yo yo

MECHANIKA OGÓLNA (II)
Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2015/2016
Liczba godzin:
sem. II*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz.
sem. III*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. (dla kier. IMM 15 godz.)
*)
Wykładający:
egzamin
prof. dr hab. inż. Edmund
Wittbrodt
Katedra Mechaniki i Mechatroniki
p. 101 (sekretariat p. 102) WM
Ćwiczenia tablicowe: dr inż. Błażej Witkowski, mgr inż. Grzegorz Banaszek, mgr inż. Piotr Patrosz,
mgr inż. Paweł Wawrzyniak, mgr inż. Jan Kapliński, mgr inż. Krzysztof Bobrowski,
mgr inż. Barbara Kowalska
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch płaski
Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do
pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą.
Punkty bryły o jednakowych
prędkościach i przyspieszeniach
π
Bryła w ruchu płaskim
π 0 (płaszczyzna kierująca)
Punkty ciała leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierującej poruszają się po takich samych torach, mają
jednakowe prędkości i przyspieszenia. Zatem dla badania ruchu płaskiego wystarczy wziąć pod uwagę dowolny przekrój
ciała płaszczyzną równoległą do kierującej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch płaski jest superpozycją (złożeniem) ruchów: postępowego dowolnie wybranego punktu ciała (bieguna) i obrotowego
wokół tego wybranego punktu. Ruch płaski można też traktować jako ruch obrotowy, wokół pewnego punktu, tzw. środka
obrotu. Środek obrotu zmienia swoje położenie podczas ruchu.
a)
B
B’
φ
A
A’
b)
Ruch płaski jako: a) superpozycja ruchu postępowego
i obrotowego, b) ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu
B
B’
A
A’
Cv
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie bryły
Aby określić położenie ciała na płaszczyźnie należy podać trzy współrzędne (bryła ma trzy stopnie swobody). Na ogół są to:
Położenie bryły w ruchu płaskim
y
A
A0
r
φ
– dwie współrzędne bieguna O(x, y):
ψ
O
xO = xO(t),
rA
rO
yO
xO
yO = yO(t),
x
(3.34a)
– kąt, o jaki obróciło się ciało
ϕ = ϕ(t).
(3.34b)
Położenie dowolnego punktu A bryły, względem nieruchomego układu osi x, y, określamy za pomocą wektora
położenie punktu A, względem bieguna, opisuje wektor OA , gdzie
rA .
Ponieważ
OA = r = r cosψ i + r sin ψ j ,
więc wektor
rA
przyjmuje postać
rA = rO + r = ( xO + r cosψ ) i + ( yO + r sinψ ) j .
(3.35)
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość bryły
Prędkość ciała w ruchu płaskim jest określona, jeżeli znamy prędkość bieguna vO oraz prędkość kątową bryły ω .
Prędkość bieguna obliczamy różniczkując współrzędne bieguna z równania (3.34a) względem czasu
vO = vOx i + vOy j
gdzie:
vOx = x&O ,
,
(3.36a)
vOy = y& O ,
natomiast prędkość kątową obliczamy różniczkując kąt obrotu ciała z równania (3.34b) względem czasu
ω = ϕ& k
(3.36b)
Wielkości opisujące prędkość bryły w ruchu płaskim
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość liniową punktu A bryły obliczamy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.35)
v A = r&A = r&O + r& = vO + v AO .
(3.37)
Prędkość vO jest prędkością bieguna i dana jest równaniem (3.36a), natomiast v AO , która jest prędkością punktu A
względem bieguna O , obliczamy – jak dla ruchu obrotowego – z zależności
v AO
= r& = ω × r =
rω cosψ j
r
y
O
O
k
0
0
r cosψ
r sin ψ
ω ,
(3.38)
0
zatem
v A = v Ax i + v Ay j ,
y& O j
A
j
vA
v Ay
y& O j
i
v Ax
rω sinψ i
gdzie:
v Ax = x&O − rω sinψ ,
(3.39)
v Ay = y&O + rω cosψ .
x& O i
ω
ψψ
x& O i
x
Wektor prędkości punktu bryły w ruchu płaskim
Prof. Edmund Wittbrodt
Wartość wektora prędkości punktu A obliczamy (rys. 3.28)
2
2
v A = v Ax
+ v Ay
= ( x&O − rω sinψ ) 2 + ( y&O + rω cosψ )2
= ( x&O ) 2 + ( y&O )2 + r 2ω 2 − 2rω ( x&O sin ψ − y&O cosψ ) .
Często wygodniej jest obliczać prędkość punktu A, korzystając ze współrzędnych naturalnych do opisu prędkości
względnej. We wzorze (3.37), jak poprzednio, v0 jest prędkością bieguna, a v AO jest prędkością względną punktu A
względem bieguna O. Zatem
v A = vO + v AO ,
gdzie:
vO = r&O ,
przy czym:
(3.40)
v AO = r& = ω × r ,
v AO = ω r = ϕ& r ,
zaś kierunek wektora
co można też zapisać
v AO
jest prostopadły do wektora ω i do wektora r (zgodny z kierunkiem osi t)
v AO = ϕ& ret .
Ostatecznie zależność na prędkość punktu A bryły przyjmuje postać
v A = vO + ϕ& ret .
(3.41)
t
vA
r ϕ&et
vO
AA
ω = ϕ&
Określenie prędkości punktu A bryły
w ruchu płaskim przy danej prędkości punktu O
r
vO
n
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 1
W ruchu płaskim istnieje punkt, którego prędkość jest równa zero. Jest to chwilowy środek prędkości.
Przyjmując za biegun chwilowy środek prędkości (O ≡ Cv) prędkość dowolnego punktu A możemy obliczyć z zależności
v A = ωρ A et .
A
vA
t
ρA
ω = ϕ&
Cv ≡ 0
n
Prędkość punktu A bryły w ruchu płaskim
przy wykorzystaniu chwilowego środka prędkości
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 2
Wektor prędkości punktu bryły jest prostopadły do promienia łączącego chwilowy środek prędkości z tym punktem.
Twierdzenie 3
Końce wektorów prędkości dowolnych punktów bryły w ruchu płaskim są widziane pod tym samym kątem ϕ z
chwilowego środka prędkości, przy czym
ϕ = arctgω
.
B
Prędkości punktów bryły widziane z chwilowego środka prędkości Cv
vB
ρB
vA
A
ϕ
ϕ
ρA
ω
Cv
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 4
Rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów bryły na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
v A cos α = vB cos β .
vA
v B cos β
α
A
v A cos α
B
β
vB
Rzuty wektorów prędkości punktów A i B bryły
na prostą łączącą te punkty
Twierdzenie to jest słuszne dla dowolnego ruchu bryły. Gdyby rzuty wektorów prędkości punktów nie były sobie równe, to
odległość pomiędzy tymi punktami musiałaby się zmieniać, co jest z założenia niemożliwe dla bryły sztywnej.
Prof. Edmund Wittbrodt