Drgania mechaniczne i Fale

Drgania mechaniczne i Fale
Drgania
Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym lub periodycznym. Jeżeli jest on opisywany sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny (albo harmoniczny
prosty). Przykłady ruchu harmonicznego prostego to ruch wahadła (sprężynowego, matematycznego),
drgania elektryczne w układzie LC; patrz poniższe rysunki.
Wahadło sprężyno we
Podstawowe wielkości charakteryzujące
ruch drgający wahadła:
x t   A  sinω  t  ,
T
k
ω
2 π
 2 π  f 
T
A
T  2 π 
t
t
m
k
,
m
m
,
k
gdzie x to wychylenie, A – amplituda
drgań, ω – częstość kołowa drgań, T –
okres, f – częstotliwość drgań, k – współczynnik sprężystości, a m – masa obciążnika.
x ( t)
Wahadło matematyczne
Okres drgań dla kątów wychylenia wahadła z położenia równowagi < 7°:
T  2 π 
N

,
g
gdzie  to długość nici wahadła (Od miejsca zawieszenia do środka kulki,
ponadto średnica kulki D   , a masa kulki musi być dużo większa niż
masa nici)
Q
Elektryczny układ drgający LC
Okres drgań:
C
T  2 π  L C ,
L
gdzie L to indukcyjność cewki, a C to pojemność kondensatora.
Przykłady
A. Co jest „wzorcem czasu” w zegarach?
B. Dlaczego trzeba czyścić zegary sprężynowe?
C. Dlaczego kosmonauci nie zabierają na pokład zegarów wahadłowych?
‒1‒
Wydaje się, że najprościej można wprowadzić podstawowe pojęcia związane z kinematyką ruchu harmonicznego, gdy zauważymy, że rzut (cień) punktu wykonującego jednostajny ruch po okręgu, wykonuje drgania harmoniczne, tak jak to pokazano na poniższym rysunku. Na tym rysunku rzut na os 0y.
Kinematyka drgań
Rozpatrzmy ruch, po pokazanym poniżej, okręgu o promieniu r, odbywający się ze stałą prędkością kątową
ω, prędkością liniową v i przyspieszeniem dośrodkowym a. Składowe (rzuty) wychylenia, prędkości i przyspieszenia na kierunek y pokazanego poniżej układu odniesienia przyjmują, jak łatwo zauważyć na poniższym rysunku, następujące wartości:
y
y t   r  sinα  ,
vy t   v  cos α  ,
v
α
a
y
r
ay
α
ay t   a  sinα .
vy
Ale α  ω  t , v  ω r oraz a  ω 2  r . Zatem
ω
y t   r  sinω  t  ,
x
v y t   r  ω  cos ω  t  ,
ay t   r  ω2 ω  t .
I jest to „cała” kinematyka ruchu harmonicznego prostego.
Wykresy ilustrujące relacje pomiędzy chwilowym wychyleniem z położenia równowagi, chwilową prędkością
i przyspieszeniem w tym ruch pokazuje poniższy rysunek.
y(t )
a
v
vy(t )
π
r
2π
T
T/2
3π
3T/2
faza φ
czas t
ay(t )
Jeżeli w ogólności maksymalne wychylenie z położenia równowagi (u nas r) oznaczymy przez A (amplituda),
przyjmiemy, że ruch nie musi się rozpoczynać w momencie, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi, oraz wychylenie z położenia równowagi oznaczymy przez x (zamiast y), to ruch harmoniczny opisuje następujące równanie:
x t   A  sinω  t  φ ,

