model powłokowo-belkowy mes analizy stateczności ram

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 131-138, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
MODEL POWŁOKOWO-BELKOWY MES ANALIZY STATECZNOŚCI
RAM PRZESTRZENNYCH
O PRĘTACH CIENKOŚCIENNYCH OTWARTYCH
SŁAWOMIR KOCZUBIEJ, CZESŁAW CICHOŃ
Katedra Informatyki Stosowanej, Politechnika Świętokrzyska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy zaproponowano model skończenie elementowy do
analizy stateczności ram o prętach cienkościennych i dowolnym przekroju
poprzecznym otwartym. W pracy potraktowano obszar węzła jako obiekt
przestrzenny, modelowany elementami powłokowymi i dyskretyzację belkowymi
elementami cienkościennymi połączono z przestrzenną dyskretyzacją węzłów. Do
konsystentnego połączenia modelu powłokowego z modelem belkowym
wykorzystano równania więzów dla sformułowania tzw. elementów
przejściowych.
1. WSTĘP
Historia rozwoju metod obliczania belek i ram o prętach cienkościennych, z początku
prostych – analitycznych (lecz dobrze fizycznie uzasadnionych), potem bardziej złożonych –
wykorzystujących możliwości współczesnych metod obliczeniowych, przedstawiona jest
w monografii Kujawy [6].
Spotykane dość powszechnie w praktyce inżynierskiej modelowanie ram przestrzennych
za pomocą tylko belkowych elementów skończonych nie pozwala uwzględnić efektów
lokalnych, takich jak wyboczenie środników ani opisać rzeczywistych warunków podparcia
i rzeczywistego charakteru węzłów łączących pręty cienkościenne. Oznacza to, że ramy
złożone z prętów cienkościennych powinny być w zasadzie modelowane z wykorzystaniem
elementów skończonych powłokowych, co jednakże znacznie podnosi koszt obliczeń.
Racjonalnym rozwiązaniem przyjętym w pracy jest odróżnienie w modelowanej
konstrukcji obszarów o charakterze przestrzennym od części o charakterze geometrycznie
liniowym. W konstrukcji cienkościennej wyróżnia się: części (węzły ramy, podpory, miejsca
przyłożenia obciążenia, miejsca z dodatkowymi wzmocnieniami konstrukcyjnymi), które
potraktowano jako obiekty geometrycznie trójwymiarowe 3D i pozostałe części uważane za
geometrycznie liniowe 1D. W modelu skończenie elementowym oznaczać to będzie
dyskretyzację obszarów 3D przez elementy skończone powłokowe, a obszarów 1D przez
belkowe elementy skończone cienkościenne. Podstawowym problemem, jaki w tym
przypadku powstaje, jest złożenie tak różnie zdyskretyzowanych (to znaczy opisywanych
różnymi modelami matematycznymi) części konstrukcji w jeden dyskretny system elementów
skończonych, opisany układem równań równowagi MES.
Naturalnym sposobem postępowania jest skorzystanie z warunku ciągłości przemieszczeń
translacyjnych na ściankach, wspólnych dla powłoki i belek cienkościennych
132
S. KOCZUBIEJ, C. CICHOŃ
u (s) ( x )  u (b) ( x ),
(1)
gdzie u (s) (x) jest wektorem przemieszczeń węzła elementu powłokowego, a u (b) (x) jest
wektorem przemieszczeń węzła elementu belkowego.
W pracy równanie (1) traktowane jest jako równanie więzów i włączone do równania
równowagi MES poprzez odpowiednio zdefiniowaną funkcję kary. Konsekwencją takiego
postępowania jest konieczność wprowadzenia tzw. elementów przejściowych pomiędzy
węzłami powłoki a węzłem cienkościennego elementu skończonego, przedstawionych na
rys. 1. Jest to metoda ogólna, możliwa do zastosowania przy rozwiązaniu zarówno zagadnień
liniowych jak i nieliniowych. Oryginalność postępowania będzie w tym przypadku polegać na
sformułowaniu równań dla elementu przejściowego w ramach przyjętej teorii i jego
implementacji w modelu MES.
