Kolokwium z Topologii II rok Matematyki, semestr

Nazwisko i imie:
, ............................................................
Kolokwium z Topologii
II rok Matematyki, semestr trzeci
1. Niech A bedzie
podzbiorem przestrzeni R2 określonym nastepuj
aco:
,
,
,
A = {(x, y) | 0 < x 6 1, y = x/n, n ∈ N} .
i niech metryka w przestrzeni R2 bedzie
a) metryka, euklidesowa, b) metryka, ”kolejowa”.
Czy punkt
,
,
A? Odpowiedź uzasadnij.
p = (1, 0) należy do domkniecia
,
2. Funkcja d : R × R → R dana jest wzorem d(x, y) = |x| + |y|, dla x 6= y oraz d(x, x) = 0.
1) Wykazać, że d jest metryka, w zbiorze liczb rzeczywistych.
2) Czy każdy zbiór otwarty w metryce d jest zbiorem otwartym w metryce euklidesowej? Odpowiedź
uzasadnij.
3. Ustawmy liczby wymierne Q w ciag
, {qn }n∈N i określmy funkcje, f : R → R wzorem:
1
jeśli x = qn
n,
f (x) =
.
0, jeśli x ∈ R \ Q
Wykazać, że f jest funkcja, ciagla, w punkcie t wtedy i tylko wtedy, gdy t ∈ R \ Q.
4. Podaj definicje, przestrzeni ośrodkowej. Czy przestrzeń z zadania 2 jest ośrodkowa?
5. Czy funkcja f : [0, 1) → S 1 dana wzorem f (x) = (cos 2πx, sin 2πx) jest homeomorfizmem? Odpowiedź
uzasadnij.
(Uwaga. S 1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 jest okregiem
jednostkowym w plaszczyźnie euklidesowej,
,
zaś [0, 1) jest przedzialem na prostej euklidesowej.)