faza
gdzie φ oznacza fazę początkową (faza jest równa φ, gdy t = 0). Oczywiście wykres ten będzie przesunięty
o φ wzdłuż osi czasu w stronę „ujemnego czasu”.
Pozostałe wielkości kinematyczne przyjmą postać; prędkość chwilowa:
v t   
A  ω  cos ω  t  φ ,
vmaks
przyspieszenie chwilowe:
‒2‒
a t   
A  ω2  sinω  t  φ  ω2  x t .
amaks
Zauważmy, że to ostatnie równanie pokazuje, że przyspieszenie w ruchu harmonicznym prostym jest w każdej chwili proporcjonalne do wychylenia, ale przeciwnie do niego skierowane.
Siła wypadkowa powodująca ruch harmoniczny wyraża się wzorem:
Fwypadkowa t   m  a t  m  A  ω2  sinω  t  φ  
k  x t .
mω2
Siła wypadkowa zmienia się w funkcji czasu tak samo jak przyspieszenie i jest proporcjonalna do wychylenia
z położenia równowagi, ale przeciwnie do niego skierowana (patrz poniższy rysunek).
Fwypadkowa
mω 2A
+A x
–A
0
–mω 2A
Siła wypadkowa powodująca ruch harmoniczny prosty jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi, ale przeciwnie do niego skierowana. W podobny sposób przyspieszenie zależy od wychylenia.
Przemiany energii w ruchu harmoniczny m
W ruchu harmonicznym energia kinetyczna zmienia się periodycznie w energię potencjalną i na odwrót.
Energię kinetyczną można wyrazić wzorem:
m v2 m 2 2
EKinetyczna 
  A  ω  cos2 ω  t  φ.
2
2

EKin Maks
Łatwo zauważyć, że w momencie przechodzenia przez położenie równowagi energia kinetyczna przyjmuje
największą wartość, a energia potencjalna jest równa zeru (masa wahadła jest najniżej w swoim ruchu).
Można, zatem przyjąć, że energia całkowita Ecał liczbowo jest równa maksymalnej energii kinetycznej ciała.
Korzystając z zasady zachowania energii można wyliczyć, jak zmienia się energia potencjalna drgającego ciała w funkcji czasu:
m
m
EPotencjalna  ECał  EKinetyczna   A2  ω2   A2  ω2  cos2 (ω  t  φ).
2
2
Jeżeli skorzystamy z wzoru jedynkowego, to
m
EPotencjalna   A2  ω2  sin2 (ω  t  φ).
2

EPot Maks
Przykłady
A. Jaka jest amplituda, częstotliwość drgań i jaką szybkość posiada drgające ciało, gdy przechodzi
przez położenie równowagi, gdy jego równanie ruchu ma postać:
x (t )  0,25  sin(3  t  0,5),
gdzie wszystkie stałe wyrażone są jednostkach układu SI.
‒3‒
B. Jeśli faza początkowa drgań jest równa zeru, to w którym momencie ruchu:
1. Wychylenie jest równe połowie amplitudy?
2. Energia kinetyczna jest równa potencjalnej?
Poniżej pokazano wykres zmian energii kinetycznej i potencjalnej w czasie drgań na tle wychyleń, szybkości
drgań i przyspieszenia w tym ruchu.
Zauważmy, że energia kinetyczna
v ( t ) jest maksymalna w momentach
przechodzenia przez położenie
t równowagi (x=0), bo wtedy szybkość drgań jest największa.
x (t)
0
a (t)
E Potencjalna ( t)
Z kolei energia potencjalna jest
największa w momencie największego wychylenia; wtedy szybkość
jest równa zeru.
E Cał
t
0
Energia całkowita ECał nie zależy od
czasu.
Okres zmian energii kinetycznej
i potencjalnej jest dwa razy krótszy
niż okres drgań.
E Kinetyczna ( t )
Zbadajmy teraz jak energia kinetyczna i potencjalna zależą od wychylenia z położenia równowagi.
Energia potencjalna sprężystości odkształconej sprężyny wyraża się wzorem:
E
Potencjalna

k  x2
,
2
gdzie k oznacza współczynnik sprężystości. Maksymalna energia potencjalna przyjmuje, więc wartość:
E
Maks Poten

k  A2
 ECał .
2
Jest to jednocześnie energia całkowita, zatem energię kinetyczną można wyrazić wzorem:
EKinetyczna  ECał EPotencjalna 
k  A2 k  x 2