Rys. 1. Przejściowy element skończony
Innym sposobem rozważanym w [4, 5] jest wykorzystanie przestrzennego elementu
węzłowego, który jest obiektem przestrzennym, zdyskretyzowanym powłokowymi
elementami skończonymi, w którym dokonywana jest kondensacja statyczna i transformacja
redukująca powłokowe stopnie swobody węzła do belkowych cienkościennych stopni
swobody zlokalizowanych na ściankach (przekrojach poprzecznych pręta wspólnych dla
modelu belkowego i powłokowego), łączących węzeł z prętami ramy.
Przyjęto następujące podstawowe założenia:
 obciążenie konstrukcji jest jednoparametrowe i stanowią go uogólnione siły statyczne,
o ustalonej konfiguracji,
 materiał konstrukcji jest jednorodnym i izotropowym continuum materialnym,
 rozważane continuum materialne ma własności fizyczne liniowo-sprężyste,
 odkształcenia są nieskończenie małe, lecz możliwe są duże przemieszczenia i duże
gradienty przemieszczeń,
 w metodzie elementów skończonych konstrukcje dyskretyzowano elementami belkowymi
cienkościennymi, wykorzystującymi założenia teorii Własowa [3], oraz elementami
płytowymi Reissnera–Mindlina z dodatkowym szóstym stopniem swobody,
 korzystano z metody elementów skończonych w sformułowaniu przemieszczeniowym,
 w konstrukcji wszystkie połączenia są spawane.
MODEL POWŁOKOWO-BELKOWY MES ANALIZY STATECZNOŚCI RAM PRZESTRZENNYCH... 133
2. RÓWNANIE WARIACYJNE RÓWNOWAGI
Rozważano ruch ciała w różnych stanach równowagi (rys. 2). Stan C 0 jest stanem
początkowym równowagi, stan C t jest aktualnym stanem równowagi (na początku
przyrostu), a stan C t  t jest sąsiednim stanem równowagi (na końcu przyrostu).
Rys. 2. Trzy stany równowagi ciała: a) początkowy C 0 , b) aktualny C t i przyrostowy C t  t
V 0 i V t są odpowiednio początkową i aktualną objętością ciała, S jest brzegiem ciała
z wyróżnionymi częściami S u i St , na których są zdefiniowane kinematyczne i statyczne
warunki brzegowe, g jest wektorem intensywności sił objętościowych, a t jest wektorem
intensywności sił powierzchniowych. W końcu wektor x określa położenie punktu P 0
w konfiguracji C 0 , wektor X lokalizuje ten punkt ( P t ) w konfiguracji C t , a wektor
u  X  x jest wektorem przemieszczeń.
Zadaniem autorów pracy jest wyznaczenie stanu ciała (przemieszczeń, odkształceń,
naprężeń) w konfiguracji sąsiedniej C t  t , przyjmując, że stan ciała w konfiguracji aktualnej
C t jest znany.
Ciało w stanie C t  t jest w równowadze, jeżeli spełnione jest równanie wariacyjne
Ww(c)  Ww(t)  Wz ,
(2)
w którym, mając na względzie przyszłą dyskretyzację skończenie elementową, wyróżniono
pracę sił wewnętrznych dla continuum Ww(c) (dyskretyzowanego elementami skończonymi
powłokowymi i/lub belkowymi cienkościennymi) oraz pracę wirtualną sił wewnętrznych dla
elementów skończonych przejściowych Ww(t) . Przez Wz oznaczono pracę wirtualną sił
zewnętrznych (obciążeń).
2.1. Praca wirtualna Ww(c)
Pracę wirtualną Ww(c) w stanie C t  t wyraża wzór
Ww(c)   ε T σ dV 0 ,
(3)
V0
w którym ε jest wektorem odkształceń Greena–Lagrange'a i σ jest energetycznie z nim
sprzężonym wektorem naprężeń Pioli–Kirchhoffa II rodzaju, a indeks górny T oznacza
transpozycję.
Równanie (3) nie może być wprost wykorzystane, ponieważ stan ciała w konfiguracji
t  t
jest nieznany. Procedura postępowania polega na przyjęciu zlinearyzowanego
C
przyrostowego równania konstytutywnego oraz zachowania pod znakiem wariacji liniowej
134
S. KOCZUBIEJ, C. CICHOŃ
części przyrostu odkształcenia ε . Oznaczając przez σ t naprężenie w chwili t , a przez σ t  t
w chwili t  t , przyrost naprężenia pomiędzy chwilami t i t  t wynosi
σ  σ t t  σ t  Dε  De,
(4)
gdzie dla materiału liniowo sprężystego D jest macierzą stałych materiałowych, a ε jest
wektorem przyrostów odkształceń. Wektor ε możemy z kolei przedstawić w postaci sumy
części liniowej e i części kwadratowej η ze względu na przyrosty przemieszczeń
ε  e  η.
