1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Wielokąty podobne. Dwa wielokąty

Zajęcia nr 58 (TM6) – Wielokąty podobne.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Wielokąty podobne.
Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a
odpowiednie boki proporcjonalne.
Przykład 1.
Dwa dowolne romby o kacie ostrym 60 są podobne.
W obydwu rombach odpowiednie kąty są równe: kąty ostre mają po 60 , a kąty
rozwarte po 120 .
Odpowiednie boki są proporcjonalne:
AB
BC
CD
DA x




EF
FG GH
HE y
Zatem takie romby są podobne, a ich skala podobieństwa jest równa
x
.
y
Przykład 2.
Jeden z boków prostokąta ma długość 18 cm. Jaka powinna być długość
drugiego boku tego prostokąta, by był on podobny do prostokąta o bokach
długości 8 cm i 12 cm.
Oznaczam długość szukanego boku prostokąta przez x. Aby prostokąty były
podobne, musi zachodzić jedna z proporcji:
18 x
18 x
 lub

12 8
8 12
Zajęcia nr 58 (TM6) – Wielokąty podobne.
Robert Malenkowski
więc
x  12cm lub x  27cm
Uwaga!
3
2
9
4
W pierwszym przypadku skala podobieństwa wynosi k  , w drugim k  .
Bardzo ważny fakt!
Jeżeli skala podobieństwa figur podobnych równa się k, to stosunek ich pól
jest równy k2 a stosunek objętości k3.
Przykład 3.
Bok jednego kwadratu jest o 20% dłuższy od boku drugiego kwadratu. Jaka jest
skala podobieństwa tych kwadratów? Ile wynosi stosunek ich pól?
Niech bok pierwszego kwadratu ma długość x, wówczas bok drugiego kwadratu
6
5
6
5
ma długość x  20% x  120% x  x . Zatem skala podobieństwa k  . Jeżeli skala
podobieństwa tych kwadratów jest równa k 
k
36
.
25
6
to stosunek ich pól jest równy
5
Zajęcia nr 58 (TM6) – Wielokąty podobne.
Robert Malenkowski
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Dane są wymiary par prostokątów. Które z nich są podobne?
a. 12 18 i 6 12
b. 20  5 i 4 1
c. 20 10 i 4  5
d. 2  5 i 6 14
2. Suma pól dwóch figur podobnych jest równa 340 dm2, a ich skala
podobieństwa wynosi 4 . Pole mniejszej z figur wynosi:
a. 40
b. 20
c. 80
d. 60
3. Trapez równoramienny o podstawach długości 4 i 9 podzielono na dwa
trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Skala podobieństwa jest
równa:
a.
2
3
b.
1
3
c.
2
5
d.
5
6
4. Suma obwodów dwóch figur podobnych jest równa 260 cm, a ich skala
podobieństwa wynosi
a. 120
b. 100
c. 180
d. 160
5
. Obwód większej z figur wynosi:
8
Zajęcia nr 58 (TM6) – Wielokąty podobne.
Robert Malenkowski
5. Prostokąt P ma boki długości 12 i 16. Prostokąt R ma przekątną długości 25 i
jeden z boków długości 20. Podaj skalę podobieństwa tych prostokątów.
a.
2
5
b.
4
3
c.
3
5
d.
4
5