.
2
2
Wykresy ilustrujące powyższe relacje pokazano na poniższym rysunku.
Energia
ECał
EPotencjalna
EKinetyczna
–A
0
A
x
Energia kinetyczna jest maksymalna podczas przechodzenia ciała przez położenie równowagi, a potencjalna
przy maksymalnym wychyleniu.
‒4‒
Przykłady:
A. Przy jakim wychyleniu energia kinetyczna jest równa potencjalnej?
B. Jaki jest stosunek energii kinetycznej do potencjalnej przy wychyleniu równym 1/3 amplitudy?
Dotychczas rozważano drgania swobodne – układ wyprowadzano ze stanu równowagi i pozostawiano go
samemu sobie; układ podejmował drgania, które odbywały się samoistnie, a okres (czy częstotliwość) drgań
miał właściwą sobie wartość. Mówimy, że układ wykonywał drgania własne z okresem czy częstotliwością
drgań własnych. Przy czym z uwagi na tarcia i opory drgania takie są tłumione, ich amplituda maleje z czasem, tak jak pokazano to na poniższym rysunku (ale okres drgań nie ulega zmianie).
Drgania tłumion e
Zależność wychylenia x z położenia równowagi w
funkcji czasu t drgań, gdy układ podlega działaniu sił
tłumiących drgania. Amplituda drgań ulega tłumieniu:
At   Aeδt , gdzie δ oznacza współczynnik tłumiet nia.
x
Okres drgań pozostaje stały, chociaż różni się od
okresu drgań własnych. Częstość kołowa drgań tłumionych ω jest mniejsza niż drgań własnych swok
 δ2
bodnych i wynosi ω 
m
Drgania można także wymuszać zewnętrzną siłą zmieniającą się z określona częstotliwością. Wtedy układ
wykonuje tak zwane drgania wymuszone, a ich częstotliwość równa jest częstotliwości zmian siły wymuszającej drgania.
Rezonans mechan iczny
Amplituda drgań wymuszonych zależy do częstotliwości wymuszania. Jeśli częstotliwość wymuszania jest
równa częstotliwości drgań własnych dochodzi do rezonansu – amplituda drgań gwałtownie wzrasta, układ
drgający „bardzo chętnie” pobiera energię od układu wymuszającego drgania.
Amplituda drgań
Na poniższym rysunku pokazano, jak amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości kołowej (częstotliwości) wymuszania.
0
ωDrgań własnych
Częstość kołowa wymuszania, ω
‒5‒
Zależność amplitudy drgań wymuszonych w funkcji częstości kołowej
wymuszania. Tak zwana krzywe rezonansowe. Linia przerywana krzywa rezonansowa, gdy brak tłumienia
(w rezonansie amplituda drgań dąży
do nieskończenie dużej wartości),
niebieska odpowiada tłumieniu małemu, a czerwona – dużemu.
Fale mechaniczne
Jeśli ciało drgające (np. kamerton) wykonuje drgania w jakimś środowisku (np. w powietrzu), to drgające
ciało pobudzi do drgań (wymusi drgania) sąsiadujących z nim cząsteczek środowiska, a te z kolei pobudzą do
drgań cząsteczki, z którymi one sąsiadują – w środowisku rozchodzi się fala mechaniczna (sprężysta).
Wszystkie cząsteczki środowiska, do którego dociera drganie drgają z tą samą częstotliwością jak źródło
drgań. Każda cząsteczka, do którego dotarło drganie podejmuje drgania. Jeśli źródło drgało harmonicznie,
to w środowisku rozchodzi się fala harmoniczna.
Na poniższym rysunku czarna linia pokazuje wychylenia z położenia równowagi cząsteczek położonych na
powierzchni wody (po której rozchodzi się fala harmoniczna) w chwili 0. Jedną z cząsteczek zaznaczono, jako niebieska kulkę; w tej chwili jest ona w maksymalnym wychyleniu z położenia równowagi. Za chwilę, a
dokładniej po upływie ósmej części okresu drgań cząsteczka ta znajdzie się w położeniu 1, pozostałe cząsteczki też zmienią położenie i będą leżeć na linii zielonej. Kolejne chwile ilustruje linia czerwona i niebieska.
Można zauważyć, że sinusoidalna fala przemieszcza się w prawo (fala biegnąca w prawo), a każda cząsteczka na powierzchni wody drga w kierunku poprzecznym do kierunku rozchodzenia się fali.
Kierunek przemieszczania się fali
0 T/8 T/4 3T/8 T/2
1
Odległość od źródła drgań
2
Położenie równowagi
3
4
Pokazane wychylenia stanowią fotografię stanu powierzchni wody w kolejnych równych odstępach czasu,
co 1/8 okresu.
Równanie płaskiej fa li harmonicznej
Rozpatrzmy sytuację pokazaną na poniższym rysunku. Pokazana na rysunku płytka wykonuje drgania harmoniczne.
y
y
Źródło
drgań
Płaszczyzna w odległości y od źródła
podejmuje wymuszone drgania
x(t) = A·sin(ω·t)
Płytka wymusza drgania cząsteczek w jej otoczeniu – rozchodzi się fala. Cząsteczki w odległości y od źródła
drgają z tą samą częstością kołową jak źródło i taką samą amplitudą (jeśli środowisko jest doskonale sprężyste) ale są spóźnione w fazie względem drgań źródła o czas potrzebny na dotarcie tego drgania do rozpatrywanego punktu czyli o
‒6‒
t 
y
v fali
,
gdzie v fali oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym środowisku (fale rozchodzą się ruchem jednostajnym, w każdym środowisku z właściwą szybkością; np. w powietrzu z szybkością 340 m/s (w temperaturze pokojowej), w wodzie 1500 m/s, a w stali ponad 5000 m/s), zatem równanie opisujące drgania w rozpatrywanym punkcie opisuje równanie:

t
t y
y 
y 

x(y , t )  A  sin ω  t 
  A  sin2  π   
  A  sin2  π     ,
T λ 
 v fali 
 T T  v fali 
gdzie λ oznacza drogę, jaką fala przebiegnie w czasie jednego okresu λ  v fali T 
v fali
f
. Odległość tę nazywa
się długością fali.
Długość fali równa jest też najmniejszej odległości pomiędzy dwoma punktami, które drgają w zgodnej fazie.
Poniżej pokazano wykresy ilustrujące ruch falowy, pokazujące wychylenia punktów, do których dodarła fala
w funkcji ich odległości od źródła drgań w ustalonym momencie czasu oraz wychylenia punktu w określonej
odległości od źródła drgań w funkcji czasu.
Ustalony moment czasu t = const
Długość fali λ, czyli droga jaką fala przebędzie
w czasie okresu drgań, czyli najmniejsza odległość
pomiędzy punktami drgającymi z tą samą fazą
Wychylenie z położenia
równowagi x(y)
λ = vfali·T
Odległość od źródła
drgań y
Amplituda A drgań
„Fotografia” fali – wychylenia wszystkich
punktów, do których dotarła fala w danej
chwili t.
Na osi odciętych – odległość od źródła
drgań.
Ustalona odległość od źródła drgań y = const
Okres drgań, czyli najkrótszy odstęp czasu
pomiędzy tymi samymi fazami drgań tego
samego punktu
Wychylenie z położenia
równowagi x(t)
T
Czas t
Amplituda A drgań
Wychylenia określonego punktu (w ustalonej odległości y od źródła) w kolejnych
chwilach czasu. Każdy punkt, do którego
dociera fala harmoniczna zaczyna wykonywać drgania harmoniczne.
Na osi odciętych – czas(!).
Z ruchem falowym związany jest transport energii (nie materii, cząstki środowiska drgają jedynie wokół położenia równowagi), a do drgań pobudzane są coraz odleglejsze cząsteczki środowiska.
‒7‒
Natężen ie fa li
Parametrem opisującym transport energii w ruchu falowym jest natężenie fali I:
I
E
P

SΔt S
[I ] 
W
m2
Natężenie fali to ilość energii E, jaką przenosi fala w czasie Δt przez powierzchnię S ustawiona prostopadle
do kierunku jej rozchodzenie. Ilość energii emitowanej przez źródło fali w jednostce czasu to moc P źródła.
R
Ź
Jeżeli drgania wykonuje punktowe źródło Ź, emitując
falę równomiernie we wszystkich kierunkach do idealnie sprężystego izotropowego środowiska (rysunek
obok), to natężenie fali w odległości R od źródła można obliczyć ze wzoru:
I
E
P

