+ uwzględnienie warunków podparcia daje rozwiązanie niskiego rzędu w i(L)
Obliczenie poprawek wyŜszego rzędu
m
wiI ≈ ∑ α j w j
j =0
m
i = 0,..., n m = 3,4,5 (ilość węzłów gwiazdy róŜnicowej)
w ≈ ∑ β jwj
II
i
j =0
rozwinięcie w szereg Taylora wyrazów w0 ,w1 ,...,wm gwiazdy do wyrazu 2p = 4 włącznie
Lwi = Lwi + ∆ i + R dla belek L( I ) wi = wiI + ∆(iI ) + R
L( II ) wi = wiII + ∆(iII ) + R
∆ i - człon korekcyjny (wyrazy rzędu III i IV oraz wyrazy skoku)
R - reszta (błąd obcięcia wyrazów szeregu Taylora)
dla belek znana jest ogólna postać członu korekcyjnego :
∆ i = ∆ i (h, wiIII , wiIV , J i(1) , J i( 2) , J i(3) , J i( 4) )
pochodne wyŜszych rzędów – obliczanie tylko poprzez składanie operatorów :
wiIII
m
 I II
α j w IIj
(
w
)
=
∑
 i

j =0
=
m
 ( wiII ) I = ∑ β j w Ij
j =0

m
wiIV = ( wiII ) II = ∑ β j w IIj
j =0
wyrazu skoków :
J i(0) = ∆w →
skok funkcji ugięcia belki
J i(1) = ∆γ →
nieciągłość kąta ugięcia (róŜnica kątów w przegubie)
J i( 2) =
Mi
→
EJ
skok momentu zginającego
65
J i(3) =
Qi
→
EJ
skok siły poprzecznej
J i( 4) =
qi
→
EJ
skok obciąŜenia ciągłego
ostateczna postać członu korekcyjnego :
m
m
j =0
j =0
∆ i = ∆ i (h, ∑ β j w Ij , ∑ α j w IIj , ∆γ , M i , Qi , qi , EJ )
PoniewaŜ na tym etapie zadania wszystkie poprawki wyŜszych rzędów liczone były jedynie
przy pomocy wartości pochodnych niŜszych rzędów uzyskanych po rozwiązaniu etapu I
zadania, to naleŜy liczyć się z faktem, iŜ nie są to wartości ścisłe czyli odpowiadające temu
rzędowi aproksymacji. Aby przybliŜyć się do wymaganych wartości, naleŜy wprowadzić
procedurę iteracyjną polegającą na cyklicznym poprawianiu wartości pochodnych wszystkich
rzędów (I, II, III, IV) na podstawie wartości członów korekcyjnych obliczonych w
poprzednim etapie iteracji. Jako wartości wstępne przyjmuje się wartości z pierwszego etapu
obliczeń.
Algorytm procedury iteracyjnej (dokładne liczenie pochodnych)
Punkt startowy procedury (k=0) :
1. rozwiązanie niskiego rzędu : wi( L )
2. wartości pochodnych niskich rzędów : ( wiI ) ( 0) = wiI ( wi( L ) ) ( wiII ) ( 0 ) = wiII ( wi( L ) )
3. wartości pochodnych wyŜszych rzędów : ( wiIII ) ( 0) = wiIII ( wi( L ) ) ( wiIV ) ( 0) = wiIV ( wi( L ) )
4. wartości członów korekcyjnych : (∆(iI ) ) ( 0) = ∆Ii ( wi( L ) ) (∆(iII ) ) ( 0) = ∆IIi ( wi( L ) )
Postać k-tego cyklu iteracyjnego (k = 1,2,...) :
1. k-te wartości pochodnych niskich rzędów :
