Matematyka - lista 8 1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) - E-SGH

Matematyka - lista 8
1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji
i warstwice
f (x, y)
f −1 (c).
Narysowa¢ dziedzin¦ i warstwice w
ukªadzie wspóªrz¦dnych.
(a)
f (x, y) = xy , c = 1, −2.
(b)
f (x, y) =
x
x2 +y 2 ,
(c)
f (x, y) =
x+y
x−y ,
(d)
c = 12 , 1.
c = 0, 1.
(e)
f (x, y) = ln(x − y), c = 0, 1, 2.
p
f (x, y) = 25 − x2 − y 2 , c = 0, 1, 2.
(f )
f (x, y) = ex/y , c = 1, 2.
(g)
f (x, y) = y 2 − x2 , c = 0, −2, −4.
fx0 , fy0
2. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe
(a)
dla
√
f (x, y) = x3 y 2 + 2x2 y + x4 + 4y 3 − 1
(b)
(x3 + 2y 2 )e
x2 +y 3
(c)
xy 2 ln(x3 + y 4 ).
00
00
00
dla funkcji z poprzedniego zadania.
, fyy
, fxy
3. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du fxx
4. (E) Niech
f (x, y) = exy .
f −1 (c) dla c = 1, e, e−1 .
(b) Narysowa¢ warstwice i gradient ∇f (1, 0) w R2 .
(c) Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego prostymi x = 1, x = e, y = 0
(a) Poda¢ równanie warstwic
5. (E) Niech
f −1 (e).
f (x, y) = (y 2 − 1) ln(x2 − x + 1).
(a) Poda¢ równanie warstwicy
(b) Sprawdzi¢ czy
f
f −1 (0)
i narysowa¢ j¡ w
R2 .
ma ekstremum lokalne w punktach
mum je±li istnieje).
6. (E) Niech
i krzyw¡
2
−2y
f
−1
f (x, y) = (x2 − 4)(ey
(a) Poda¢ równanie warstwicy
(b) Sprawdzi¢ czy
f
( 21 , 0) i (0, 1)
(poda¢ rodzaj ekstre-
− 1).
(0)
i narysowa¢ j¡ w
R2 .
ma ekstremum lokalne w punktach
(0, 1)
and
(2, 0)
(poda¢ rodzaj eks-
tremum je±li istnieje).
7. (E) Niech
f (x, y) = ln(x2 + 3x − y).
(a) Wyznaczy¢ i zaznaczy¢ w
R2
(b) Znale¹¢ równanie warstwicy
w
dziedzin¦
f
−1
(c)
f.
dla
c = ln 4 i c = ln 10
oraz narysowa¢ te warstwice
R2 .
(c) Obliczy¢ gradient funkcji
wzgl¦du na zmienn¡
x
f
w punkcie
przy ustalonym
y
(1, 0) oraz zbada¢ tempo zmian warto±ci funkcji ze
(1, 0).
w pobli»u punktu
8. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji
(a)
x3 + y 3 + 3xy
(b) (E)
x2 y + xy 2 − 6xy .
1
(c)
x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
x2
(d) (E) y
(e) (E)
(f )
(i)
y3
3 .
(x2 − y 2 )ex
x2 + y 3 − 6xy + 3x + 6y .
(g) (E)
(h)
− 4x +
− 13 x3 + 43 y 3 + y 2 x − 2y − 5.
(x2 + 2y 2 )e−(x
2
+y 2 )
xy ln(x2 + y 2 ).
9. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji
(a)
2
f (x, y) = x − y
2
2
,
2
f (x, y)
na zbiorze
S.
2
S : x + y ≤ 4.
2
(b) f (x, y) = x + y − 2x + 3, S
y = −x + 1.
jest trójk¡tem ograniczonym prostymi
(c)
f (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 3, S : x2 + y 2 = 1.
(d)
f (x, y) = x2 + y 2 − 12x + 16y , S : x2 + y 2 ≤ 25.
(e)
f (x, y) = ln(1 + 2x2 + y 2 ) − x, S : x2 + y 2 ≤ 1.
(f )
f (x, y) = x2 y 2 + y 2 − x2 y − y − 7, S = [−1, 1] × [−1, 1].
2
x = 0, y = 0,