.
2
4  π  R  Δ t 4  π  R2
Ponieważ powierzchnia, przez którą przechodzi fala
jest, pokazaną na rysunku obok, powierzchnią kuli.
Klasyfikacja fal
W zależności od kierunku drgań względem kierunku rozchodzenia się fali fale dzieli się na:


Poprzeczne; cząsteczki drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali (fale takie
rozchodzą się tylko w ciałach stałych i na powierzchni cieczy, np. fale rozchodzące się na powierzchni
wody).
Podłużne; cząsteczki drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali (fale takie rozchodzą się we wszystkich środowiskach materialnych, np. fala głosowa (akustyczna) rozchodząca się
w powietrzu jest falą podłużną).
W zależności od kształtu czoła (czoło fali tworzą cząsteczki, które drgają w zgodnych fazach) fali na:
 Płaskie; czoło fali jest płaszczyzną.
 Koliste; czoło fali jest kołem (fale na wodzie, gdy źródło drgań jest punktem).
 Kuliste; czoło fali jest kulą (gdy źródło drgań jest punktem, a fala rozchodzi się w jednorodnym i izotropowym środowisku).
W zależności od sposobu drgań źródła na:
 Drgania harmoniczne (proste).
 Drgania złożone.
Dyfrakcja (ugięcie) fa l
Jeśli rozchodząca się fala spotyka na swojej drodze przeszkody, których rozmiary zbliżone są do długości fali,
to podlega ona dyfrakcji (ugięciu) na tej przeszkodzie, zmienia wtedy kierunek rozchodzenia się fali, a także
kształt czoła fali, tak jak pokazuje poniższy rysunek.
Zilustrujmy dyfrakcję fal na przykładzie płaskich fal biegnących po powierzchni wody, na których drodze
‒8‒
ustawiamy „falochron”, którego „szerokość” możemy zmieniać.
λ
d
λ<<d
Dopóki „szerokość falochronu” jest bardzo duża w porównaniu z długością fali, za falochronem rozchodzi
się w tym samym kierunku płaska fala; drgania obejmują jedynie „węższy” obszar, ograniczony szerokością
falochronu.
Jeśli zawęzić „falochron” tak, że jego szerokość zbliżona jest do długości fali, to fala ulega dyfrakcji (ugięciu) na tej przeszkodzie – zmienia się
kierunek rozchodzenia się fali oraz kształt czoła fali (tak jak na pokazanym sąsiednim rysunku).
Gdy przeszkoda staje się nieskończenie wąska, to za przeszkodą rozchodzi
się fala kulista (w przestrzeni) lub kolista (na powierzchni). Rysunek obok.
Huygens uogólnił tę obserwację: każdy punkt, do którego dociera czoło fali
staje się źródłem elementarnej fali kulistej (lub kolistej); nowym źródłem fali.
Interf erencja (nakładanie, sup erpozycja) fal
Interferencja oznacza nakładanie się, sumowanie superpozycję drgań docierających do wybranego punktu
albo po różnych drogach z tego samego źródła, albo z różnych źródeł.
Rozpatrzmy proste przypadki interferencji.
Jeśli dwa źródła Z1 i Z2 fal mają tę samą częstotliwość, drgają spójnie i drgania mają taką samą fazę, to wynik
interferencji tych fal, w danym punkcie, zależy od różnicy długości dróg d, po których drgania docierają do
tego punktu.
W przypadku pokazanym na poniższym rysunku, gdy różnica dróg, po których fale docierają do miejsca interferencji jest całkowitą wielokrotnością długości fali, czyli:
d  n  λ,
do danego miejsca dochodzą drgania z obu źródeł w tej samej fazie, dochodzi, zatem do wzmocnienia drgań
w tym miejscu.
‒9‒
Z1
λ
d1 droga ze źródła Z1
Tutaj, w wyniku interferencji,
dojdzie do wzmocnienia drgań,
bo fazy obu drgań są takie same.
Z2
Δd różnica dróg, tutaj 2λ
d2 droga ze źródła Z2
