Materiały pomocnicze - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
Materiały pomocnicze - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI Systemy ciągłe – systemy dyskretne Materiały pomocnicze do zajęć ćwiczeniowych T4 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. 1. Dyskretyzacja sygnału ciągłego w dziedzinie czasu Dynamiczny układ ciągły można, w dziedzinie czasu, opisać równaniem/układem równań różniczkowych. Zatem dla czasu dyskretnego musimy znaleźć właściwą aproksymację pochodnej funkcji w punkcie. W dziedzinie czasu ciągłego jest to definicja pochodnej zapisana w postaci granicy ilorazu różnicowego. W dziedzinie czasu dyskretnego wartość pochodnej w danym punkcie najczęściej aproksymuje się różnicą wartości następnej i bieżącej lub bieżącej i poprzedniej lub następnej i poprzedniej (rys. 1). Jest to: różnica progresywna (różnica wprzód) – szczególny przypadek ekstrapolacji (szukanie wartości funkcji spoza przedziału już dostępnych punktów): k y k 1 y k różnica regresywna (różnica wstecz) – procedura interpolacji (szukanie wartości funkcji w przedziale dostępnych punktów): k y k y k 1 różnica symetryczna: k y k 1 y k 1 y(k) y(t) y(k+1) k–1 y(k) k y(k–1) y(k–2) 0 k t k–1 k k+1 k Rys. 1. Przykład dyskretyzacji sygnału ciągłego w czasie Oczywiście można dokonywać aproksymacji wyższych pochodnych. Dla drugiej pochodnej mamy: 2 różnica progresywna (różnica wprzód): 2k k 1 k y k 2 y k 1 y k 1 y k y k 2 2y k 1 y k różnica regresywna (różnica wstecz): 2k k k 1 y k 2 y k 1 y k 1 y k y k 2y k 1 y k 2 różnica symetryczna: 2 k k 1 k 1 y k 2 y k y k y k 2 y k 2 2y k y k 2 Analogiczne operacje wykonuje się dla wyższych pochodnych. Przyjmując okres próbkowania jako T s dla kolejnych pochodnych otrzymujemy: różnica progresywna (różnica wprzód): y t y k d y t y k 1 y k dt Ts d 2 y t y k 2 2y k 1 y k 2 dt T s2 różnica regresywna (różnica wstecz): y t y k d y t y k y k 1 dt Ts d 2 y t y k 2y k 1 y k 2 2 dt T s2 różnica symetryczna: y t y k d y t y k 1 y k 1 dt 2 T s d 2 y t y k 2 2y k y k 2 2 dt 4 T s2 3 Kolejną, po metodzie aproksymacji pochodnych schematami różnicowymi, metodą dyskretyzacji ciągłego układu dynamicznego jest metoda aproksymacji całek. Dla systemu dynamicznego postaci: y ay bu Możliwa jest dyskretna reprezentacja systemu z przedziałem dyskretyzacji Δt postaci: y k 1 y k u k gdzie: ea t t eat b dt 0 b at e 1 a W przypadku, gdy system posiada pochodne wyższych rzędów (n), należy sprowadzić je do n równań pierwszego rzędu i dokonać ich dyskretyzacji traktując a oraz b z powyższych zależności jako macierze. Równanie różnicowe stanu opisujące dyskretną postać układu n tego rzędu: x( k 1) x( k ) u( k ) gdzie: e A t t e At B dt 0 przy czym A, B są macierzami stanu. Przy wyznaczaniu macierzy oraz można posłużyć się znaną formułą wykorzystującą odwrotne przekształcenie Laplace’a: e A t L-1 {(sI A)1 } 4