( wiI ) ( k ) = ( wiI ) ( k −1) − (∆(iI ) ) ( k −1)
( wiII ) ( k ) = ( wiII ) ( k −1) − (∆(iII ) ) ( k −1)
2. k-te wartości pochodnych wyŜszych rzędów :
( wiIII ) ( k ) = [(wiII ) ( k ) ] I
lub ( wiIII ) ( k ) = [(wiI ) ( k ) ] II
( wiIV ) ( k ) = [(wiII ) ( k ) ] II
3. k-te wartości członów korekcyjnych :
(∆(iI ) ) ( k ) = ∆(iI ) [( wiIII ) ( k ) , ( wiIV ) ( k ) ]
66
(∆(iII ) ) ( k ) = ∆(iII ) [( wiIII ) ( k ) , ( wiIV ) ( k ) ]
Kryteria przerwania iteracji : kontrola zbieŜności wyników
tempa zbieŜności dla poszczególnych pochodnych oznaczone zostaną jako :
( wiI ) ( k −1) − ( wiI ) ( k )
ε =
( wiI ) ( k )
I
i
ε
II
i
( wiII ) ( k −1) − ( wiII ) ( k )
=
( wiII ) ( k )
dokładność dla pierwszej pochodnej wiI
dokładność dla drugiej pochodnej wiII
ε iIII =
( wiIII ) ( k −1) − ( wiIII ) ( k )
( wiIII ) ( k )
dokładność dla trzeciej pochodnej wiIII
ε iIV =
( wiIV ) ( k −1) − ( wiIV ) ( k )
( wiIV ) ( k )
dokładność dla czwartej pochodnej wiIV
k
,gdzie k = I, II, III,
natomiast dane z góry dokładności dla powyŜszych pochodnych jako ε dop
IV, i = 0, ..., n.
k
warunek przerwania iteracji : ε ik < ε dop
II etap zadania : rozwiązanie wyŜszego rzędu
ostateczny układ równań róŜnicowych :
Lwi = f i + ∆ i
i = 0...n
+ uwzględnienie warunków podparcia daje rozwiązanie niskiego rzędu w i(H)
Ostateczny wynik róŜnicowy jest ścisły w ramach załoŜonego rzędu aproksymacji o ile
przeprowadzona została procedura iteracyjna w celu jak najdokładniejszego obliczenia
wartości pochodnych rozwiązania : zarówno niskiego jak i wyŜszego rzędu. Iteracje w punktu
widzenia implementacji komputerowej nie są uciąŜliwe gdyŜ nie wymagają rozwiązywania
układu równań algebraicznych a jedynie naprzemiennego obliczania wartości pochodnych i
członów korekcyjnych. Zastosowanie składania operatorów w obszarze oraz procedury
iteracyjnej pozwoliło na całkowite uniezaleŜnienie się od zapisywania dodatkowych równań
w obszarze (np. na węzłach brzegowych) oraz na jego brzegu, ale niewątpliwie wydłuŜyło
czas obliczeń. Jednak jest to duŜe udogodnienie w punktu widzenia algorytmizacji i
automatyzacji całego procesu.
Podsumowując powyŜszy rozdział warto wynotować podstawowe róŜnice pomiędzy wersją
klasyczną MRS, a jej wersją bezsiatkową BMRS :
67
•
brak wymogu regularności siatki; węzły, w dowolnej liczbie, mogą być dowolnie
