Wykªad z dnia 02.10.07

Analiza matematyczna
yaras
26 stycznia 2008
Cz¦±¢ I
Wykªad z dnia 02.10.07
1
Dla analizy matematycznej poj¦ciem podstawowym jest poj¦cie granicy.
2
Przestrze« metryczna
Dane s¡: niepusty zbiór X oraz funkcja ρ :
X × X → R+ ∪ {0}. Funkcj¦ t¦ nazywamy metryk¡ przestrzeni
(odlegªo±ci¡) je»eli speªnione s¡ nast¦puj¡ce 3 postulaty:
1. ∀x,y∈X :
ρ(x, y) ≥ 0,
ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. ∀x,y∈X :
ρ(x, y) = ρ(y, x)(tzw. symetria)
3. ∀x,y∈X :
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)(tzw. nierówno±¢ trójk¡ta)
Zbiór < X, ρ > - przestrze« metryczna
2.1 Przykªady przestrzeni metrycznych
2.1.1
Metryka
Przestrze« metryczna zbiór z wprowadzonym uogólnieniem poj¦cia odlegªo±ci dla jego elementów. Przestrze« metryczn¡ nale»y
rozumie¢ jako uogólnienie przestrzeni euklidesowych (prostej, pªaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej). Metryki mo»na bowiem
okre±la¢ nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale równie» na innych zbiorach (na przykªad na zbiorze sªów lub funkcji) lub
na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach.
2.1.2
X=R
Przykªad metryki
ρ(x, y) = |x − y| |a + b| ≤ |a| + |b|
1. |a| = 0 ⇔ a = 0,
x−y =0⇔x=y
2. ρ(x, y) = |x − y| = | − y + x| = |(−1)(y − x)| = | − 1| · |y − x| = |y − x| = ρ(y, x)
3. ρ(x, y) = |x − y| = |x − z + z − y| = |(x − z) + (z − y)| ≤ |x − z| + |z − y| = ρ(x, z) + ρ(z, y)
2.1.3
Metryka zerojedynkowa (binarna)
2.1.4
Metryka taksówka
(
1 ⇔ x 6= y
ρ(x, y) =
0⇔x=y
ρ(A, B) = |xa − xb | + |ya − yb |
1
2.1.5
Metryka maksymalna
ρ(A, B) = max{|xa − xb |, |ya − yb |}
2.1.6
Metryka Euklisesowa
ρ(A, B) =
2.1.7
p
(xa − xb )2 + (ya − yb )2
Metryka metra paryskiego
p
2
2

if
 (xa − xb ) + (ya − yb )
ρ(A, B) = else
p

p 2
2)+
2)
(xA + yA
(x2B + yB
2.1.8
ya
xa
=
yb
xb
⇒ xa yb = ya xb
Metryka rzeki
(
|yA − yB |
if
xA = xB
ρ(A, B) =
|yA | + |yB | + |xA − xB |
if
xA 6= xB
2.2 Dana jest przestrze« metryczna < X, ρ >. Dla ka»dej pary (x,y) tej przestrzeni deniujemy
funkcj¦:
ρ(x,y)
d(x, y) = 1+ρ(x,y)
Dd =< 0; 1)
1. d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. Zaªo»enia: a, b, c ≥ 0,
Twierdzenie:
a
1+a
+
b
1+b
a+b≥c
≥
c
1+c
Dowód niewprost istnienia a, b, c ≥ 0
a
b
1+a + 1+b
a+ab+b+ab
(1+a)(1+b)
a+2ab+b
a+b+ab+1
<
<
<
∧
a + b ≥ c:
c
1+c
c
1+c
c
1+c
(a + 2ab + b)(1 + c) < c(a + b + ab + 1)
a + 2ab + b + abc < c
2
a + b − c + |{z}
2ab + |{z}
abc < 0 sprzeczno±¢
| {z }
≥0
≥0
≥0
2.3 Kula
Niech b¦dzie dana przestrze« metryczna < X, ρ > oraz r > 0.
punktów speªniaj¡cych warunek ρ(x0 , x) ≤ r.
‘rodek kuli tak»e nale»y do kuli, ±rodek sfery natomiast nie nale»y do sfery.
K(x0 , r) = {x ∈ X :
Sfera S(x0 , r) = {x ∈ X :
ρ(x0 , x) ≤ r}
ρ(x0 , x) = r}
2.3.1
Kula w przestrzeni Euklidesowej
2.3.2
Kula w przestrzeni taksówkowej
r=1
|xA − xB | + |yA − yB | = 1
|xA | + |yA | = 1
xB = 0,
yB = 0
⇒
y = −x + 1
1. Z :
xA , yA > 0
2. Z :
xA > 0, yA < 0
x−y =1
3. Z :
xA < 0, yA > 0
−x+y =1
⇒
y =x+1
4. Z :
xA < 0, yA < 0
−x−y =1
⇒
y = −x − 1
2.3.3
x+y =1
⇒
y =x−1
Kula w przestrzeni maksymalnej
2.4 Zbie»no±¢
2.4.1
Zbie»no±¢ (dªugo±¢)
3
Kul¡ o ±rodku x0 i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich
2.4.2
Zbie»no±¢ (odlegªo±¢ od drogi)
2.5 Dowód niewprost niewymierno±ci
Zaª:
√
2∈W
⇒
√
2=
√
2.
L
M
Ka»d¡ liczb¦ wymiern¡ mo»na zapisa¢ w postaci uªamka nieskracalnego, zatem mo»emy zaªo»y¢, »e liczby L i M s¡ wzgl¦dnie pierwsze, tj.
nie posiadaj¡
wspólnych dzielników oprócz 1.
2
L
2
2= M
= L2
2 ⇒ 2M
2
2
Z 2M = L wynika i» L2 jest parzyste. A na mocy lematu1 , oznacza, »e L jest parzysta. Istnieje zatem liczba naturalna K
taka, »e L = 2K . Podstawiamy wi¦c L = 2K do ostatniej równo±ci:
2M 2 = (2K)2 = 4K 2
M 2 = 2K 2
Zatem liczba M 2 jest tak»e parzysta. A to, ponownie na mocy lematu, oznacza, »e liczba M jest parzysta. Otrzymali±my
sprzeczno±¢ - zaªo»yli±my,
√ »e L i M s¡ wzgl¦dnie pierwsze, a otrzymali±my, i» posiadaj¡ one wspólny dzielnik 2. Sprzeczno±¢ ta
ko«czy dowód - liczba 2 jest niewymierna. (wiki)
1 Kwadrat
parzystej liczby naturalnej jest liczb¡ parzyst¡, za± nieparzystej - nieparzyst¡.
4