Seria 5. - drgania harmoniczne

Seria 5. - drgania harmoniczne
1. Na nieważkiej sprężynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ciężarek, okazało się, że
częstość drgań zmieniła się dwukrotnie, a punkt równowagi przesunął się o ∆x. Znaleźć częstość drgań
kulki zawieszonej na sprężynie.
Odp. ω =
q
3g
∆x
2. Ciężarek o masie m,pzawieszony na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k i długości swobodnej
l, drga z częstością k/m. Jak zmieni się częstość drgań ciężarka, gdy kawałek sprężyny o długości a
zostanie odcięty?
Odp. ω =
q
lk
(l−a)m
3. Jaka będzie częstość własna a) szeregowego i b) równoległego połączenia sprężyn obciążonych masą
m o stałych sprężystości k1 i k2 ?
Odp. ω =
p
Kz /m, gdzie a) Kz =
k1 k2
k1 +k2 ,
b) Kz = k1 + k2
4. Na poziomym doskonale gładkim stole leży, przymocowane sprężyną do ściany ciało o masie M . W
ciało trafia pocisk o masie m lecący poziomo z prędkością v i zostaje w nim. Po zderzeniu ciało wraz
z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitudą A. Wyznaczyć częstość tych drgań.
Odp. ω =
mv
(m+M )A
5. Jeżeli pewną sprężynę o stałej sprężystości k rozciągnięto o ∆x w stosunku do jej długości równowagowej, to jaką pracę należy wykonać, aby rozciągnąć ją dodatkowo o ∆y?
Odp. W = k2 (∆y 2 + 2∆x∆y)
6. Na sprężynie o długości d zawieszamy nieruchomą masę m. Pod wpływem tej masy sprężyna rozciąga
się do długości d + a. Następnie druga taka sama masa m spada z wysokości a na pierwszą masę,
zderzając się z nią niesprężyście. Znajdź okres drgań mas po zderzeniu i ich amplitudę.
q
√
Odp. T = 2π 2a
g , A=a 2
7. Na sprężynie wisi szalka, pod wpływem której sprężyna rozciąga się o odcinek d. Na szalkę z wysokości
h spada ciężarek, zderzając się z nią niesprężyście. Znajdź okres i amplitudę drgań, jeżeli stosunek
masy ciężarka do masy szalki wynosi η.
p
p
Odp. T = 2π dg −1 (1 + η), A = ηd 1 + 2hd−1 (1 + η)−1
8. Znajdź częstość i amplitudę drgań harmonicznych cząstki, jeżeli w odległościach x1 i x2 od punktu
równowagi miała ona prędkości odpowiednio v1 i v2 .
r
Odp. ω =
v22 −v12
,
x21 −x22
r
A=
v22 x21 −v12 x22
v22 −v12
9. W rurce o przekroju S zgiętej w kształcie litery ”U” znajduje się słup wody o długości l, przy czym
w chwili początkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie
okres drgań słupa wody (pominąć siły lepkości)?
Odp. T = 2π
q
l
2g
10. Areometr (szklana walcowa rurka) o ciężarze P i średnicy d pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go i puści,
zacznie wykonywać drgania z okresem T . Przyjmując, że drgania są nietłumione, znaleźć gęstość cieczy
ρ, w której pływa areometr.
Odp. ρ =
16πP
T 2 d2 g 2
11. Ciało o masie m porusza się ze stałą prędkością v w kierunku sprężyny o stałej sprężystości k. O ile
ściśnie się sprężyna do chwili, w której ciało zatrzyma się, jeżeli współczynnik tarcia dla powierzchni
znajdującej się bezpośrednio pod sprężyną wynosi f ? Jaką prędkość będzie miało ciało kiedy sprężyna
powróci do długości równowagowej?