rozłoŜone w obszarze i na jego brzegu (co w przypadku 1D oznacza brak stałego
modułu siatki h),
•
generacja kompletu wzorów róŜnicowych w kaŜdym węźle (zarówno obszaru jak i
jego brzegu) za pomocą techniki aproksymacji MWLS,
•
uniezaleŜnienie się od dodatkowych warunków brzegowych, pomagających obliczać
pochodne funkcji na brzegu w MRS; wprowadzenie na brzegu dodatkowej
aproksymacji pozwalającej oszacować wartości określonych tam pochodnych a
następnie je poprawiać w wyniku działania procedury iteracyjnej.
Rozdział niniejszy nie rozstrzyga oczywiście wszystkich zagadnień związanych z BMRS w
dziedzinie zadań 1D. Jest jedynie próbą zarysowania ogólnego algorytmu postępowania w
przypadku, gdy wymagana jest pełna automatyzacja podejścia aproksymacji wyŜszego rzędu.
PoniŜszy przykład prezentuje w bardzo wyczerpujący sposób rozwiązanie zadania ugięcia
belki swobodnie podpartej wersją bezsiatkową MRS z uŜyciem algorytmu pokazanego
powyŜej. Wszystkie obliczenia prowadzone były komputerowo z wykorzystaniem prototypu
programu opracowanego przez autora pracy. Zadanie rozwiązywane było w chwili, gdy
funkcjonowało jeszcze kryterium przydziału 3 węzłów operatorom róŜnicowym brzegowym,
wbrew temu, co podane było w ogólnym algorytmie. Dla największej prostoty zadania
wprowadzono siatkę o regularnych rozstawach węzłów; wzory róŜnicowe były generowane
metodą MWLS, zastosowano proces iteracyjny w celu dokładnego obliczenia wartości
pochodnych funkcji ugięcia.
Przykład 8.1
NaleŜy rozwiązać belkę swobodnie podpartą pod obciąŜeniem ciągłym q posługując się
wersją bezsiatkową MRS. Wartości pochodnych powinny ustabilizować się na poziomie
dokładności ε = 0.00001 .
Przypomnienie sformułowania zadania :
d2
M ( x)
w( x) = f ( x)
f ( x) = −
0 ≤ x ≤ 2l
2
EJ
dx
1
M ( x) = qx(2l − x)
w(0) = 0
w(2l ) = 0
2
L ( x) =
Na belce prowadzono pięć węzłów w równych rozstawach h. Dzięki symetrii zadania liczba
niewiadomych ugięć redukuje się do dwóch. Na rysunku poniŜej pokazano dyskretyzację
68
wraz z selekcją węzłów do gwiazd róŜnicowych odpowiadających kompletowi wzorów
róŜnicowych ( wiI , wiII
, i = 0,...,2 ) w kaŜdym węźle połówki belki.
Odpowiadające tej klasyfikacji wzory róŜnicowe są następujące :
•
węzeł (0) :
 w0 
 w0I l   −3.0000 4.0000 −1.0000   
 II 2  = 
  w1 
 w0 l   4.0000 −8.0000 4.0000   w 
 2
•
węzeł (1) :
 w0 
 w l   −1.0270 0.0811 0.9189 0.2070   w1 