Jeśli różnica dróg, po których fale docierają do miejsca interferencji jest nieparzystą wielokrotnością połowy
długości fali, czyli gdy:
λ
d  (2  n  1) ,
2
dochodzi do maksymalnego osłabienia drgań gdyż docierają fale o przeciwnych fazach (jeśli amplitudy
drgań obu źródeł są takie same zachodzi całkowite wygaszenie drgań). Patrz poniższy rysunek.
Z1
λ
d1 droga ze źródła Z1
Tutaj, w wyniku interferencji,
dojdzie do osłabienia drgań,
bo fazy drgań są przeciwne.
W pokazanym na rysunku przypadku
dojdzie nawet do wygaszenia drgań
gdyż amplitudy obu drgań są identyczne.
Z2
Δd różnica dróg, tutaj 2,5λ
d2 droga ze źródła Z2
Łatwo zauważyć, że gdyby źródła miały przeciwne fazy drgań, to powyżej omówione warunki wygaszania i wzmacniania „zamieniają się”. Przykład na poniższym rysunku.
Z1
λ
d1 droga ze źródła Z1
Tutaj, w wyniku interferencji,
dojdzie do wzmocnienia drgań,
bo fazy drgań są zgodne.
Z2
Δd różnica dróg, tutaj 2,5λ
d2 droga ze źródła Z2
Fale s tojące
Wynikiem interferencji fali biegnącej w określonym kierunku i odbitej nadbiegającej z przeciwnego kierunku
jest fala stojąca. Drgania w przypadku fali stojącej ilustruje poniższy rysunek.
‒ 10 ‒
Fala stojąca. Wynik interferencji
dwóch fal biegnących w przeciwnych
kierunkach.
Strzałka
Węzeł
Różne linie ilustrują wychylenia sznura w różnych chwilach czasu.
Widać miejsca, gdzie drgania są maksymalne, zaznaczone, jako strzałki.
Widać też miejsca gdzie nie ma drgań
– węzły.
λ
Długość fali stojącej stanowi podwojona odległość pomiędzy sąsiednimi węzłami (strzałkami).
Fale stojące w drgających strunach, drgania słupów powietrza w piszczałkach:
Struna zamocowana na obu końcach
(piszczałka zamknięta z obu stron):
L
1
1 v
L   λ   fali
2
2 f
L
1 v
 f   fali
2 L
Struna zamocowana na jednym końcu
(piszczałka zamknięta z jednej strony):
L
1
1 v
L   λ   fali
4
4 f
L
1 v
 f   fali
4 L
Struna zamocowana w środku (piszczałka otwarta z obu stron):
L
1
1 v
L   λ   fali
2
2 f
L
1 v
 f   fali
2 L
Zauważmy, że powyższe informacje tłumaczą, jak „wytwarza” się różne dźwięki przy pomocy szarpanych
i dętych instrumentów muzycznych. Jeśli chodzi o instrumenty szarpane warto pamiętać, że szybkość rozchodzenia się po niej fali wyraża wzór:
v fali 
Fn
,
μ
gdzie Fn oznacza siłę napięcia struny, a μ – liniową gęstość struny, czyli masę jej jednostki długości.
Odbicie i załamanie fal
Gdy fala pada na granicę dwóch różnych środowisk podlega na niej, odbiciu i zazwyczaj załamaniu. Poniższy
rysunek ilustruje te zjawiska.
‒ 11 ‒
normalna do płaszczyzny
oddzielającej środowiska
fala odbita
fala padająca
vα
vβ
α α
β
fala załamana, gdy vα<vβ
vα<vβ
Na granicy pomiędzy dwoma różnymi środowiskami fala ulega odbiciu (kąt odbicia równy jest kątowi padania) i załamaniu.
Fala załamana i odbita mają taką
samą częstotliwość jak padająca.
Drgania odbywają się z częstotliwością źródła wymuszającego
drgania ośrodka.
Fala załamana rozchodzi się z infala załamana, gdy vα>vβ ną prędkością niż padająca, zatem
zmienia się też jej długość i kierukierunek fali padającej nek rozchodzenia. Nie ulega
zmianie częstotliwość fali.
β
vα>vβ
Prawo odbicia:
Kąt odbicia równy jest kątowi padania.
Prawo załamania:
Promień padający, odbity, załamany i normalna poprowadzona do powierzchni granicznej w punkcie padania fali leżą w jednej płaszczyźnie oraz:
sinα 
sin β 

