MATEMATYKA(MAP3052)

MATEMATYKA(MAP3052)
ELEKTRONIKA
LISTA 1 - Przestrzenie liniowe (Listy 1 - 4 ze skryptu T.Jurlewicz i Z.Skoczylasa, Algebra Liniowa 2)
LISTA 2 - Przekształcenia liniowe (Listy 8 - 11 ze skryptu T.Jurlewicz i Z.Skoczylasa, Algebra Liniowa 2)
LISTA 3 - Przestrzenie liniowe unormowane
1. Listy 12 - 14 ze skryptu T.Jurlewicz i Z.Skoczylasa, Algebra Liniowa 2
2. Pokazać, że jeżeli || · || jest normą w przestrzeni liniowej X, to funkcja ρ : X × X −→ IR określona wzorem
ρ(x, y) = ||x − y|| spełnia warunki metryki. Wykazać, że metryka ta jest niezmiennicza na przesunięcia.
3. Narysować kilka kul w metryce ”rzeka” na płaszczyźnie. Czy metryka ta jest niezmiennicza na przesunięcia?
p
4. Sprawdzić, że wzory: ||[x1 , x2 ]||1 = |x1 | + |x2 |, ||[x1 , x2 ]||p = p |x1 |p + |x2 |p , p ∈ IN oraz
||[x1 , x2 ]||∞ = max{|x1 |, |x2 |} określają normy na przestrzeni IR2 . Narysować kule jednostkowe w każdej z
tych norm (wziąć np. p = 2, 3, 4).
5. Sprawdzić, czy normy z poprzedniego uzadania są równoważne.
6. Pokazać, że w przestrzeni liniowej unormowanej każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
7. Pokazać, że w przestrzeni liniowej unormowanej każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest ograniczony.
8. Pokazać, że w przestrzeni C[0, 1] istnieje nieprzeliczalny zbiór wektorów liniowo niezależnych.
9. Pokazać, że w przestrzeni Banacha każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
10. Pokazać, że dla dowolnych wektorów x, y w przestrzeni unitarnej równość ||x − z|| = ||x − y|| + ||y − z||
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy y = λx + (1 − λ)z dla pewnego ∈ [0, 1].
11. Pokazać, że dla dowolnych wektorów x, y w przestrzeni unitarnej równość ||x − y|| = |||x|| − ||y||| zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 lub y = λx dla pewnego ­ 0.
12. Pokazać, że dla dowolnych wektorów x, y w przestrzeni unitarnej następujące warunki są równoważne: a)
x ⊥ y, b) ||x + λy|| = ||x − λy|| dla dowolnej liczby λ, c) ||x + λy|| ­ ||x|| dla dowolnej liczby λ.
13. W przestrzeni L2 ([−π, π]) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (x) = sin 2x na podprzestrzeń generowaną
przez funkcje e1 (x) = sin x, e2 (x) = cos x.
14. Sprawdzić, że {f : f (0) = 0, f (1)+2f ′ (0) = 0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów stopnia
2. Znaleźć jej bazę i wymiar. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora f (x) = x na tę podprzestrzeń, gdy w
przestrzeni wielomianów iloczyn skalarny wprowadzony jest wzorem z poprzedniego zadania.
15. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x):
a) f (x) =




 sgnx gdy




|x| < l,
b) f (x) =
0 gdy |x| ­ l.




 |x| gdy |x| < π,




c) f (x) =




0 gdy |x| ­ π.
16. Rozwinąć w szereg trygonometryczny samych cosinusów funkcję f (x) =
gdy |x| < π,
0 gdy |x| ­ π.




 |x| gdy |x| < π,




17. Rozwinąć w szereg trygonometryczny samych sinusów funkcję f (x) =




 x2
0 gdy |x| ­ π.




 |x| gdy |x| < π,




0 gdy |x| ­ π.
18. Wyznaczyć
 szereg Fouriera w postaci rzeczywistej i zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe funkcji
f0 (t) =



1 − |t|





0







 okresowo
dla |t| < 1,
dla 1 < |t| < 2,
dla |t| > 2,