=

 w l   3.7838 −7.3513 3.3513 0.2162   w2 
 
 w3 
I
1
II 2
1
•
węzeł (2) :
 w0 
w 
1
I
 w2 l   −0.0294 −0.9412 0.0 0.9412 0.0294   

=
w
 II 2  
 2
0.2
3.2
−
6.8
3.2
0.2
w
l
 


 2 
 w3 
 w4 
69
Następnie przyjęto oznaczenia : Lw0 ≈ w0II
Lw1 ≈ w1II
Lw2 ≈ w2II
Rozwiązanie I etapu :
Kolokacja róŜnicowa :
 Lw0 = f 0

 Lw1 = f1
 Lw = f
2
 2
Komplet równań róŜnicowych wygląda po dokonaniu agregacji oraz po uwzględnieniu
warunków symetrii : w3 = w1 , w4 = w0 następująco :
−8
4   w0 
 4
2
1
  w  = − 1 ql
3.7838
−
7.1351
3.3513
 1
l2 
8 EJ
 0.2
6.4
−6.8   w2 
0 
3
 
 4 
Po uwzględnieniu warunku podparcia : w0 = 0 otrzymuje się rozwiązania I etapu :


w0( L ) = 0

ql 4
 (L)
 w1 = 0.1561
EJ

 (L)
ql 4
w
=
0.2204
 2
EJ

Obliczanie poprawek operatorów :
Na podstawie rozwiązania z poprzedniego etapu zadania tworzy się komplet wartości
pochodnych niskich rzędów wygenerowanych na początku zadania. Są one jednocześnie
punktem startowym dla pierwszej iteracji :
ql 3
EJ
ql 3
= 0.2194
EJ
( w0I )(0) = ( w0I )( L ) = 0.4040
( w1I )(0) = ( w1I )( L )
( w2I )(0) = ( w2I )( L ) = 0
( w2II )(0)
ql 2
EJ
ql 2
( w1II )(0) = ( w1II )( L ) = −0.3750
EJ
2
ql
= ( w2II )( L ) = −0.50
EJ
( w0II )(0) = ( w0II )( L ) = −0.3670
Po rozwinięciu w szereg Taylora kaŜdego z tych operatorów i sformułowaniu przepisu na
osobne człony korekcyjne otrzymuje się wyraŜenia dla członów wyŜszego rzędu :
70
ql
EJ
ql
= (( w1II )(0) ) I = −0.1217
EJ
( w0III )(0) = (( w0II )(0) ) I = 0.0942
( w1III )(0)
( w2III )(0) = (( w2II )(0) ) I = 0.0
q
EJ
q
( w1IV )(0) = (( w1II )(0) ) II = −0.3887
EJ
q
= (( w2II )(0) ) II = 0.8532
EJ
( w0IV )(0) = (( w0II )(0) ) II = −0.4681
( w2IV )(0)
Łatwo zauwaŜyć, iŜ ich wartości są dalekie od doskonałych (tj. ścisłych analitycznych, jakich
moŜna spodziewać się po załoŜonym rzędzie aproksymacji). JeŜeli w tym miejscu rozwiązano
by układ równań z etapu II posługując się wyŜej określonymi poprawkami, to równieŜ same
wartości węzłowe funkcji ugięcia byłyby niedokładne.
W tym celu zastosowano proces iteracyjny startujący z wielkości podanych wyŜej. Dla
osiągnięcia wymaganej dokładności przeprowadzono j = 134 cykle iteracji wewnętrznych.
Ostateczny komplet wartości pochodnych wygląda następująco :
ql 3
EJ
ql 3
I
w1 = 0.2309
EJ
w0I = 0.3204
w I2 = 0.0
ql 2
ql
q
w0III = −1.1819
w0IV = 1.1818
EJ
EJ
EJ
2
ql
ql
q
w1II = −0.3750
w1III = −0.5910
w1IV = 1.1819
EJ
EJ
EJ
2
ql
q
w II2 = -0.50
w III
w IV
2 = 0.0
2 = 1.1821
EJ
EJ
w0II = −0.0668
Przykładowo podano wartości ścisłe dla pochodnych w węźle środkowym (2) :
(w I2 )anal = 0.3333
ql 3
EJ
(w II2 )anal = -0.50
ql 2
EJ
(w III
2 )anal = 0
(w IV
2 )anal =
oraz poprawki końcowe dla operatora róŜnicowego na drugą pochodną :
∆ 0 = −0.4186
ql 2
EJ
∆1 = 0.0166
ql 2
EJ
∆ 2 = 0.0394
Rozwiązanie II etapu :
Ostateczny układ równań :
−8
4   w0 
 4
2
1
  w  = − ql
3.7838
−
7.1351
3.3513
 1
l2 
EJ
 0.2
6.4
−6.8   w2 
0.4186 
0.3584 


