Model polowy silnika indukcyjnego

Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej Nr 13
__________________________________________________________
IX Seminarium
ZASTOSOWANIE KOMPUTERÓW W DYDAKTYCE ‘99
Oddział Gdański PTETiS
MODEL POLOWY SILNIKA INDUKCYJNEGO
Krzysztof Bieńkowski
Instytut Maszyn Elektrycznych Politechniki Warszawskiej
Tel.: 0226607406, Fax:0226257273, e-mail: [email protected]
Przedstawiono dwuwymiarowy model MES silnika indukcyjnego wykorzystywany w procesie
dydaktycznym do badania rozkładu pola w różnych stanach pracy maszyny. W stanie jałowym
zastosowano model statyczny uwzględniający nieliniowość materiałów. W pozostałych
stanach - analizę harmoniczną. Oprócz rozkładów pól model dostarcza wielu informacji
niezbędnych na etapie projektowania dotyczących wykorzystania materiałów czynnych i
oszacowania strat.
1. WPROWADZENIE
Silniki indukcyjne klatkowe dzięki prostej budowie, niskiej cenie, niewielkim kosztom
eksploatacji i dużej niezawodności są podstawowym źródłem energii mechanicznej w
przemyśle. Ich masowa produkcja umożliwiła rozwój indywidualnego napędu elektrycznego.
Szacuje się, że silniki indukcyjne stanowią około 90% silników wykorzystywanych w
przemyśle, z czego około 80% przypada na silniki klatkowe. Maszyny te przetwarzają około
40% energii elektrycznej zużywanej w gospodarce. Moce silników indukcyjnych zawierają
się w przedziale od kilkudziesięciu watów do kilku megawatów, zaś największe zbudowane
jednostki miały moc około 20 MW.[2,3]
Wadą silników indukcyjnych jest duży prąd rozruchowy przekraczający zwykle 5 do 8
razy prąd znamionowy. Z tego względu coraz częściej stosuje się zasilanie silnika z
przemiennika częstotliwości, który oprócz miękkiego rozruchu pozwala na łatwą regulację
prędkości obrotowej, przy zachowaniu wysokiej sprawności całego układu.
Modelowanie pól elektromagnetycznych jest jednym z donioślejszych zagadnień
współczesnej elektrotechniki [7]. Metody numeryczne zyskały w ostatnich latach nowy
wymiar wraz z pojawieniem się bardzo szybkich i tanich komputerów typu PC i
komercyjnych programów oferujących łatwość tworzenia modelu i dużą dokładność obliczeń.
Literatura w zakresie pola elektromagnetycznego [1] dostarcza dziś kilkanaście
podstawowych metod obliczania pola. Wszystkie one są równoważne w sensie teoretycznym.
Pomimo to występują między nimi różnice dotyczące możliwości ich praktycznego
wykorzystania. Najbardziej zaawansowaną aplikacyjnie i wielokrotnie zweryfikowaną jest
metoda elementów skończonych. Do zalet MES należy łatwość wprowadzania warunków
brzegowych, prostota logiczna algorytmów, duża uniwersalność i dostępność komercyjnych
programów. Wadami tej metody jest generowanie bardzo dużych macierzy danych i związana
z tym duża czasochłonność obliczeń.
Do budowy modelu polowego silnika indukcyjnego wybrano aplikację PC-OPERA
angielskiej firmy Vector Fields Ltd. [6] Zaletą tego programu jest łatwość przygotowania
modelu (preprocesing) oraz operatywny postprocesor umożliwiający przedstawienie wyników
w atrakcyjnej formie i obliczenia parametrów całkowych.
2. PRZYGOTOWANIE MODELU
W przekroju poprzecznym obwodu magnetycznego typowej maszyny indukcyjnej można
wyróżnić następujące regiony: wał, rdzeń wirnika, uzwojenie wirnika, szczelina powietrzna,
rdzeń stojana i uzwojenie stojana.
Należy znaleźć najmniejsze, nie posiadające już symetrii części tych regionów a następnie
utworzyć z nich regiony poprzez kopiowanie tych elementarnych obszarów z wykorzystaniem
odbić lustrzanych i obrotów tak aby zapełnić cały modelowany obszar. Takie podejście
zaoszczędza wiele pracy przy przygotowywaniu modelu.
Każdy region charakteryzują przynależne mu właściwości:
• rodzaj materiału i krzywa magnesowania dla rdzeni i wału,
• zadana gęstość prądu dla żłobków stojana,
• zadana przewodność dla żłobków wirnika.
Istnieje także możliwość zadania napięcia zasilającego uzwojenia silnika. Wartość prądu
jest wtedy obliczana automatycznie na podstawie przewodności materiału, liczby zwojów,
wymiarów uzwojenia i rezystancji obwodu zewnętrznego.