(5)
Wykorzystanie w (3) związków (4) i (5) oraz εt  t  ε prowadzi do zależności
T
T
T
Ww(c)   e  De dV 0   η σ t dV 0   e  σ t dV 0 ,
(6)
Wektor przyrostów odkształceń liniowych można formalnie zapisać w postaci
e  Lu,
(7)
V0
V0
V0
w którym wektor przyrostów przemieszczeń wynosi u  ut  t  ut , a macierz L jest
macierzą operatorów różniczkowych. Oznaczając w dalszym ciągu przez N wektor funkcji
kształtu i przez q wektor stopni swobody dla elementu skończonego, interpolację u i u
wyrażają wzory
u  Nq, u  Nq,
(8)
gdzie u jest wektorem uogólnionych funkcji przemieszczeń, u jest wektorem przyrostów
uogólnionych funkcji przemieszczeń, N jest macierzą funkcji kształtu, q jest wektorem
stopni swobody elementu a q jest wektorem przyrostów stopni swobody elementu.
Podstawiając (8) do (7), otrzymano zależność
e  B L q  LNq.
(9)
Wykorzystując powyższe zależności we wzorze (6) na pracę wirtualną Ww(c) dla elementu
skończonego otrzymano równania:
1.
 e De dV
T
V
0
 B  DB
(c) T
L
(c)
 q  k (c)
L q, k L 
T
0
V
(c)
L
dV 0 ,
(10)
dV 0 ,
(11)
0
gdzie k (c)
L jest przyrostową macierzą sztywności;
2.
T t
T (c)
0
 η σ dV  q k  q,
V
k (c) 
0
 B  T B
(c) T
N
V
t
(c)
N
0
z macierzą początkowych naprężeń (macierzą geometryczną) k (c) , w której naprężenia PioliKirchhoffa II rodzaju są przedstawione w formie macierzowej Tt , a postać macierzy
zróżniczkowanych funkcji kształtu B (c)
wynika z aproksymacji skończenie elementowej
N
wektora przyrostów odkształceń nieliniowych η ;
3.
T
 e  σ
V
t
T
dV 0  q  f (c) , f (c) 
0
gdzie f (c) jest wektorem sił wewnętrznych.
 B  σ
(c) T
L
V
0
t
dV 0 ,
(12)
MODEL POWŁOKOWO-BELKOWY MES ANALIZY STATECZNOŚCI RAM PRZESTRZENNYCH... 135
2.2. Praca wirtualna Ww(t)
Równanie więzów (1) zapisane w postaci
r  u (s)  u (b) ,
(13)
może być wprowadzone do dyskretyzacji skończenie elementowej na wiele sposobów [1, 7].
W pracy wykorzystano metodę funkcji kary, definiując pracę wirtualną Ww(t) w stanie C t  t ,
przedstawiającą wkład równania więzów do opisu ogólnej sztywności konstrukcji,
zależnością
Ww(t)  k   r  r T r  r   k  r T r  r T r ,
(14)


gdzie r jest wektorem równań więzów w chwili t , a k jest parametrem kary. Równanie
więzów wyraża warunek zgodności z wagą k przemieszczeń uogólnionych dla dowolnego
punktu, wspólnego belki i powłoki. Wektor przyrostu funkcji kary r można przedstawić
w postaci sumy części liniowej ρ i kwadratowej υ względem przyrostów przemieszczeń
uogólnionych
r  ρ  υ,
(15)
co po linearyzacji prowadzi do zależności analogicznej do (6)
Ww(t)  k  ρ T ρ  k  υT r  k  ρ T r ,
(16)
Podobnie jak to miało miejsce przy rozważaniu pracy wirtualnej Ww(c) również i obecnie
można zdefiniować pojedynczy element skończony przejściowy z wektorem stopni swobody
q (t) pomiędzy węzłem belki cienkościennej i węzłem powłoki, co pozwala formalnie zapisać
składowe z równania (16) w formie:
1.

