( ) ω

5.3.5. Ruch śrubowy
W punkcie 5.3.2 wykazano, że prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu
ogólnym jest sumą dwóch składowych:
a) prędkości v O ′ , która jest prędkością punktu O′ (bieguna),
b) prędkości ω× r ′ wynikającej z ruchu obrotowego bryły z prędkością kątową
ω wokół tego bieguna.
Po zmianie bieguna O ′ na inny nie zmieni się prędkość kątowa ω , zmianie
ulegnie natomiast prędkość bieguna v O ′ oraz kąt α zawarty pomiędzy wektorami
ω i v O′ (rys. 5.12). W związku z tym nasuwa się pytanie, czy istnieje taki biegun
redukcji C, w którym kąt D będzie równy zeru, czyli wektor vC będzie równoległy
do wektora prędkości kątowej ω.
Wykażemy, że dla wszystkich
vC
punktów C leżących na prostej l
wektory te będą do siebie
równoległe.
Znajdowanie takich punktów
C, dla których w każdej chwili
czasu wektor vC jest równoległy
do wektora ω , nazywamy
sprowadzaniem ruchu ogólnego
bryły do ruchu śrubowego.
ω
vO′ α
ω
O′
rO
rC′
rC
O
C
l
Rys. 5.12. Ruch śrubowy bryły
Punkt C leży na prostej l
równoległej do wektora ω , nazywanej chwilową osią ruchu śrubowego.
Dla wyznaczenia prędkości ruchu śrubowego vC i położenia chwilowej osi l
ruchu śrubowego, rC′ = O ′C , założymy, że znane są wektory rO′ , v O′ i ω . Prędkość
punktu C zgodnie z równaniem (5.32) możemy wyrazić wzorem:
v C = v O′ + ω× rC′ .
(5.43)
Po pomnożeniu powyższego wzoru skalarnie przez ω otrzymamy:
v C ⋅ ω = v O′ ⋅ ω + (ω× rC′ ) ⋅ ω .
(a)
Jeżeli iloczyn mieszany występujący w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze
wzorem (2.31), to zauważymy, że jest on równy zeru.
(ω× rC′ ) ⋅ ω = rC′ ⋅ (ω× ω ) = 0 .
W tej sytuacji równanie (a) upraszcza się do postaci
v C ⋅ ω = v O′ ⋅ ω .
Ponieważ wektory po lewej stronie tego równania są równoległe, na podstawie
definicji iloczynu skalarnego można napisać:
v C ω = v O′ ⋅ ω .
(b)
Stąd moduł prędkości vC punktu C
v C = v O′ ⋅ ω /ω.
(5.44)
Prędkość vC punktu C otrzymamy po pomnożeniu powyższego wzoru przez
wektor jednostkowy ω/ω o kierunku osi l
v C = (v O′ ⋅ ω )ω /ω2 .
(5.45)
W celu wyznaczenia wektora rC′ porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na
prędkość vC. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:
v O′ + ω× rC′ = (v O′ ⋅ ω )ω /ω2.
Po przeniesieniu prędkości v O ′ na prawą stronę i sprowadzeniu do wspólnego
mianownika mamy:
ω× rC′ = [ (v O′ ⋅ ω )ω − ω2 v O′ ] /ω2
lub
ω× rC′ = [ ω(v O′ ⋅ ω )− v O′ (ω⋅ ω ) ] /ω2.
W porównaniu ze wzorem (2.34) łatwo zauważyć, że wyrażenie występujące
w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem
podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to możemy zapisać w taki
sposób:
ω× rC′ = [ ω× (ω× v O′ ) ] /ω2 .
(5.46)
W powyższym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma rC′ . Łatwo
zauważyć, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:
rC′ = (ω× v O′ ) /ω2 + λ ω ,
(5.47)
gdzie λ jest dowolną wielkością dodatnią lub ujemną.
Wzór ten opisuje położenie wszystkich punktów C leżących na prostej
równoległej do prędkości kątowej ω . Jest to więc szukane równanie chwilowej osi
l ruchu śrubowego w układzie ruchomym (związanym z bryłą). W układzie
współrzędnych x ′, y ′ , z ′ równanie to możemy zapisać w postaci trzech
równoważnych parametrycznych równań skalarnych:
x ′C =
ω y′ v O′z′ − ω z′ v O′y′
ω
ω z′ v O′x′ − ω x′ v O′z′
y ′C =
ω2
ω x′ v O′y′ − ω y′ v O′x′
z ′C =
ω2
2
⎫
+ λω x′ ,⎪
⎪
⎪
+ λω y′ ,⎬
⎪
+ λω z′ . ⎪
⎪⎭
(5.48)
Na rysunku 5.12 widzimy, że położenie każdego punktu C chwilowej osi ruchu
śrubowego w układzie nieruchomym wyznacza promień wodzący r, który można
przedstawić w postaci sumy wektorów rO′ i rC′ . Po uwzględnieniu wzoru (5.47)
wektorowe równanie chwilowej osi ruchu śrubowego w układzie nieruchomym
będzie miało postać:
rC = rO′ + rC′ = rO′ + (ω× v O′ ) /ω2 + λ ω .
(5.49)
Temu równaniu w układzie nieruchomym będą odpowiadały trzy parametryczne
równania. W tym celu wektory występujące w równaniu (5.49) należy wyrazić
w układzie współrzędnych x, y, z:
x C = x O′ +
y C = y O′ +
z C = z O′ +
ω y v O′z − ω z v O′y
ω2
ω z v O′x − ω x v O′z
ω2
ω x v O′y − ω y v O′x
ω2
⎫
+ λω x ,⎪
⎪
⎪
+ λω y ,⎬
⎪
⎪
+ λω z . ⎪
⎭
(5.50)
Wykazaliśmy tym samym, że ruch ogólny bryły można w dowolnej chwili
sprowadzić do ruchu śrubowego zdefiniowanego na wstępie tego punktu. Ruch ten
jest sumą dwóch ruchów prostych:
a) obrotowego z prędkością kątową ω wokół chwilowej osi ruchu śrubowego,
b) postępowego z prędkością vC wzdłuż tej osi.
ω
vc
v
vc
C
ω x CM
l
M
Rys5.13. Złożenie ruchu ogólnego bryły z ruchu obrotowego wokół chwilowej osi ruchu
śrubowego i ruchu postępowego wzdłuż tej osi
Jeżeli zamiast dowolnego bieguna O ′ obierzemy biegun redukcji C leżący na
chwilowej osi l ruchu śrubowego (rys. 5.13), to prędkość v dowolnego punktu M
bryły będzie sumą dwóch wzajemnie prostopadłych składowych: po-stępowej vC i
obrotowej ω× CM :
v = v C + ω× CM .
Analizując ruch śrubowy bryły, możemy rozróżnić dwa przypadki:
a) vC(t) ≠ 0; wtedy najprostszym ruchem bryły jest chwilowy ruch śrubowy; nie
będziemy się tu nim zajmować;
b) vC(t) = 0; wtedy − jak to widać na rys. 5.12 i 5.13 − ruch bryły sprowadza się
do chwilowego obrotu wokół osi l, którą będziemy nazywać chwilową osią obrotu.