0.4606 
daje następujące rozwiązania wyŜszego rzędu :
71
ql 2
EJ
q
EJ


w (H)
0 =0

ql 4
 (H)
w
=
0.1470
 1
EJ

 (H)
ql 4
w
=
0.2061
 2
EJ

Ich ścisłe odpowiedniki analityczne wynoszą :
(w 0 )anal = 0
(w1 )anal = 0.1484
ql 4
EJ
(w 2 )anal = 0.2083
ql 4
EJ
Dokładności wyników nie są doskonałe, ale satysfakcjonujące. W celu podniesienia precyzji
obliczeń lub redukcji liczy iteracji moŜna stosować np. techniki relaksacyjne.
Mimo iŜ powyŜsze zadanie to jedno z najprostszych zadań testowych w analizie dyskretnej
belek, to jego rozwiązanie róŜnicowe techniką aproksymacji wyŜszego rzędu w wersji
bezsiatkowej pokazuje siłę rozwaŜanego podejścia, tkwiącą w nieustannym poprawianiu
operatorów róŜnicowych, tak aby wynik końcowy był całkowicie niezaleŜny od ich jakości.
Wersja bezsiatkowa ma „jedynie” za zadanie uogólnić podejście na zupełnie dowolny
problem brzegowy, co zostanie efektywnie wykorzystane przy sformułowaniu podejścia w
dziedzinie problemów brzegowych 2D.
ROZDZIAŁ 9 :
ROZWINIĘCIE 2D PODEJŚCIA WYśSZEGO RZĘDU
Większość powaŜnych zadań brzegowych to zadania dwuwymiarowe (lub nawet
trójwymiarowe). Dopiero tam na wartości zyskują wszystkie metody dyskretne, w tym takŜe
BMRS. Szereg testów, jakie muszą być wykonane aby przetestować daną metodę pokaŜe w
jakim stopniu ta metoda oddaje analityczną postać rozwiązania zadania, o ile ona istnieje lub
teŜ częściej słuŜy do porównania wyników z innych metod dyskretnych. W rozdziale będzie
mowa o ogólnym sformułowaniu techniki aproksymacji wyŜszego rzędu w dziedzinie 2D.
Sposób algorytmizacji jest identyczny jak ten zaprezentowany w rozdziałach dotyczących
zadań 1D, z tym ,Ŝe podejście klasyczne MRS przestaje być efektywne. NajpowaŜniejszym
powodem jest ograniczenie MRS płynące z wymogu regularności siatki węzłów, którą cięŜko
na ogół dopasować do obszarów o nieregularnym kształcie brzegów. Dlatego teŜ wersja
bezsiatkowa wydaje się być jedynym słusznym narzędziem w analizie problemów
brzegowych 2D.
72
Pokazane zostaną oddzielnie sformułowania aproksymacji wyŜszego rzędu BMRS dla
operatorów z obszaru i operatorów brzegowych. W obydwu algorytmach załoŜono z góry
gotową juŜ wygenerowaną siatkę węzłów oraz opisaną topologię układu (podział na
wielokąty Voronoi, triangularyzacja Delaunay, klasyfikacja gwiazd róŜnicowych) – procesy
sterujące tymi etapami analizy róŜnicowej są opisane wyczerpująco w [1]. Skupiono się na
generacji wzorów róŜnicowych oraz na ich korekcie – zachowaniu członów wyŜszego rzędu.
Sformułowanie 2D dla operatorów z obszaru :
Sformułowanie problemu brzegowego :
Lu ( x, y ) = f ( x, y ) w obszarze Ω
Gu ( x, y ) = g ( x, y ) na brzegu obszaru ∂Ω
NiezaleŜnie od postaci operatorów róŜniczkowych L oraz G techniką aproksymacji MWLS
generuje się komplet wzorów róŜnicowych do określonego rzędu n. Generacje odbywa się w
węźle centralnym (0) o współrzędnych
u ( x0 , y0 ) = u0 . Wprowadza się następujące
oznaczenia :
•
u ( xi , yi ) = ui
, i = 1, 2,3,..., N
dane wartości funkcji u(x,y) w węzłach obszaru (N –
liczba węzłów),
•
q = [u1 ,..., um ] wektor wartości węzłowych (m – liczba węzłów gwiazdy róŜnicowej),
•

1 h1

1 h
2
P=

. .

1 hm

h = x − x0
k1
k2
.
km
1 2
h1
2
1 2
h2
2
.
1 2
hm
2
h1 k1
h2 k2
.
hm km
1 2
h1
2
1 2
h2
2
.
1 2
hm
2
1 n
k1
n! 

1 n
...
k2
n! 