Brzegi każdego regionu opisane są następującymi właściwościami:
• ilością węzłów na długości brzegu i sposobem ich rozmieszczenia (równomiernie lub
nierównomiernie),
• krzywizną pomiędzy punktem początkowym i końcowym, zdefiniowaną jako
odwrotność promienia wodzącego. Przy czym krzywizna jest dodatnia jeżeli brzeg
wygina się w prawo.
• warunkami brzegowymi na brzegach zewnętrznych obszaru.(Bn = 0 lub Bτ= 0)
Przyjęto, że cały strumień magnetyczny zamyka się w rdzeniu więc na zewnętrznym
brzegu jarzma stojana składowa normalna indukcji magnetycznej jest równa zeru.
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Model zaimplementowano przy wykorzystaniu pakietu PC-OPERA. Aplikacja składa się
z PRE-POSTprocesora i Solvera . PRE-POSTprocesor jest interfejsem użytkownika służącym
do określenia parametrów geometrycznych, materiałowych, wymuszeń, warunków
brzegowych i automatycznej generacji siatki. Jednocześnie jest wykorzystywany do
prezentacji wyników obliczeń uzyskanych z Solvera w postaci wykresów i map rozkładu
wielkości polowych oraz obliczeń parametrów różniczkowych i całkowych. Maksymalna
ilość węzłów rozwiązywanej siatki wynosi 105 co pozwala na bardzo dokładne odwzorowanie
modelowanego obszaru.
3.1. Stan jałowy silnika.
Silnik jest w stanie jałowym jeżeli na jego zaciskach panuje napięcie znamionowe a wał
nie jest obciążony momentem. Z sieci pobierany jest prąd wytwarzający strumień
magnetyczny i pokrywający straty jałowe. Wirnik wiruje z prędkością bardzo zbliżoną do
synchronicznej a wartość prądu w klatce jest bliska zeru.
Model wykonano przy następujących warunkach upraszczających:
• pole magnetyczne w rdzeniu maszyny jest płaskorównoległe, efekty krańcowe nie
zostały uwzględniune,
•
•
•
•
modelowany jest stan statyczny odpowiadający chwili czasowej 30 stopni
elektrycznych; względne moduły prądów w pasmach fazowych wynoszą: Iu = 0.5, Iv =
0.5, Iw = -1.
w stanie jałowym gęstość prądu w klatce wirnika jest równa zeru,
cały strumień magnetyczny zamyka się w rdzeniu,
cały żłobek stojana wypełniony jest materiałem przewodzącym.
Zastępczą gęstość prądu żłobka stojana można obliczyć według zależności:
js =
gdzie:
Im NQ
p a SQ
(1)
Im – prąd magnesujący, NQ – liczba przewodów w żłobku,
p – liczba par biegunów, a– liczba gałęzi równoległych,
SQ – pole powierzchni przekroju żłobka.
Na rysunku 1. przedstawiono rozkład izolinii magnetycznego potencjału wektorowego w
obszarze połowy bieguna magnetycznego silnika o następujących parametrach: p = 2, Qs = 36,
Qr = 28 i mocy znamionowej 2,2 kW.
Rys. 1. Rozkład izolinii wektorowego potencjału magnetycznego w stanie jałowym.
Dysponując rozkładem pola w maszynie i operatywnym postprocesorem można
wyznaczyć wiele parametrów całkowych i obwodowych.
Strumień magnetyczny pary biegunów jest równy:
Φ = 2 Amaxle ,
(2)
gdzie:
Amax - maksymalna wartość potencjału magnetycznego w badanym obszarze,
le
- długość efektywna rdzenia maszyny.
Strumień przenikający przez szczelinę przywirnikową można obliczyć z zależności:
τ /2
Φ δ = 2 ∫ Bδ dl le
(3)
0
gdzie:
Bδ
- moduł wektora indukcji w szczelinie, τ- podziałka biegunowa stojana.
Różnica tych strumieni jest strumieniem rozproszenia uzwojenia stojana:
Φσ = Φ − Φδ
(4)
Reaktancję rozproszenia żłobkowego uzwojenia stojana oblicza się ze wzoru:
X Qs = pω N s
gdzie:
Φσ
Im
(5)
ω - pulsacja,
Ns - liczba zwojów połączonych szeregowo w paśmie fazowym stojana,
Straty w rdzeniu maszyny:
PFe = k pFe mFe Bav2
(6)
gdzie:
k - współczynnik technologiczny,
pFe - stratność materiału rdzenia dla 50 Hz i 1T,
mFe - masa rdzenia stojana.
