Wstęp do matematyki, wykład B Lista zadań nr 8 (na ćwiczenia

Wstęp do matematyki, wykład B
Lista zadań nr 8 (na ćwiczenia 20.12.2013).
1. Dany jest zbiór częściowo uporządkowany ⟨𝑋, ≤⟩ oraz 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑋. Zapisać symbolicznie
poniższe zdania (wolno użyć m.in. symboli 𝑋, 𝐴, 𝐵, ≤ i <, nie wolno: { ).
(a) W 𝑋 nie ma elementu minimalnego.
(b) Zbiór 𝐴 jest ograniczony w X.
(c) Żaden element 𝐵 nie ogranicza z dołu zbioru 𝐴.
(d) 𝐵 jest zbiorem wszystkich elementów minimalnych w 𝑋.
(e) W zbiorze 𝑋 nie ma dwuelementowych antyłańcuchów.
(f) Istnieje element największy w zbiorze 𝐴, który nie jest elementem największym w
zbiorze 𝐵.
2. Narysować diagramy Hassego podanych zbiorów częściowo uporządkowanych ⟨𝑋, ⪯⟩.
Określić elementy minimalne i maksymalne (ew. najmniejsze i największe).
(a) 𝑋 = 𝒫(𝑌 ) ∖ {∅, 𝑌 }, gdzie 𝑌 = {1, 2, 3, 4}, 𝐴 ⪯ 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵,
(b) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℕ : 𝑛 ≤ 15}, 𝑥 ⪯ 𝑦 ⇔ 𝑥∣𝑦,
(c) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℕ : 7 ≤ 𝑛 ≤ 21}, 𝑥 ⪯ 𝑦 ⇔ 𝑥∣𝑦,
(d) 𝑋 = {0, 1, 2} × {0, 1}, ⟨𝑥, 𝑎⟩ ⪯ ⟨𝑦, 𝑏⟩ ⇔ 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏.
3. Podać przykłady zbiorów częściowo uporządkowanych ⟨𝑋, ⪯⟩ mających poniższe własności. W przypadkach, gdy zbiory te są skończone, postarać się, by relacja ⪯ traktowana
jako zbiór miała jak najmniej elementów.
(a) W 𝑋 są dwa trzyelementowe łańcuchy i jeden trzyelementowy antyłańcuch.
(b) 𝑋 ma sześć elementów oraz w 𝑋 jest jeden element maksymalny, dwa elementy minimalne oraz dwa czteroelementowe łańcuchy
(c) W 𝑋 są dokładnie trzy elementy minimalne i dokładnie dwa elementy maksymalne oraz każdy element minimalny jest połączony z pewnym elementem maksymalnym
czteroelementowym łańcuchem (tzn. jest łańcuch, do którego oba te elementy należą).
(d) W 𝑋 jest nieskończenie wiele parami rozłącznych nieskończonych łańcuchów, z
których każdy ma element najmniejszy, a zbiór tych elementów najmniejszych jest antyłańcuchem.
(e) Zbiór 𝑋 jest sześcioelementowy, są w nim dokładnie dwa elementy minimalne i
dokładnie dwa elementy maksymalne i nie ma czteroelementowego łańcucha.
Zastanowić się, które z tych porządków mogą występować w postaci ⟨𝐴, ∣ ⟩ dla pewnego
𝐴 ⊆ ℕ.
4. Rozważmy zbiór częściowo uporządkowany ⟨ℝ2 , ≤𝑝 ⟩, gdzie ≤𝑝 jest standardowym porządkiem produktowym na ℝ2 .
(a) Wybrać konkretne ⟨𝑥0 , 𝑦0 ⟩ ∈ ℝ2 i narysować zbiór elementów z nim porównywalnych.
(b) Sprawdzić, dla jakich parametrów 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ prosta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 jest łańcuchem w tym
porządku.
(c) Niech 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ [0, 1]2 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 1}. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru 𝐴 oraz
elementy maksymalne i minimalne w 𝐴. Czy w zbiorze tym jest element największy bądź
najmniejszy?
5. Rozważmy zbiór częściowo uporządkowany ⟨ℝ2 , ≤𝑙 ⟩, gdzie ≤𝑙 jest standardowym porządkiem leksykograficznym na ℝ2 . Odpowiedzieć na te same pytania, co w zadaniu 5.
6. Rozważmy zbiór częściowo uporządkowany ⟨ℕ+ × ℝ, ⪯⟩, gdzie
⟨𝑥, 𝑦⟩ ⪯ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ⇔ 𝑥∣𝑎 ∧ 𝑦 ≤ 𝑏.
(a) Wyznaczyć kres górny zbioru {2, 4, 6}2 .
(b) Wyznaczyć zbiór elementów porównywalnych z ⟨2, 2⟩.
(c) Podać przykład nieskończonego antyłańcucha w ℕ+ × ℝ.
7. Niech 𝑋 będzie zbiorem wszystkich przedziałów otwartych na prostej (niezdegenerowanych). Rozważmy zbiór częściowo uporządkowany ⟨𝑋, ⪯⟩, gdzie
𝐼 ⪯ 𝐽 ⇔ 𝐼 = 𝐽 ∨ sup 𝐼 ≤ inf 𝐽.
(a) Czy istnieje 𝐽 ∈ 𝑋 taki, że (0, 1) ≺ 𝐽 ≺ (1, 2)?
(b) Czy w 𝒫((−∞, 1)) ∩ 𝑋 istnieje element maksymalny?
(c) Podać przykład nieskończonego antyłańcucha w 𝑋.
8. Ile jest parami nieizomorficznych porządków na zbiorze {1, 2, 3}?
9. Czy dla każdego zbioru częściowo uporządkowanego ⟨ℕ, ⪯⟩ istnieje podzbiór 𝐴 ⊆ ℕ,
taki że zbiór częściowo uporządkowany ⟨𝐴, ∣ ⟩ jest izomorficzny z ⟨ℕ, ⪯⟩?