Wst ep do ekonomii matematycznej

Wstep
, do ekonomii matematycznej
Cześć
druga
,
1. Uzasadnić, że jeżeli funkcja użyteczności jest rosnaca,
to wraz ze wzrostem
,
dochodu rośnie popyt na przynajmniej jedno dobro.
2. Czy jest prawda,, że jeżeli funkcja użyteczności jest rosnaca,
to wraz ze
,
wzrostem ceny dobra X maleje popyt na to dobro?
3. Czy jest prawda,, że jeżeli funkcja użyteczności jest rosnaca,
to wraz ze
,
wzrostem ceny pewnego towaru maleje popyt na pewien towar?
4. Podać przyklad funkcji użyteczności, dla której nie jest prawda,, że
wzrost dochodu powoduje wzrost popytu na przynajmnie jedno dobro.
5. Wyznaczyć ceny i alokacje równowagi, jeżeli istnieja,, wtedy gdy
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = x1/2 y 1/2 , a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x1/3 y 1/2 , u2 (x, y) = x1/2 y 1/2 , a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = x1/2 y 1/2 , a1 = (1, 1), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = x1/2 + y 1/2 , a1 = (1, 2), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = min{x, y}, u2 (x, y) = x1/2 +y 1/2 , a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = min{x, y}, u2 (x, y) = min{x, y}, a1 = (1, 0), a2 =
(0, 1),
6. Podać przyklad funkcji użyteczności, dla których nie istnieje stan równowagi.
7. Uzasadnić, że jeżeli p jest cena, równowagi, to jest nia, także λp, dla
dowolnego λ > 0.
8. Podać przyklad funkcji użyteczności, dla których istnieje wiecej
niż
,
jeden stan równowagi.
9. Na pewnym rynku m handlowców handluje dwoma towarami. Preferencje opisywane sa, przez funkcje użyteczności postaci
uk (x, y) = ak ln x + (1 − ak ) ln y,
1
a zasoby poczatkowe
ak = (ak1 , . . . , akn ), k = 1, . . . , n. Czy w tym
,
przypadku istnieje stan równowagi?
10. Zalóżmy, że trzej handlowcy oceniaja, trzy towary, którymi handluja,
jako komplementarne. Zasoby poczatkowe:
a1 = (1, 1, 0), a2 = (1, 0, 0).
,
Jakie powinny być zasoby poczatkowe
trzeciego z handlowców, aby w
,
tym przypadku istnial stan równowagi?
11. Pierwszy z handlowców dysponuje a jednostami towaru X i chce kupić
jak najwiecej
jednostek towaru Y , drugi dysponuje b jednostkami to,
waru Y i chce kupić jak najwiecej
jednostek towary Z, trzeci ma c
,
jednostek Z i potrzebuje wylacznie
towar
X. Czy w tym przypadku
,
istnieje stan równowagi?
12. Czy istnieje cena równowagi w uogólnionym modelu Arrowa – Hurwicza, wtedy, gdy
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = x + y oraz a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = x + y oraz a1 = (1, 0), a2 = (1, 1),
• u1 (x, y) = min{x, y}, u2 (x, y) = x + y oraz a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x + y, u2 (x, y) = x + y oraz a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• u1 (x, y) = x + 2y, u2 (x, y) = x + y oraz a1 = (1, 0), a2 = (1, 1)?
k
13. Wykazać, że jeżeli S = ∂z
jest ujemnie określona, to w mod∂pj j,k=1,...,n
elu A-H istnieje co najwyżej jeden stan równowagi.
14. Uzasadnić, że zamiast ujemnej określoności wystarczy zakladać w poprzednim zadaniu, że
hT Sh < 0,
dla h ∈ Rn \ Rn+ ∪ Rn− .
15. Na rynku A-H handluje sie, dwoma towarami. Oba sa, normalne. Uzasadnić, że jeżeli spelniony jest warunek
∂z1 ∂z2 1 ∂z1 ∂z2 −
+
> 0,
∂p1 ∂p2 4 ∂p2 ∂p1
to, z dokladnościa, do mnożenia przez stala, dodatnia,, istnieje co najwyżej jeden stan równowagi.
2
16. Wyznaczyć Pareto optymalne podzialy jednego dobra, jeżeli:
• u1 (x) = x oraz u2 (x) = x,
(
1, x = 1,
• u1 (x) = x oraz u2 (x) =
0, 0 ≤ x < 1,
(
1, x = 1,
• u1 (x) = u2 (x) =
0, 0 ≤ x < 1,
(
1, 1 ≥ x ≥ 1/2,
• u1 (x) = x, u2 (x) =
0, 0 ≤ x < 1/2,
17. Zalóżmy, że a1 = 1/3, a2 = 2/3. Jak wyglada
rdzeń wymiany, jeżeli
,
preferencje opisywane sa, funkcjami użyteczności z poprzedniego zadania?