Straty w rdzeniu wirnika można zaniedbać, gdyż jest on przemagnesowywany z bardzo
małą częstotliwością.
Z modelu polowego wyznacza się średnią wartość kwadratu indukcji w regionie rdzenia
stojana jako:
∫∫ B ds
2
Bav2 =
gdzie: S
S
(7)
S
- powierzchnia regionu rdzenia stojana.
Rozkład indukcji magnetycznej na długości połowy podziałki biegunowej w szczelinie
przedstawiono na rysunku 2. Zaznaczono także średnią wartość indukcji w szczelinie
obliczoną jako:
τ / 2
B
av
=
∫
B
δ
dl
0
τ / 2
(8)
oraz idealny sinusoidalny rozkład indukcji, którego amplitudę obliczono według wzoru:
Bsin =
π
Bav
2
(9)
Rys. 2. Rozkład modułu wektora indukcji w szczelinie powietrznej w stanie jałowym.
Na wykresie obserwuje się znaczne obniżenia indukcji pod szczerbinami zarówno stojana
jak i wirnika. Postprocesor pozwala także na wyznaczenie z rozkładu przestrzennego indukcji
zawartości wyższych harmonicznych.
3.2. Stan zwarcia.
Silnik indukcyjny jest w stanie zawarcia jeżeli do uzwojenia stojana dołączone jest
napięcie znamionowe a wirnik jest nieruchomy. Prąd pobierany przez maszynę przekracza
kilka (kilkanaście) razy wartość znamionową i jest ograniczony jedynie rezystancją i
reaktancją rozproszeniową uzwojeń. Stan ten występuje naturalnie w pierwszej chwili po
bezpośrednim włączeniu silnika do sieci ale może spowodować cieplne uszkodzenie izolacji
uzwojeń stojana jeżeli występuje przez dłuższy okres czasu np.: po utknięciu maszyny. Z tego
względu stosuje się odpowiednie zabezpieczenia przetężeniowe odłączające napięcie jeżeli
prąd przekracza ustaloną wartość przez czas dłuższy od założonego.
Model polowy silnika w stanie zwarcia opiera się na równaniach Maxwella przy
wymuszeniu w postaci harmonicznej: I (t ) = I m sin(ωt ) . Odpowiedź musi mieć także postać
harmoniczną a więc nieliniowości materiałów zostały pominięte. Wektorowy potencjał
magnetyczny A musi spełniać równania:
• Laplace’a w zastosowaniu do obszarów bez prądów elektrycznych:
∆A = 0 ,
(10)
• Poissona w odniesieniu do obszarów z prądem wymuszającym pole:
∆A = − µJ ,
(11)
• Helmholtza opisujące pole w obszarach przewodzących prąd:
∆ A − j µωγ A = 0 ,
(12)
gdzie: ∆ - operator Laplace’a, µ - przenikalność magnetyczna,
ω - pulsacja, γ - konduktywność.
Gęstość prądu w uzwojeniu stojana obliczono ze wzoru (1) dla prądu zwarcia. Wszystkie
pręty klatki wirnika są zwarte poprzez niewielką impedancję odwzorowującą impedancję
wycinka pierścienia zwierającego. Prądy indukowane w prętach zależą od strumienia,
przewodności właściwej materiału i częstotliwości zasilania.
Na rysunku 3. przedstawiono linie sił pola. Można zauważyć, że pole wytwarzane przez
uzwojenie stojana jest wypierane przez prąd indukowany w prętach klatki wirnika. Gęstość
prądu w pręcie osiąga dużą wartość (około 30 A/mm2) i dają się już zauważyć efekty
wypierania prądu. Wypadkowy strumień magnetyczny jest bardzo mały a rdzeń silnika jest
nienasycony można więc uznać, że pominięcie nieliniowości charakterystyk magnesowania
nie wprowadza dużych błędów.
Rys. 3. Izolinie potencjału w stanie zwarcia.
Rys. 4. Rozkład modułu wektora indukcji w szczelinie powietrznej w stanie zwarcia
Indukcja w szczelinie maszyny jest niewielka lecz lokalnie dochodzi do zagęszczeń pola ze
względu na niecałkowite skojarzenie magnetyczne uzwojeń stojana i wirnika. (Rys.4.)
Moment rozruchowy silnika można obliczyć całkując tensor naprężeń Maxwella wokół
wirnika:
T=
le
[(r × H )(τ × B) + (r × B)(τ ⋅ H ) − (r × τ )( H ⋅ B)]dl
2 ∫L
(13)
gdzie: H – wektor natężenia pola magnetycznego,
B – wektor indukcji,
r – wersor radialny,
τ – wersor tangencjalny,
L = 2πR, R – średni promień szczeliny przywirnikowej,
le – efektywna długość rdzenia stojana.