T

 
T
T
(t)
(t)
k  ρ  ρ  q (t) k (t)
B (t)
L  q, k L  k  B L
L ,
(17)
gdzie k (t)
L jest macierzą sztywności przyrostowej;
2.


T
k  υ r  q (t) k (t) q (t) , k (t)  k  B(t) ,
T
(18)
gdzie k (t) jest macierzą geometryczną;
3.
T


T
k  ρ  r  q (t) f (t) , f (t)  k  B (t)
L r,
(19)
gdzie f (t) jest wektorem sił wewnętrznych.
(t)
Zależności na r , B (t)
L i B  są wyprowadzone w [4].
2.3. Praca wirtualna W z
Pracę wirtualną obciążenia w stanie C t  t wyraża zależność
T
T
Wz   u  g t  t dV 0   u  t t  t dS 0
V
0
która po wykorzystaniu (8) przyjmie postać
S t0
(20)
136
S. KOCZUBIEJ, C. CICHOŃ
Wz  q  p tgt  p tt  t , p tg t   N T g t t dV 0 , p tt  t   N T t t  t dS 0 ,
T
St0
(21)
S t0
gdzie ptg t jest wektorem intensywności węzłowych sił objętościowych, a p tt  t jest
wektorem intensywności węzłowych sił powierzchniowych.
3. PRZYROSTOWE RÓWNANIE RÓWNOWAGI MES
Przyrostowe równanie równowagi dla elementu skończonego continuum (powłoki, belki
cienkościennej) otrzymuje się z równania wariacyjnego (2), korzystając z zależności (10-12)
i (20-21)
q T k L  k  q  q T p tgt  p tt t  f ,
(22)


Identyczność ta musi być spełniona dla dowolnej wariacji przyrostu przemieszczeń, co
prowadzi do równania równowagi dla elementu skończonego w formie
k L  k  q  ptgt  p tt t  f ,
(23)
Sumę macierzy sztywności
k T  k L  k ,
(24)
nazywa się macierzą sztywności stycznej (macierzą styczną).
Agregując elementy skończone w jeden układ dyskretny, otrzymano przyrostowy układ
równań równowagi MES dla konstrukcji w postaci
K T Q  P  F, P  Pgt  t  Ptt  t ,
(25)
w którym dużymi literami oznaczono globalną macierz styczną i globalne wektory dla całej
konstrukcji.
W przypadku dyskretyzacji konstrukcji elementami skończonymi powłokowymi,
belkowymi i przejściowymi udział tych ostatnich w macierzy globalnej sztywności stycznej
i w wektorze globalnym sił wewnętrznych w (25) jest dokonywany przez odpowiednią,
dodatkową procedurę agregacji.
4. PRZYKŁAD
Opisany model obliczeniowy MES został zaimplementowany do autorskiego programu
AmFEM działającego w systemie MATLAB. Nieliniowy układ równań równowagi
rozwiązywano iteracyjnie metodą Newtona–Raphsona, sterując procesem obliczeń za pomocą
parametru obciążenia lub wybranego przemieszczenia. Przy opracowywaniu procedur do
obliczania macierzy sztywności stycznej i wektora sił wewnętrznych dla elementu
skończonego cienkościennego, które obliczano dokładnie w ramach przyjętej teorii
geometrycznie nieliniowej, korzystano z obliczeń symbolicznych oferowanych przez system
MATLAB i język programowania PERL, wspierający operacje z wykorzystaniem wyrażeń
regularnych.
Tematem przykładu jest analiza nieliniowa geometrycznie ramy portalowej o przekroju
dwuteowym i obciążeniu pokazanym na rys. 2a. W tym przykładzie zmieniano dodatkowo
MODEL POWŁOKOWO-BELKOWY MES ANALIZY STATECZNOŚCI RAM PRZESTRZENNYCH... 137
parametr a , czyli wielkość części powłokowej w granicach a  1,5  5h , gdzie h jest
wysokością dwuteownika.
Obliczenia dla modelu 3D wykonano w systemie ABAQUS z użyciem elementów S8R6.
Model 3D był dyskretyzowany 1304 elementami powłokowymi i miał N  26094 stopni
swobody. W przypadku modeli 1D/3D zostało użytych 87 elementów belkowych i od 136 do
376 elementów powłokowych w zależności od wielkości części przestrzennej
( N  6066  15426) . Części belkowe i powłokowe były łączone za pomocą 17 elementów
przejściowych dla każdej ze ścianek.