...
. 
1 n
...
km 
n! 
...
macierz lokalnych interpolantów
, k = y − y0 ,
•
 w1 ... 0 
W =  ... ... ...  diagonalna macierz wagowa,
 0 ... wm 
•
1
 t 2 −1 t 2
dla m > (n + 1)(n + 2)
( P W P ) P W
2
B=
macierz wzorów róŜnicowych
1
−
1

P
dla m = (n + 1)(n + 2)

2
•
Du ' = Bq komplet pochodnych aproksymowanych
73
•
Du = Bq + e komplet ścisłych pochodnych (e – błąd aproksymacji róŜnicowej).
Po otrzymaniu wzorów róŜnicowych naleŜy stworzyć za ich pomocą wszystkie operatory
róŜnicowe odpowiadające operatorom róŜniczkowym występującym w sformułowaniu
problemu. Następnie buduje się (kolokacja) i rozwiązuje układ równań róŜnicowych – co daje
w rezultacie rozwiązanie niskiego rzędu u ( L ) .
Jego znajomość pozwala na obliczenie wstępnych wartości kompletu pochodnych niskiego
rzędu :
( Du ')( L ) = D ' u ( L ) .
a rozwinięcie w szereg Taylora wyraŜenia Du ' pozwala określić postać poprawki wyŜszego
rzędu :
Du ' = Du + e = Du + ∆ + R .
∆ to macierz członów korekcyjnych skupiająca wyrazy wyŜszego rzędu (pochodne, skoki),
dla których aproksymacja róŜnicowa jest rzędu 2n, natomiast R to błędy obcięcia wyrazów
rzędu wyŜszego niŜ 2n.
Na podstawie znajomości powyŜszych wielkości oblicza się wartości członów wyŜszego
rzędu (pochodne wyŜszych rzędów dostaje się w wyniku składania operatorów róŜnicowych).
Symbolicznie zapisać moŜna :
Du ' = D (u I , u II ) pochodne niskich rzędów,
∆ = ∆ ( J ( p ) , u III , u IV )
wyrazy wyŜszych rzędów (p = 0,...,4 – wartości skoków mogą mieć
inną interpretację niŜ w przypadku statyki belek).
u III = (u II ) I
lub u III = (u I ) II
u IV = (u II ) II
,
gdzie u I , u II , u III , u IV stanowią komplet wartości pochodnych cząstkowych
wartości).
Pierwsze oszacowanie członu korekcyjnego :
∆ ( L ) = ∆ (( Du ')( L ) ) = ∆ (u ( L ) )
W wyniku procesu iteracyjnego (k = 1,2,3,...) :
( Du ')( k ) = ( Du ')( k −1) − ∆ ( k −1)
(u III )( k ) = u III (( Du ')( k ) )
(u IV )( k ) = u IV (( Du ')( k ) )
∆ ( k ) = ∆ ( J ( p ) , (u III )( k ) , (u IV )( k ) ) ,
74
' '
,x , y
(razem 14
dla którego wartości startowe pochodzą z pierwszego etapu obliczeń ( k = 0 → ( L) ),
otrzymuje się przy danych dokładnościach ostateczne wartości kompletu pochodnych (niski i
wyŜszy rząd). Rozwiązując ten sam układ równań co w I etapie obliczeń
(ale ze
zmodyfikowaną prawą stroną) otrzymuje się ostatecznie rozwiązanie wyŜszego rzędu : u ( H ) .
Podstawowym utrudnieniem będzie obliczanie duŜego zbioru wartości pochodnych
(zwłaszcza w porównaniu z zadaniami 1D, gdzie liczba wszystkich pochodnych wynosiła 4).
Zachowanie struktury bezsiatkowej sformułowania pozwoli w przyszłości całkowicie
zautomatyzować przedstawiony algorytm aproksymacji wyŜszego rzędu BMRS w zadaniach
2D.
Sformułowanie 2D dla operatorów brzegowych :
Dla skupienia uwagi operatory róŜniczkowe w obszarze i na brzegu będą miały określone z
góry postacie tak jak to było w przypadku 1D w rozdziale 5. Zapisane w węźle brzegowym
(patrz : rysunek) wyglądają następująco :
Lu0 = au0 + bu0, x + cu0, y + du0, xx + eu0, xy + mu0, yy = f 0
Gu0 = αu0 + β u0,n = αu0 + β1u0, x + β 2u0, y = g 0
stąd moŜna obliczyć dwie wartości pochodnych niskich rzędów, np. :
u 0, x = ...
u 0, y = ...
2
0
3
1
4