3.3. Stan obciążenia znamionowego
W stanie znamionowego obciążenia wirnik obraca się z prędkością nieco mniejszą od
prędkości wirowania pola magnetycznego. Względna różnica tych prędkości zwana jest
n −n
. Typowa wartość poślizgu przy obciążeniu znamionowym wynosi
poślizgiem: s = s
ns
kilka, czasami kilkanaście procent. Wynika stąd, że na wirnik oddziałuje pole o częstotliwości
równej fr=sfs. Powoduje to pewien problem przy modelowaniu stanu obciążenia gdyż w
analizie harmonicznej częstotliwość musi być jednakowa dla całego modelu. W celu
pokonania tej niedogodności posłużono się metodą zastosowaną w klasycznym schemacie
zastępczym silnika indukcyjnego. Rzeczywisty obracający się wirnik zastąpiono
nieruchomym wirnikiem, w którym napięcie indukowane i impedancję uzwojenia pomnożono
przez poślizg. Wobec tego parametry i wielkości elektryczne i magnetyczne wirnika
sprowadzono do częstotliwości i napięcia stojana.
W modelu polowym sprowadzenia parametrów wirnika dokonano poprzez pomnożenie
przewodności właściwej materiału klatki wirnika oraz impedancji zewnętrznej (pierścienia
zwierającego) przez poślizg. Postępowanie takie jest uzasadnione ponieważ w równaniu
Helmholtza (13) występuje iloczyn ωγ można więc zmienić z równym powodzeniem
przewodność właściwą zamiast pulsacji.
Moment znamionowy maszyny można obliczyć metodą tensora naprężeń analogicznie jak w
stanie zwarcia. Prąd płynący w pręcie klatki równy prądowi wirnika Ir otrzymamy całkując
gęstość prądu indukowanego po powierzchni przekroju poprzecznego pręta:
I pr = ∫∫ jds
(14)
S pr
4. WNIOSKI I UWAGI KOŃCOWE.
Model statyczny maszyny umożliwia weryfikację projektu obliczonego metodami
tradycyjnymi i dostarcza wielu informacji niezbędnych na etapie projektowania dotyczących
wykorzystania materiałów czynnych i oszacowania strat jałowych. Nie pozwala jednak na
obliczenie parametrów eksploatacyjnych silnika.
Liniowy model harmoniczny jest odpowiedni do badania stanu zwarcia silnika z uwagi na
małą indukcję w rdzeniu. Możliwe jest wyznaczenie momentu rozruchowego a także
obliczenie reaktancji rozproszeniowej.
Posługując się tym modelem w stanach obciążenia popełniamy pewien błąd nie
uwzględniając nieliniowości charakterystyk magnesowania, tym większy im mniejsze
obciążenie maszyny. W aspekcie dydaktycznym nie ma to jednak większego znaczenia i
prezentowany model dobrze spełnia swe zadania obrazując zjawiska elektromagnetyczne
zachodzące w różnych stanach pracy silnika. Wykonanie serii obliczeń umożliwia
wyznaczenie charakterystyki mechanicznej silnika.
Model polowy może służyć do weryfikacji obliczeń elektromagnetycznych
przeprowadzonych metodami klasycznymi lub po zintegrowaniu z innymi pakietami, może
być częścią systemu CAD obejmującego kompleksowe obliczenia maszyny
(elektromagnetyczne, wentylacyjne, cieplne i mechaniczne).
5. BIBLIOGRAFIA:
1.
2.
3.
4.
Bolkowski S.: Komputerowe metody analizy pola elektromagnetycznego. WNT, 1996.
Dubicki B. – Maszyny elektryczne t.III Silniki indukcyjne PWN 1964
Dąbrowski M. – Projektowanie maszyn elektrycznych prądu przemiennego. WNT 1988
Głowacki A. – Obliczenia elektromagnetyczne silników indukcyjnych trójfazowych.
WNT Warszawa 1993
5. Bieńkowski K. – Program obliczeń elektromagnetycznych silników indukcyjnych z
wirnikiem klatkowym. IME PW 1993
6. PC-Opera Reference Manual VF Ltd, 24 Bankside Kidlinnton Oxford OX5 1JE England.
7. Turowski J.: Elektrodynamika techniczna. WNT, 1993.
FIELD MODEL OF INDUCTION MOTOR
The two-dimensional MES model of induction machine used in didactic process to
investigations of field distribution in different states of operation was described in this paper.
Presented model is useful to estimation many constructional parameters in design process.
Magnetostatic model taking into account non-linearity of materials properties is used in noload state. In short-circuit and load states harmonic analysis was apply. Except fields
distribution model delivers of many informations indispensable during designing process.