Znajdowanie związków miarowych w równoległobokach i trapezach

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 36
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
36.Znajdowanie związków miarowych
w równoległobokach i trapezach,
także z zastosowaniem trygonometrii.
I.
Przypomnij sobie:
1. Wzory na pola niektórych czworokątów (wzory maturalne):
Mm Trapez
mm P 
ab
h
2
Równoległobok
P  ah  a  b  sin  
ii
Romb
m
P  ah  a 2  sin  
1
 AC  BD  sin 
2
1
 AC  BD
2
2. W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy.
3. W rombie przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład
Pole trapezu równoramiennego jest równe 39 3 cm2 . Ramię długości 6 3 cm tworzy z
dłuższą podstawą kąt o mierze 30o . Oblicz obwód L trapezu i długość d przekątnej trapezu.
Rozwiązanie:
Rozpatrując trójkąt prostokątny CEB otrzymujemy:
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 36
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
sin EBC 
CE
1
h
, czyli 
, skąd mamy: h  3 3
CB
2 6 3
oraz
EB
EB
3
, czyli
, stąd EB  9 .

CB
2
6 3
Trapez ABCD jest równoramienny, więc „odcięty” trójkąt CEB jest przystający do „odciętego”
trójkąta A, a więc AF  EB  9 . Zatem a  AB  AF  FE  EB  9  b  9  b  18 .
cos EBC 
Pole trapezu P  39 3 , a jednocześnie P 
otrzymujemy:
b  18  b
39 3 
3 3
2
2b  18
13 
2
13  b  9
ab
 h . Wstawiając obliczone wartości
2
/ :3 3
b4
Czyli a  b  18  4  18  22 , a obwód
L  AB  BC  CD  AD  22  6 3  4  6 3  (26  12 3) [cm].
Długość d przekątnej trapezu obliczymy z twierdzenia Pitagorasa dla tró jkąta prostokątnego
AEC: AE  EC  AC
2
2
2
 
czyli 9  42  3 3  d 2 . Zatem
2
d 2  132  9  3  169  27  196 , więc d  196  14 [cm].
Odpowiedź: Obwód trapezu wynosi L  (26  12 3 ) cm, a długość przekątnej d  14 cm.
Przykład
Obwód figury wyróżnionej kolorem na rysunku obok jest równy:


A. 8 1  5 ,



B. 8 1  3 ,

C. 8 1  3 ,


D. 8 1  5 .
Rozwiązanie:
Figura wyróżniona kolorem jest równoległobokiem o dwó ch bokach długości 4 i dwóch
bokach długości d, gdzie d 2  42  82 (z tw. Pitagorasa dla białych trójkątów).
d 2  16  64  80 , więc d  80  16  5  4 5 . Zatem obwód
L  2  4  2  4 5  8  8 5  8 1 5

Prawidłowa odpowiedź to D.
Przykład

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 36
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Stosunek długości ramion trapezu prostokątnego jest równy 2:1. Miara kąta rozwartego tego
trapezu jest:
A. mniejsza od 120o ,
B. równa 120o ,
C. równa 150o ,
D. większa od 150o .
Rozwiązanie:
Na rysunku obok mamy trapez prostokątny a w nim DE  BC . Z warunków zadania wiemy,
AD 2
 , czyli AD  2 BC .
BC 1
Rozpatrujemy trójkąt AED:
DE
BC
1
sin DAE 

 , więc kąt DAE ma miarę 30o .
AD 2 BC 2
że
Suma miar kątów w czworokącie jest równa 360 o ( ABC  BCD  CDA  DAE  360o ),
czyli 90o  90o  CDA  30o  360o . Dalej: CDA  360o  90o  90o  30o  150o
Czyli prawidłowa odpowiedź to C.
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Różnica długości przekątnych rombu równa jest 4 cm. Wiedząc, że obwód tego rombu ma
długość 232 cm, oblicz długości przekątnych.
Zadanie 2. (1 pkt)
Z wzoru na pole P 
A.
2 P  bh
,
h
ab
h długość podstawy a trapezu określa wyrażenie:
2
B.
2 P  bh
,
h
C.
 2 P  bh
,
h
Zadanie 3. (1 pkt)
Pole trapezu ABCD przedstawionego na rysunku obok jest równe:
A.
13
3,
2
Zadanie 4. (2 pkt)
B. 39
3
,
2
C. 39,
D. 78.
D.
P  2bh
.
h
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 36
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Podstawa trapezu wpisanego w okrąg o promieniu 12 jest średnicą tego okręgu. Kąt ostry
trapezu ma miarę 45o . Oblicz pole P i obwód L tego trapezu.