Bowiem podobnie jak w 1D, niektóre wartości na brzegu pochodnych cząstkowych mogą być
określone juŜ na etapie zapisania na nim równania róŜniczkowego : z obszaru i brzegowego.
NaleŜy określić wstępną dyskretyzację warunku brzegowego :
75
4
Gu0 = ∑ γ 0 j u j
,
j =0
która po rozwinięciu w szereg Taylora prezentuje się następująco :
Gu 0 = Gu 0 + ∆ 0 (u 0, x , u 0, y ; u 0, xx , u 0, xy , u 0, yy ; u 0, xxx ,..., u 0, yyyy ) + R = g 0 + ∆ 0
Występujące w członie korekcyjnym wielkości będą pochodzić :
u 0, x , u 0, y z równań problemu zapisanych na brzegu : Lu0 = f 0
oraz Gu0 = g 0
u 0, xx , u 0, xy , u 0, yy ze wzorów róŜnicowych
u 0, xxx ,..., u 0, yyyy z rozwinięcia w szereg Taylora względem węzłów w obszarze
Ostatecznie człon korekcyjny będzie zaleŜny od wartości pochodnych niskiego rzędu na
brzegu oraz od wartości pochodnych wyŜszego rzędu w obszarze.
Rozwinięcie pochodnych brzegowych względem węzłów w obszarze :
u0, xxx = u3, xxx − h u3, xxxx − h u3, xxxy − ... − h u3, yyyy
itd
u 3, xxx , u 4, yyyy będą znane z kompozycji formuł róŜnicowych wewnątrz obszaru.
Ostateczna postać członu korekcyjnego :
∆ = ∆(u 0 ,..., u 4 , g , f , u 3, xxx , u 4, yyyy ) .
ROZDZIAŁ 10 :
KOŃCOWE UWAGI
W pracy zaprezentowano technikę aproksymacji wyŜszego rzędu zarówno w klasycznej
Metodzie RóŜnic Skończonych MRS jak i w Bezsiatkowej Metodzie RóŜnic Skończonych
BMRS. Podstawowym załoŜeniem przedstawionego podejścia było całkowite uniezaleŜnienie
końcowego wyniku dyskretnego od jakości uŜytych operatorów róŜnicowych – tak aby ów
wynik był ścisły w ramach załoŜonego rzędu aproksymacji wielomianowej. Stanowi to
największą przewagę podejścia nad istniejącym obecnie podejściem defect correction, które
wprowadzało do operatorów nowe węzły (lub ogólnie : stopnie swobody), ale nie pozwalało
otrzymywać rozwiązań niezaleŜnych od jakości tych operatorów. W proponowanym
podejściu przyjęto ponadto umowę, iŜ jeŜeli klasyczny operator róŜnicowy był rzędu n, to
wyniki końcowe mają być ścisłe w ramach rzędu 2n.
Konsekwencją przyjętego sposobu aproksymacji jest rozwiązywanie układów równań o tych
samych macierzach współczynników, gdyŜ wszystkie poprawki odnoszące się do danego
76
operatora skumulowane są w prawej stronie równań róŜnicowych. Na te poprawki składały
się wyrazy wyŜszego rzędu, do których naleŜą :
•
pochodne wyŜszych rzędów (tj. n+1 – 2n),
•
wyrazy skoków w funkcji i jej pochodnych.
Pochodne wyŜszych rzędów naleŜy znajdować poprzez ich składanie z wartości pochodnych
rzędów niŜszych – znanych a’priori bądź teŜ z pierwszego etapu obliczeń. Wbudowanie
skoków w człony korekcyjne pozwala oddać równieŜ postać rozwiązania o róŜnych stopniach
gładkości.
Nadrzędnym celem pracy było przetestowanie sformułowanych algorytmów na prostych
przykładach 1D z dziedziny ugięć belek. Otrzymywano w tym przypadku ścisłe wyniki
analityczne ze względu na fakt, iŜ ugięcia są opisywane przez wielomiany. Pokazano, jak
stworzyć ogólną procedurę aproksymacji wyŜszego rzędu MRS dla dowolnego zadania z
dziedziny statyki belek (belki przegubowe, statycznie niewyznaczalne etc.) a takŜe
rozwiązano m.in. zadanie wyboczenia, które dla małej liczby węzłów dało wynik bliski
