1 Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina
Piotr Pokora
3 listopada 2010
Streszczenie
Celem referatu jest przedstawienie twierdzenia Gerszgorina, które mówi o lokalizacji widma macierzy na płaszczyźnie zespolonej. Przedstawimy
pewne wnioski wynikające z prezentowanego twierdzenia, a na sam koniec
przedstawimy przykłady.
1
Twierdzenie Gerszgorina
Niech A = [aij ] ∈ Mn (C). Dla danego i ∈ {1, ..., n} definiujemy Ri = j6=i |aij |.
Niech ponadto D(aii , Ri ) będzie kołem domkniętym o środku w punkcie aii i promieniu Ri , zwanym dalej kołem Gerszgorina.
P
Twierdzenie 1. Niech σ(A) będzie widmem powyższej macierzy A. Wówczas
S
σ(A) ⊆ ni=1 D(aii , Ri ).
Dowód. Ustalmy dowolne λ ∈ σ(A) oraz odpowiadający mu wektor własny x =
(xj ) ∈ Cn \ {0}. Niech i ∈ {1, ..., n} będzie takie, że |xi | = maxj=1,...,n |xj |. Mamy
Ax = λx. Rozpisujemy równanie otrzymując :
X
akj xj = λxk , k = 1, ..., n.
j
W szczególności mamy :
X
aij xj = λxi .
j
Odejmując stronami aii xi otrzymujemy :
X
aij xj = λxi − aii xi .
j6=i
1
Dzieląc stronami przez xi (pamiętamy, że xi 6= 0) i biorąc moduł dostajemy:
X
xj aij = λ − aii .
xi j6=i
Ponieważ xxji ¬ 1 ostatecznie otrzymujemy :
X
x X
xj X xj X
j
aij ¬
aij =
|λ − aii | = |aij | ¬
|aij | = Ri .
xi xi xi j6=i
j6=i
j6=i
j6=i
Dowód jest zakończony.
Definicja 1. Powiemy, że macierz A = [aij ] ∈ Mn×n (C) ma ściśle dominującą
P
przekątną, jeżeli |aii | > j6=i |aij | = Ri dla każdego i ∈ {1, ..., n}.
Wnioski z twierdzenia Gerszgorina:
1. Jeżeli macierz A ∈ Mn×n (C) posiada ściśle dominującą przekątną, to wówczas
macierz ta jest nieosobliwa.
2. Jeżeli macierz hermitowska A = [aij ] ∈ Mn×n (C) posiada ściśle dominującą
dodatnią przekątną (tj. aii > 0 dla każdego i), to wówczas macierz ta jest
dodatnio określona.
3. Jeżeli macierz hermitowska A = [aij ] ∈ Mn×n (C) posiada ściśle dominującą
ujemną przekątną, to wówczas macierz ta jest ujemnie określona.
Dowód. Udowodnimy dla przykładu drugą własność. Przypomnijmy, że macierz
hermitowska jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wartości własne są dodatnie. Ponadto każda wartość własna macierzy hermitowskiej
jest liczbą rzeczywistą. Jeśli A jest macierzą hermitowską o ściśle dominującej
przekątnej, to:
min{a11 − R1 , a22 − R2 , ..., ann − Rn } > 0.
Na mocy tw. Gerszgorina σ(A) ⊆
wynika z powyższej nierówności.
2
Sn
i=1 [aii
− Ri , aii + Ri ], zatem teza wniosku
Przykłady
Podczas przeliczenia przykładów korzystałem z pomocy programu Maxima 5.20.
Niech


1 0 2


A =  1 3 1  ∈ M3×3 (C).
1 1 1
2
Z twierdzenia Gerszgorina σ(A) ⊆ D(1, 2) ∪ D(3, 2). Zatem każda rzeczywista
wartość własna leży w przedziale [−1, 5]. Korzystając z Maximy można stwierdzić,
że nasza macierz posiada trzy różne wartości własne : dwie istotnie zespolone i
jedną rzeczywistą, które w przybliżeniu są równe :
λ1 = 1, 191; λ2 = −0, 254i − 0, 595; λ3 = 0, 254i − 0, 595.
Rozważmy przypadek, macierzy hermitowskiej. Niech


2 0 1


B =  0 3 2  ∈ M3×3 (C).
1 2 1
Wiemy, że σ(A) ⊆ D(2, 1) ∪ D(3, 2) ∪ D(1, 3). Macierz B jest hermitowska, zatem
jej wszystkie wartości własne są rzeczywiste i leżą w przedziale [−2, 5]. Widać,
że D(2, 1) ∩ D(3, 2) ∩ D(1, 3) 6= ∅, co oznacza, że wartość własna nie musi leżeć
w dokładnie jednym kole Gerszgorina. Ponownie korzystając z Maximy możemy
stwierdzić, że wartości własne macierzy B w przybliżeniu są równe :
λ1 = −0, 528; λ2 = 2, 167; λ3 = 4, 361.
Literatura
[1] R. S. Varga, Gershgorin and His Circles, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
3