Czterej geniusze i deska
Transkrypt
Czterej geniusze i deska
Danuta Buniecka Czterej geniusze i deska Jak zrobić rozkład Gaussa? Potrzebna jest deska, gwoździe i młotek... To nie żart! Miałam to szcz˛eście, że bez konieczności osobistego wbijania kilkuset gwoździ mogłam zobaczyć efekt końcowy. „Deska Galtona” to przyrzad ˛ przedstawiony na poniższym rysunku. Kuleczka śrutu spada na pierwszy gwoździk. Spadnie z niego w prawo lub w lewo. Jeśli gwoździk wbity jest równo pod lejkiem, prawdopodobieństwo spadni˛ecia w każda˛ stron˛e wynosi 12 . Teraz kulka spada na drugi gwoździk, gdzie sytuacja si˛e powtarza. I tak dalej, aż do najniższego rz˛edu, gdzie nie ma już gwoździków, ale przegródki. Deska i Pascal Do danej przegródki można dojść wieloma sposobami. nie sa˛ równie prawdopodobne. Do środkowego można dojść na dwa sposoby, do każdego ze skrajnych – tylko na jeden sposób. Po nast˛epnym rz˛edzie sytuacja b˛edzie analogiczna, do kolejnych położeń prowadzi odpowiednio 1, 3, 3, 1 droga. I tak dalej. Jak już Państwo zauważyli, powstaje trójkat ˛ Pascala. Jeśli wi˛ec nasza deska ma sześć rz˛edów gwoździ, aby obliczyć prawdopodobieństwo trafienia kulki do kolejnych przegródek, znajdujemy szósty wiersz (nie liczac ˛ pojedynczej jedynki na górze) w tym trójkacie: ˛ 1 6 15 20 15 6 1 Tyle dróg prowadzi do każdej z przegródek. Wszystkich dróg jest 64, wi˛ec prawdopodobieństwo trafienia do kolejnych przegródek wynosi: 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 Deska i Bernoulli Iloma? Policzmy. Po pierwszym gwoździku mamy dwie możliwości: w lewo lub w prawo. Po drugim rz˛edzie gwoździków mamy trzy możliwe położenia kulki, ale 10 Ale przecież trójkat ˛ Pascala to liczby istotne w schemacie Bernoulliego. Oczywiście! Bo „deska Galtona” to także przyrzad ˛ do sprawdzania na duża˛ skal˛e tego schematu. Wrzucenie kulki powoduje seri˛e zdarzeń losowych. Te zdarzenia to odbicia od kolejnych gwoździ. W każdym z nich sa˛ możliwe dwa wyniki. Załóżmy, że spa- TEMAT NUMERU CYAN BLACK ML13 str. 10 dek w lewo to porażka, a spadek w prawo to sukces. Kulka, która poniosła same porażki, trafia do skrajnie lewej przegródki (oznaczmy ja˛ numerem 0); jeśli tylko raz odniosła sukces, trafia do przegródki sasiedniej ˛ – nr 1 itd. Jak łatwo (nam, nie uczniom) obliczyć, w wypadku sześciu rzadków ˛ gwoździ prawdopodobieństwo otrzymania 0, 1, 2, ..., 6 sukcesów jest takie, jak obliczyliśmy „na piechot˛e” wyżej. cze dużo, dużo wi˛ecej) tworza˛ gotowy wykres znanej krzywej dzwonowej. Deska, czyli wszystko Deska i wykresy Zilustrujmy na wykresie powyższe prawdopodobieństwa. Coś to Państwu przypomina? Pewnie rozkład Gaussa? Nie b˛edzie watpliwości, ˛ jeśli zamiast sześciu weźmiemy choćby dwanaście rz˛edów gwoździ. Nie jest to przypadek. Z rozkładu Bernoulliego w granicy powstaje właśnie rozkład Gaussa. Dlatego właśnie przy bardzo dużej liczbie rz˛edów gwoździków upuszczone kuleczki (których jest jesz- Łatwo zgadnać, ˛ że gdyby rozkład Gaussa i rozkład Bernoulliego stosowały si˛e tylko do opisu jednego może interesuja˛ cego, ale mało pożytecznego urzadzenia, ˛ nie byłyby tak ważne w matematyce i jej zastosowaniach. Okazuje si˛e jednak, że każde doświadczenie przebiega w pewnym sensie podobnie do upadku kulek po desce. Gdy chcemy np. zważyć jajko, może ono być nieco zabrudzone, co zawyża jego mas˛e, ale zabrudzony może też być odważnik, co powoduje zaniżenie wyniku. Magnes w sasiednim ˛ pokoju może oddziaływać na wag˛e, co znowu może w różny sposób wpłynać ˛ na przebieg doświadczenia. Tego typu zakłóceń nie da si˛e do końca wyeliminować, tym bardziej, że cz˛esto nie zdajemy sobie z nich sprawy. Zakładamy jednak, że może wystapić ˛ tyle samo zjawisk troch˛e zawyżajacych ˛ wynik, jak i zaniżajacych ˛ go. Gdybyśmy poprzestali na jednym pomiarze, może si˛e okazać, że akurat mieliśmy pecha, ale gdy pomiarów jest wiele, ich wyniki powinny tworzyć rozkład Gaussa: najwi˛ecej wokół wartości średniej, troch˛e po bokach. Deska Galtona pozwala nam zrozumieć, dlaczego tak si˛e dzieje, i wnioskować, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości jest gdzieś w pobliżu średniej. A jak blisko może si˛e znaleźć – też można wyliczyć z rozkładu Gaussa, ale to już zupełnie inna historia. TEMAT NUMERU CYAN BLACK ML13 str. 11 11