analitycznemu dzięki uwzględnieniu wyrazów wyŜszego rzędu.
NaleŜy teŜ zwrócić uwagę na opracowanie oddzielnego sposobu korekty operatorów
róŜnicowych brzegowych, co pozwoliło efektywnie rozwiązywać zadania z bardziej
skomplikowaną strukturą warunków brzegowych.
Na koniec przedstawiono zupełnie nowe podejście multipoint bazujące na kombinacji
liniowej wartości funkcji prawej strony wykorzystywanej na etapie korekty operatorów i
mające wszystkie wyŜej omówione zalety podejścia aproksymacji wyŜszego rzędu.
PowaŜnym krokiem w kierunku pełnej automatyzacji obliczeń było sformułowanie algorytmu
podejścia dla wersji bezsiatkowej BMRS, róŜniącej się od wersji klasycznej brakiem wymogu
regularności siatki węzłów, generacją wzorów róŜnicowych za pomocą techniki aproksymacji
MWLS, oraz zupełnie dowolną postacią równania w obszarze i na jego brzegu. Ostatnia cecha
rzutuje na sposób składania członów korekcyjnych, których dokładne wartości mogą być
otrzymywane w wyniku zastosowania procedury iteracyjnej, startującej od rozwiązania
klasycznego – niskiego rzędu. Bezsiatkowa wersja algorytmu była pomostem dla
przeniesienia rozwaŜań do dziedziny zadań 2D. Na obecnym etapie zadanie aproksymacji
wyŜszego rzędu dla problemów brzegowych 2D zostało sformułowane, zarówno dla
operatorów w obszarze jak i brzegowych.
77
Jako kolejne kroki analizy przewiduje się :
•
rozwijanie techniki aproksymacji wyŜszego rzędu BMRS w dziedzinie zadań
brzegowych 2D (a później takŜe 3D), testowanie podejścia na typowych zadaniach
benczmarkowych,
•
konfrontacja podejścia z innymi technikami wyŜszego rzędu a takŜe z technikami
adaptacyjnymi (zwłaszcza z adaptacją typu h),
•
zastosowanie podejścia w zadaniach nieliniowych (1D, 2D),
•
zastosowanie podejścia do analizy błędu a’posteriori w BMRS
•
implementację komputerową stworzonych algorytmów.
LITERATURA
[1] Orkisz J., Finite Difference Method (Part III), in Handbook of Computational Solid
Mechanics, M.Kleiber (Ed.) Springer - Verlag, Berlin, 1998, 336-432.
[2] Orkisz J., Higher Order Meshless Finite Difference Approach, 13th Inter-Institute
Seminar for Young Researchers, Vienna, Austria, October 26-28, 2001.
[3] Milewski S, J. Orkisz, On Higher Order MFDM In 1D Problems, 14th Inter-Institute
Seminar for Young Researchers, Zakopane, Poland, October 16-19, 2003.
[4] Hackbush W., Multi-Grid Methods and Applications, Springer – Verlag, Berlin, 1985
[5] Collatz L., The Numerical Treatment of Differential Equations. Springer, Berlin,
1966.
[6] Liszka T.,
Program of irregular mesh generation for the finite difference method.
Mechanika i Komputer 2:219 – 277, 1979.
[7] Olszowski B., Radwańska M., Mechanika Budowli, Wydawnictwo Politechniki
Krakowskiej, 2003.
78

METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH WYśSZEGO

Transkrypt

Podobne dokumenty

Materiały pomocnicze - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Ochotnicze Hufce Pracy Ośrodek Szkolenia Zawodowego w

doping w sporcie

VI. Bufory kapitałowe, wskaźniki globalnego znaczenia

Ochrona brzegów morskich Pobrzeża Koszalińskiego

Szukasz dodatkowego zajęcia ? Lubisz rozmawiać z ludźmi

Firmy Leśne - Operator robi przerwy

Firmy Leśne - Kurs operatora harwestera / forwardera

WNIOSEK