vα
λ
 α  const .
v β λβ
Czyli sinus kąta załamania jest proporcjonalny do sinusa kąta padania. Wzrost kąta padania pociąga za sobą
wzrost kąta załamania, ale nie wprost proporcjonalny.
Fala „załamuje się” do normalnej, gdy zmniejsza się jej prędkość i od normalnej, gdy zwiększa się jej prędkość (możliwe jest wtedy całkowite odbicie wewnętrzne).
Ponadto:
vα v β
  f  const
λα λβ
Przykład:
Wyznacz kąt graniczny dla fali mechanicznej na granicy powietrze woda.
Fale akus tyczne (dźwiękowe)
Rodzajem fal mechanicznych są fale akustyczne, czyli fale, które są zdolne do pobudzenia zmysłu słuchu.
Człowiek słyszy w zakresie częstotliwości od 20 Hz do 20000 Hz, o ile natężenie fali jest wyższe od progu słyszalności. Próg słyszalności to najmniejsze natężenie dźwięku o danej częstotliwości, które jest w stanie
wywołać wrażenie słuchowe.
Fale o częstotliwościach niższych niż 20 Hz nazywa się infradźwiękami, a o wyższych niż 20000 Hz ultradźwiękami.
Na poniższym rysunku pokazano charakterystykę zdrowego ucha.
‒ 12 ‒
140
120 fonów
120
10–0
100 fonów
100
80
60
40
20
0
próg słyszalności
–20
100
20 Hz
10–2
80 fonów
10–4
60 fonów
10–6
40 fonów
10–8
20 fonów
10–10
0 fonów
10–12
1000
częstotliwość, Hz
10000
natężenie dźwięu, W/m2
poziom natężenia, dB
10+2
próg bólu
10–14
20 kHz
zakres najlepszej
słyszalności: 2 ÷ 6 kHz
Relacje pomiędzy obiektywnymi i subiektywnymi właściwościami dźwięku wyjaśnia poniższa tabela.
Cechy fizyczne (obiektywne) dźwięku:
Cechy psychologiczne (subiektywne):
Częstotliwość
Natężenie
Struktura widmowa
Wysokość
Głośność
Barwa dźwięku
Poziom natęż enia dź więku
Wrażenie głośności jest proporcjonalne do poziomu natężenia dźwięku L
I
L  10  log   ,
 I 0 
gdzie I oznacza natężenie dźwięku, a I 0 = 10−12 W/m2 oznacza natężenie dźwięku odpowiadające progowi
słyszalności dla częstotliwości 1 kHz. Jednostką tak zdefiniowanego poziomu natężenia jest dB (decybel).
Zjawisko Dopp lera
Zjawisko to prowadzi do zmiany wysokości dźwięku, gdy źródło dźwięku lub słuchacz, lub gdy źródło i słuchacz poruszają się względem siebie. Wyjaśnienie efektu w przypadku poruszającego się źródła dźwięku
względem słuchacza pokazano na rysunku zamieszczonym niżej.
‒ 13 ‒
vdźwięku
λ
λ
λ = vdźwięku T
słuchacz
vźródła
λ
λ = (vdźwięku + vźródła)T
słuchacz
fźródła =
słuchacz
źródło
dźwięku
λ
λ = (vdźwięku – vźródła)T
Efekt Dopplera. Zmiana wysokości dźwięku, gdy źródło dźwięku porusza się względem słuchacza.
Gdy oddala się od słuchacza ruchem jednostajnym, to do słuchacza dociera dźwięk o stałej wysokości
niższej od tej, gdy źródło spoczywało.
Gdy źródło zbliża się do słuchacza ruchem jednostajnym, to do słuchacza dociera dźwięk o stałej wysokości
wyższej od tej, gdy źródło spoczywało.
Podobny efekt obserwuje się, gdy obserwator porusza się względem źródła.
W ogólnym przypadku obserwator odbiera częstotliwość f:
f f 
vdź  vob
vdź  vźr
Znaki „górne” odpowiadają sytuacji, gdy źródło i obserwator zbliżają się do siebie wzdłuż linii prostej, dolne,
gdy – oddalają się
‒ 14 ‒