Odp. ∆x =
q
mg
k (
f2 +
kv 2
mg 2
− f ), v 0 =
p
v 2 − 4gf ∆x
1
12. Dwa cylindryczne bębny o jednakowych promieniach szybko obracają się w przeciwnych kierunkach.
Na bębny położono swobodnie jednorodny pręt o ciężarze P i długości l tak, że jego środek ciężkości
jest bliżej jednego bębna. Współczynnik tarcia między prętem a każdym bębnem wynosi f . Udowodnić,
że pręt wykonuje drgania harmoniczne.
Drgania tłumione i wymuszone
13. Znaleźć ogólne rozwiązanie problemu oscylatora harmonicznego z tłumieniem, bez wymuszenia, jeżeli
częstość drgań własnych oscylatora wynosi ω0 , zaś współczynnik tłumienia a) γ > ω0 b) γ < ω0 .
Naszkicować przykładową zależność położenia oscylatora od czasu. Rozważyć układ RLC.
14. Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o l. Ciężarek
wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik
tłumienia γ, aby: a) po czasie τ amplituda zmalała do 1/α wartości początkowej, b) ciężarek powrócił
aperiodycznie do położenia równowagi, c) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy λ.
Odp.: a) γ =
ln(α)
τ
b) γ =
q
g
l
c) γ =
s
g
2
l 1+ 4π2
λ
15. Średnia odległość między wybojami na drodze wynosi d. Jaka jest stała sprężystości resoru samochodu
o czterech kołach, jeśli jadąc z prędkością v samochód wpadł w rezonans.
Odp. k =
π2 v2 m
d2
Zadania trudniejsze (matematycznie)
16. Na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k i długości swobodnej l0 wisi klocek częściowo zanurzony
w cieczy o gęstości ρ. Górny koniec sprężyny zamocowany jest na wysokości H nad poziomem cieczy.
Klocek ma masę m, długość h i przekrój poprzeczny s. Znaleźć ruch klocka wychylonego z położenia
równowagi, jeśli podczas ruchu klocek jest zawsze częściowo zanurzony w cieczy. Pominąć tarcie oraz
zmianę poziomu cieczy podczas ruchu klocka.
Odp. x(t) = A cos(ωt + ϕ) +
mg+ρgs(H−h)+kl0
,
k+ρgs
gdzie ω =
q
ρgs+k
m
17. Klocek o masie m spoczywający na stole zamocowano między dwiema sprężynami o takich samych
długościach swobodnych l0 o różnych współczynnikach sprężystości k1 i k2 . Szerokość klocka jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z odległością pomiędzy punktami zamocowania sprężyn, która wynosi
L > 2l0 . W pewnej chwili spoczywającemu klockowi nadano prędkość v. Znaleźć zależność położenia
klocka od czasu, jeżeli porusza się on bez tarcia.
Odp. x(t) =
v
ω
sin ωt +
(k1 −k2 )l0 +k2 L
,
k1 +k2
ω=
q
k1 +k2
m
18. Dwie jednakowe kulki o masie m połączono sprężyną o stałej sprężystości k i długości swobodnej l0 ,
a następnie każdą z kul naładowano takim samym ładunkiem q. Znaleźć zależność położenia kulek od
czasu, jeśli w chwili początkowej kulki znajdują się w odległości l0 jedna od drugiej i ich prędkości są
równe zeru. Założyć, że amplituda drgań jest dużo mniejsza od l0 .
Odp. r(t) =
µl0
− 2(k+µ)
cos ωt + l0 +
µl0
2(k+µ) ,
ω=
q
2(k+µ)
m ,
µ=
q2
2πε0 l03
19. Układ składa się z dwóch kul o masie m, naładowanych ładunkami +q i −q połączonych sprężyną o
stałej sprężystości k i długości swobodnej l0 . W przybliżeniu małych drgań znaleźć zależność położenia
kulek od czasu, jeśli w chwili t = 0 kulki spoczywały w odległości l0 od siebie.
Odp. x1,2 (t) = ± 2ωη 2 cos ωt ∓
η
2ω 2 ,
r
ω=
2k
m
+
q2
,
mπε0 l03
2
η=
q2
2πε0 l02 m