Zestaw nr 15 – Działania na macierzach
Transkrypt
Zestaw nr 15 – Działania na macierzach
Zestaw nr 15 – Działania na macierzach Zadanie 1. Wykonaj działania na macierzach, jeżeli A = 2 −3 4 1 , B = 2 3 , C = 1 0 −2 5 3 : √ (1) − 2B (2) 7CT (3) A − 2AT − 3I (4) BT B (6) AB (7) BT A (8) AC (9) CT B (5) BBT (10) CT C Zadanie 2. Wyznacz elementy macierzy A oraz omów jej własności: 1. A = [aij ]3x5 aij = i + 2j − 3 2. A = [aij ]3x3 aij = (max {i, j}) − 2 3. A = [aij ]5x5 aij = min {i, j} + 1 3i − 2j dla i = j aij = 0 dla i = 6 j 4. A = [aij ]4x4 5. A = [aij ]4x4 6. 7. 8. A = [aij ]5x5 A = [aij ]4x4 A = [aij ]4x5 aij = min {i, j} dla i ≤ j 0 dla i > j aij = aij = 3i + j − 10 dla i ≥ j 0 dla i < j 0 dla i = j i − j dla i 6= j aij = 2i − j + 2 Zadanie 3. Wykorzystując własności działań na macierzach przekształć podane wyrażenie a i + j dla i = j następnie wyznacz elementy macierzy X, dla A = [aij ]2×2 ∧ aij = oraz i − j dla i 6= j h i B= 1 2 (1) X = BT BAT + 2AAT (2) X = 4A − BT BAT − AT Katedra Ekonometrii UŁ 1 1 1 0 1 1 1 −1 −1 0 1 , B = , C = 0 1 0 Zadanie 4. Dane są macierze A = Korzysta 0 −1 1 2 1 0 −1 0 2 jąc z własności działań na macierzach przekształć podane wyrażenia i oblicz elementy podanych macierzy: (1) X = AC + BC T (4) X = ACT + 3AT (2) X = CAT − BCT (5) X = (AT B)T − 2C Zadanie 5. Wyznacz macierz X dla A3×3 T (3) X = CAT T − 2A (6) X = ABT +2C 1 (i − j)2 dla i < j = [aij ]∧aij = oraz B = −2 −2i dla i ≥ j 1 (1) X = BT (3A − BBT ) (2) X = 5A + AT (I−2BBT ) (3) X = (BBT − A)B − 7B Zadanie 6. Korzystając z własności działań na macierzach przekształć podane wyrażeniei oblicz 1 0 0 0 2 −2 0 0 T T T −1 elementy macierzy X jeżeli X = B ((AB ) − 4B) + AB oraz A = −1 0 −1 0 0 −1 1 1 2 1 −1 1 0 −1 2 1 . Omów własności (klasyfikację) macierzy X. aB= 0 0 1 1 0 0 0 1 Zadanie 7. Oblicz elementy macierzy X jeżeli 1 −1 2 0 1 0 −2 1 1 1 −1 0 1 0 4 T 0 T T a B = . Omów własności (klasyfikację) X = A A B A jeżeli A = 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 −2 −5 1 −1 0 2 T macierzy A A. Zadanie 8. Korzystając z własności działań na macierzach oblicz elementy macierzy X jeżeli X = Katedra Ekonometrii UŁ 2 1 0 0 0 2 1 −1 1 2 −2 0 0 0 −1 2 1 T aB= . Omów własności (klasyfikację) ABT − 3A i A = −1 0 −1 0 0 0 1 1 0 −1 1 1 0 0 0 1 macierzy X. Zadanie 9. Wyznacz elementy macierzy X, jeżeli 0 2 2 0 −3 6 · − 3X = (1) −2 3 1 5 −1 4 T T −1 1 3 −5 3 1 + 5I = · (3) 2X · 1 −2 −2 4 1 2 (2) 1 2 −1 0 ·X= 2 6 1 4 T · 1 −1 −1 Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru a ∈ R i b ∈ R prawdziwa jest poniższa równość (1) a 2 −2 b · 0 1 2 1 = 3 1 4 3 8 2 4 3 1 0 1 · (2) −2 0 = 3 0 a b −1 1 2 Zadanie 11. Ciągiem odpowiednich przekształceń elementarnych przekształć podane macierze do macierzy schodkowej: 1 2 −1 0 1 (1) −1 −2 1 1 0 1 −2 0 1 1 1 2 −1 (3) 0 1 0 2 −1 1 1 2 1 −1 −1 0 (5) −1 −2 0 1 −1 3 1 −1 0 3 (2) −2 3 −1 1 0 1 −1 7 0 1 −1 (4) 1 1 2 1 2 1 1 0 2 −2 (6) 0 −1 −1 1 2 −1 −2 2 2 −1 3 0 1 1 0 1 2 Zadanie 12. Czy macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A, jeżeli Katedra Ekonometrii UŁ 3 2 − −1 2 1 4 1 −2 1 (1) A = 1 0 1 i B = − 2 4 −16 −6 1 −4 −1 0 1 −4 0 1 2 −3 −1 5 1 (2) A = 1 −3 −1 i B = − 11 1 4 2 −2 0 1 −6 2 −1 Zestaw nr 15 – odpowiedzi Zadanie 1. √ −2 2 ; (2) (1) √ −3 2 (5) (9) 4 6 ; 6 9 17 9 −1 7 35 −5 −11 ; (4) 13 (3) 0 21 ; 10 −4 −14 7 h i −5 −13 −9 −7 ; ; (6) (7) 16 −3 ; (8) 11 9 3 −7 26 15 3 (10) 15 9 3 . 3 3 5 Zadanie 2. 0 2 4 6 8 1. A= 1 3 5 7 9 ; 2 4 6 8 10 −1 0 1 2. A= 0 0 1 ; macierz kwadratowa i symetryczna; 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3. A= 2 3 4 4 4 ; macierz kwadratowa i symetryczna; 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 Katedra Ekonometrii UŁ 4 1 0 0 0 0 2 0 0 ; macierz kwadratowa, diagonalna, symetryczna; 4. A= 0 0 3 0 0 0 0 4 1 1 1 1 0 2 2 2 ; macierz kwadratowa, trójkatna górna; 5. A= 0 0 3 3 0 0 0 4 −6 0 0 0 0 −3 −2 0 0 0 6. A= 0 1 2 0 0 ; macierz kwadratowa, trójkątna dolna; 3 4 5 6 0 6 7 8 9 10 0 −1 −2 −3 1 0 −1 −2 ; macierz kwadratowa i skośnosymetryczna; 7. A= 2 1 0 −1 3 2 1 0 3 2 1 0 −1 5 4 3 2 1 . 8. A= 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 Zadanie 3. (1) X = 10 5 −4 52 ; Zadanie 4. (2) X = 10 −12 3 2 (1) X = (4) X = 0 1 0 1 0 2 0 1 ; (2) X = ; (3) X = −1 2 ; 1 0 4 −2 −1 −2 6 −4 −3 8 −3 0 −1 0 4 ; (5) X = −3 −3 1 ; 7 −2 5 1 −5 Katedra Ekonometrii UŁ 5 (6) działanie nie jest wykonywalne ze względu na wymiary macierzy. Zadanie 5. (1) X = h −6 21 −18 i −12 1 14 ; (2) X = −25 −12 −7 −18 −45 −28 −1 2 −1 0 2 −4 0 −1 Zadanie 6. X = −1 −2 −6 1 −1 4 2 −2 25 −1 ; (3) X = −3 . −1 ; macierz kwadratowa; Zadanie 7. X= −27 ; Macierz AT A jest macierzą kwadratową, stopnia trzeciego i syme 101 tryczną. −1 −4 2 −1 0 8 −2 7 ; Macierz X jest kwadratowa, stopnia czwartego i trójZadanie 8. X= 0 0 2 −1 0 0 0 −2 katna górna; −1 32 −2 1 2 1, 5 ; ; ; (2) X= (3) X= Zadanie 9. (1) X= 13 1 3 −3 0 −2 3 10 Zadanie 10. (1) a = 1 i b = 4; Zadanie 12. a) tak; (2) a = 2 i b = 1; b) nie. Katedra Ekonometrii UŁ 6