18. Wyznaczyć Pareto optymalne podzialy dwóch (doskonale podzielnych)
dóbr, jeżeli
• u1 (x, y) = x + y, u2 (x, y) = x1/2 y 1/2 ,
• u1 (x, y) = x + y, u2 (x, y) = x + y,
• u1 (x, y) = x + 2y, u2 (x, y) = x + y,
• u1 (x, y) = min{x, y}, u2 (x, y) = x + y,
• u1 (x, y) = x1/2 y 1/2 , u2 (x, y) = min{x, y}.
19. Wyznaczyć rdzeń wymiany, wtedy, gdy preferencje uczestników wymiany opisywane sa, przez funkcje użyteczności z poprzedniego zadania
oraz
• a1 = (1, 0), a2 = (0, 1),
• a1 = (1, 1), a2 = (1, 0),
• a1 = (1, 1), a2 = (1, 1).
20. Zalóżmy, że trzy osoby dziela, sie, jednym, doskonale podzielnym dobrem. Wyznaczyć podzialy Pareto optymalne oraz nieblokowane przez
koalicje dwuosobowe, jeżeli funkcje użyteczności dwóch pierwszych osób
dane sa, w zadaniu 16, a funkcja użyteczności trzeciej ma postać
3
• u3 (x) = x,
(
1, x = 1,
• u3 (x) =
.
0, 0 ≤ x < 1
21. Uzasanić, że jeżeli preferencje wszystkich handlowców sa, ciag
, le, to w
modelu A-H istnieje indywidualnie racjonalne alokacja Pareto optymalna.
22. Uzasanić, że jeżeli preferencje wszystkich handlowców sa, ciag
, le, to w
modelu A-H istnieje indywidualnie racjonalne alokacja slabo optymalna
w sensie Pareto .
23. Rozważmy nastepuj
ac
, a, neoklasyczna, gospodarke, wymienna, z przestrzenia,
,
towarów R2 i dwoma konsumentami:
• a1 = (2, 1), u1 (x, y) = (y + 1)ex ,
• a2 = (1, 2), u2 (x, y) = xy.
(a) Wyznaczyć funkcje, nadmiernego popytu.
(b) Wyznaczyć stan równowagi.
(c) Wyznaczyć krzywa, kontraktów.
(d) Wyznaczyć rdzeń wymiany.
(e) Pokazać, że dla dowolnej alokacji X = (x1 , y 1 , x2 , y 2 ) należacej
do
,
1
2
rdzenia wymiany istnieja, ceny p takie, że X = (φ (p), φ (p)).
24. Trzej artyści: Śpiewak, Pianista, Perkusista wystepuj
a, razem w pewnym
,
klubie. Za wystep
otrzymuj
a
l
acznie
1000.
W
jaki
sposób powinni
,
,
,
podzielić sie, ta, kwota,, jeżeli wiadomo, że wysepuj
ac
acych
, w nastepuj
,
,
,
konfiguracjach otrzymaliby:
Sklad zespolu
Śpiewak, Pianista
Śpiewak, Perkusista
Pianista, Perkusista
Śpiewak
Pianista
Perkusista
4
Wyplata
800
500
650
200
300
0.
25.
∗
Trzech robotników – nazwijmy ich A, B i C poszukuje pracy. W okolicy jest tylko jedna oferta. Praca ma polegać na przenoszeniu dlugich
i cieżkich
szyn i jest platna 100 PLN za dniówke, dla calej ekipy. Jest
,
to robota dla dwóch: jeden bierze jeden koniec szyny, drugi – drugi, i
niosa., Jeden robotnik sobie z tym nie poradzi, a trzeci jest po prostu
zbedny.
Jak Panowie A, B, C powinni podzielić miedzy
siebie wyplate?
,
,
,
Dwa ostatnie zadania pochodza, z M. Malawski, A. Wieczorek, H.
Sosnowska, Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i
naukach spolecznych, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa
1997. Rozwiazanie
ostatniego jest, wbrew pozorom, calkiem skomplikowane
,
i wykracza poza aparat pojeciowy
z ćwiczeń. Pewne rozwiazanie
pochodzi
,
,
od von Neumanna i Morgensterna, twórców teorii gier, inne od Shapleya.
Wszystko to można znależć w cytowanej ksiażce.
,
5