Na rys. 3b i 3c zebrano rzuty ścieżki stanu równowagi na płaszczyznę u x ,   i u z ,  
w węźle w1 .
Rys. 3. Rama portalowa: a) geometria i dane materiałowe, b) przemieszczenie u x w węźle w1
, c) przemieszczenie i u z w węźle w1
W obu przypadkach krzywe ścieżek stanów równowagi obliczone dla modeli 1D/3D i 3D
nieznacznie różnią się. Różnice te mogą wynikać z różnego stopnia nieliniowości
zastosowanych elementów. Zastosowane w pracy płaskie elementy powłokowe mogą być
stosowane do analizy zadań o małym i średnim stopniu nieliniowości. Natomiast belkowe
cienkościenne elementy skończone charakteryzują się możliwością rozwiązywania zagadnień
silnie nieliniowych. Zatem zwiększenie części ramy modelowanej elementami belkowymi
spowodowało prawdopodobnie poprawę wyników. Należy jednakże pamiętać, że części
modelowane elementami powłokowymi nie powinny mieć mniejszych rozmiarów niż
a  1,5h [2]. Oczywiście w przypadku analizy liniowej wszystkie zaprezentowane modele 3D
i 1D/3D dają takie same wyniki.
5. PODSUMOWANIE
W pracy zaproponowano mieszany, powłokowo-belkowy model skończenie elementowy
do analizy ram o prętach cienkościennych z różnymi geometriami węzłów, podpór i różnym
sposobem przyłożenia obciążeń. Ograniczenie dyskretyzacji za pomocą powłokowych
elementów skończonych tylko do pewnych charakterystycznych części konstrukcji znacznie
138
S. KOCZUBIEJ, C. CICHOŃ
upraszcza obliczenia w porównaniu z pełną analizą trójwymiarową, zapewniając jednocześnie
dobrą jakość rozwiązania.
Ponadto użycie nowoczesnych narzędzi programistycznych (przede wszystkim wyrażeń
regularnych i języka programowania PERL) pozwoliło na efektywne wyprowadzenie silnej
nieliniowo macierzy stycznej i wektora sił wewnętrznych cienkościennego belkowego
elementu skończonego.
LITERATURA
1. Chavan K. S., Wriggers P.: Consistent coupling of beam and shell models for thermoelastic analysis. „International Journal for Numerical Methods In Engineering” 2004, 59,
14, p. 1861–1878.
2. Cichoń C., Koczubiej S.: Konsystentny model MES dla ram przestrzennych o prętach
cienkościennych. „Czasopismo Techniczne” 2008, 21, 1-B/2008, s. 3–20.
3. Kim M. Y., Chang S. P., Kim S. B.: Spatial stability analysis of thin-walled space frames.
„International Journal for Numerical Method in Engineering” 1996, 39, s. 499–525.
4. Koczubiej S.: Model powłokowo-belkowy MES w analizie statycznej i stateczności
konstrukcji o prętach cienkościennych otwartych. Praca doktorska. Kielce: Politechnika
Świętokrzyska, 2011 (www.tu.kielce.pl/~sk/?notka).
5. Koczubiej S., Cichoń C.: Shell-beam model of thin-walled space structures for
geometrical nonlinear analysis. In: CMM-2011 Computer Methods in Mechanics.
Warszawa 2011, p. 255-256.
6. Kujawa M.: Statyka i analiza wrażliwości rusztów zbudowanych z prętów
cienkościennych : analiza teoretyczna i badania doświadczalne. Gdańsk: Wyd. Pol.
Gdańskiej, 2009.
7. Wagner W., Gruttmann. F.: Modeling of shell-beam transitions in the presence of finite
rotations. „Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences” 2002, 9, 3, p. 405–
418.
SHELL-BEAM FE MODEL IN STABILITY ANALYSIS
OF THIN-WALLED STRUCTURES
WITH OPEN CROSS SECTION
Summary. In the paper a finite element model in analysis of thin-wall structures
is presented. The standard discretization using beam thin-walled elements is
connected with the space discretization of the some parts of the frame. Transition
elements are used for consistent coupling between shell (3D) and beam (1D)
elements