Krzywe sto»kowe

Krzywe sto»kowe
Magdalena Šysakowska
1. Napisa¢ równanie elipsy, której ogniska le»¡ w punktach (4, 0) i (−4, 0)
i której
a) póªo± wielka równa si¦ 5;
b) póªo± maªa równa si¦ 2.
2. Wyznaczy¢ osie gªówne, ogniskow¡, mimo±ród i parametr elipsy danej
równaniem x2 + 2y 2 = 8.
3. Wykaza¢, »e istnieje tylko sze±¢ ró»nych warto±ci dwustosunku dla
wszystkich permutacji czterech punktów.
4. Sprawdzi¢, która z prostych x − y − 1 = 0, 2x + 3y = 12, x + 3y +
15 = 0 przeczina elips¦ 4x2 + 9y 2 = 72, a nast¦pnie wyznaczy¢ punkty
przeci¦cia.
5. Wykaza¢, »e styczne w punktach ko«cowych dowolnej ci¦ciwy elipsy
przecinaj¡ si¦ na ±rednicy przechodz¡cej przez ±rodek tej ci¦ciwy.
6. W elips¦ 14 x2 + 12 y 2 = 1 wpisano sze±ciok¡t o równych bokach, którego
dwa wierzchoªki le»¡ w ko«cach osi wielkiej. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne
pozostaªych wierzchoªków sze±ciok¡ta.
7. Wykaza¢, »e proste ª¡cz¡ce dowolny punkt elipsy z ko«cami dowolnej
jej ±rednicy s¡ równolegªe do dwu ±rednic sprz¦»onych.
8. Napisa¢ równanie hiperboli o ogniskach (3, 0) i (−3, 0), która ma
a) o± rzeczywist¡ 2a = 4;
b) o± urojon¡ 2b = 5;
c) mimo±ród e = 2.
9. Wyznaczy¢ ogniskow¡, mimo±ród, parametr i równania asymptot hiperboli − 41 x2 + 18 y 2 = 1.
10. Wyznaczy¢ równanie hiperboli znaj¡c jej asymptoty y = 21 x i y = − 12 x
√
oraz jedno ognisko (0, 5).
1
11. Wyznaczy¢ równanie stycznej do hiperboli 4x2 − 9y 2 = 72 w punkcie
( 29 , 1) i normalnej oraz pole trójk¡ta mi¦dzy styczn¡ i asymptotami.
12. Wykaza¢, »e elipsa i hiperbola maj¡ce wspólne ogniska przecinaj¡ si¦
pod k¡tem prostym (tzn. styczne w punktach przeci¦cia s¡ prostopadªe).
13. Napisa¢ równanie paraboli, której
a) ognisko le»y w punkcie (3, 0), a kierownic¡ jest prosta x = −3;
b) ognisko le»y w punkcie (−2, 0), a wierzchoªek w pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych.
14. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru λ, dla których prosta y =
1
x + λ jest styczn¡ do paraboli y 2 = 32 x, a nast¦pnie wyznaczy¢ punkty
4
styczno±ci.
15. Napisa¢ równanie stycznej i normalnej do paraboli y 2 = 2x w punkcie
o rz¦dnej równej 2 i obliczy¢ pole trójk¡ta mi¦dzy t¡ styczn¡, normaln¡
i osi¡ paraboli.
2