Niekolinearna perspektywa szerokokątna.

TomaszwĄSowICZ
Zaktad Geometrii Wykreślneji Perspekrywy Malarskiej
Wy dziatu Architektury P olitechniki Wro c ławskiej
PERSPEKTYWA
NIEKOLNEARNA
SZEROKOKĄTNA.
ZałoŻeniempracy było zaproponowanie takiej perspektyrvy szerokokątnej, w ktorej
obrazami prostej bytyby tuki okręgow. Spehrienle tego załozerllapoTwala na opracowanie
konstrukcji stosunkowo prosĘch rv porÓwnaniu z irrnymi perspektywaminiekolinearnymi.
Niekolinearna perspektywa szerokokątnajest złozenlemdwÓch rzutow (rys. l ). Rzut
środkowy ze środka S sfery x= odwzorowuje punkty przestrzeni na sferę. Następnle
otrzymane obrazy rzutowane są z bieguna
o sfery na tło płaskiet Ęczre do sfery
w biegunie przeciwlegĘm. Promie rnltowania łączący odwzorowywany punkt
ze środkiemsfery przebija sferę w dwoch
punktach. Aby uniknąć konselovencji
wynkających z tego faktu kąt wierzchotkon ry obrotowego stozka widzenia ograniczono do 180.. odwzorowywane Są
więc tylko obieĘ zrajdujące się przed
płaszcryn,ą V przechodzącą ptzez śro.
dek sfery i rownoległą do tła na część
sfery zrajdującą się przed płaszczymą t
(na rysunku częścsfery zalu.opkowana).
Płaszcrynę V nan)Vano, nawiązując do
rzutu środkoweBo, płaszcryną n:/rrania.
Analogicay sposob odwzorowania
*\
.i:.j:N
jest w "Perspektywie maprzedstawiony
,rr:i.i\
larskiej" tom 2 Ka-imierza Bartla. Krotki
,
..': i:'l. lll
akapit poŚvięcony temu odwzorowaniu
S,
autor podsumowuje jednakże stwierdze.
niem, ze ze względu na stopieó skomx\\
plikowania konstrukcji metoda ta nie ma
praĘczrego zastosowania. w pracy
postuzono się konstrukcjami odmiennymi
rys.1
od zamleszczonych w "Perspektyrarie
malarskiej", co pozwolito na wymucie
wnioskÓw roalych od teTy Kazimierza Bartla.
Niekolinear]la perspekrywa szerokokąfua umozliwia jednoar aczn'ą charak.terysrykę
elementowprzestrzetlotaz określenierelacji zaebodzącychmięd'y nimi. Kreślącperspekrywę
szerokokąmądysponujemy analogicmymi konstrukcjamijak w przypadku rzufu środkowego,
jest jedna|<ze
stopieó tch.z},oŻoności
większy.
w celu ptzyb|ienla problemow konstrukcyjnych nlttązanycb, z niekolineamą
perspektywą szerokokąnrą przeanalizujmy obraz pro stej ot az pŁaszczymy .
-' -i
.
't.
'
"
. . ł. !e..
..j; <r'r t
\-r-
-38-
t
I
Ustaleniel.
Przyjnrrjmy następującyaparat rzutowania: sferę x. o środkuS, sĘczrą do nie.;
płaszcrynrętła t, płaszczyT|ęzlikania vlh przechodzącąprzez S, oraz punkt o . środek
będący bie-Ęunenr
antypodyczirymdo purrktu str'cznosci1. i r. Na
rzutu stereogl.aficanego
.
płaszcryźntetła ozr:racmfly:k2 konfur sfely X, w rnlcie,prostokątnymna tło: s2 - obraz
rownika sfery w rzucie stereogaficzrvm.
Nieclr będzie dana prosta a
jej rzutami prostokątnyokreślona
mi a', a" (rys.2).
/{t =(J _
Definicja l.
Sladem tłowym prosteJa na.
jej punl.t przebicia zpłazł,.\^/amy
szczrymątła.
lc=enT:gs
Definicja2.
Sladem znikania prostej a nazywam\/jej puntt przebicia z ptaszczlznąnrikania v.
Poprowad^y rzufującąpłaszcrymę t przechodząCą przez
rozpatrywaną prostą a oraz punkt
S. Krawędz n, tej pł'aszcą,my'z
pt'aszczyzrrązrikania l, przechodzi
oczywrścteprzez puntt S i przez
ślad zrikania N.. Krawędz t,'
przechodn zas przez śladtłorvyT.
rownolegle do n*.(t,/in,) i jest to
obraz prostej a w klaqrczrym
rzucie środkowymz punktu S na
rys.z
t.
tto płaskie
Przekloj sfery "f pł'aszczyną
e jest obrazem prostej a w rzucie środkowymna tę sferę' Jest to oczywiścieokrąg wiellii na
sferze, a dokładniejtuk tego okręgu lezący przed ptaszczynrązrikania.
obrazem tego fuk-uw rzucie stereograficzrym na tłojest takze fuk okręgu (fuk ao na
rys.2) |ezącycałkowiciewe wnętrzu s2'
lnyyyvhrlY, że fuk a"przechodziprzez punĘ A, i Ą,w ktorych rzut prostokątrryna
tłon.'' przectnaokrąg s'. Istonrie:lir.awędźn,.przecina
sferęw punktachlezącychna pofudniku
konfurorvym, rzufując te punl-ty z punktu o na tło otrzymujemy dwie proste rzufujące'
ktor1ch obrary w rzucie prostokątnymna tłopokrywająsię Zn,,,.
Nalezy n,a|eźc trzect punk1 łuku ao. W fym celu poprowadź^y płaszcryn,ę a
prostopadłądo tłar i prostopadłądo a. Pł'aszcryna tajest ocąrwiścieprostopadłado t*.i do n.
o* - kładpunkru o i S- - kładpunttu S.
oraz wykonajmyjej kładna tło.Na rys.3 ozr:.^czono:
Wykorzystując ten kład n,a1dnemy w omawianym odwzorowaniu obraz B" punlifu B. Jest to
szukany trzecipunkt fuku ao.Na ryS.3pokazarrotakżekonstnrkcjęśrodkaS" tego futu.
-39-
ys3
Poprowadź^y przez punk1 S prostą rownoległądo a (promieó zbiegu). obraz w rzu.
cie prostokątnym na tło tego promienia przecina t*-w puŃcie Z^', lrrory jest ślademzbiegu
prostej a w perspektywie kollnearnejna tło t, zaśtuk anw punkcie Z," będącym ślademzbiegu
prostej a w omawianejperspekrywieniekohneamej.
Wniosek l.
Perspekrywa dowolnej prostej a jest oiaeślonajednomac7nie, gdy dane są: rzut pro.
stokątnyna tłojej śladuznikania N,'' oraz śladzbieW Z^,.
Niech będzie dany aparat rzutowania jak w ustaleniu 2.|.I. oraz dowolna płaszczyn'a ct
(rys.3).
Definicja 3.
Sladem zrlkania płaszcry^y ct nazywamy jej krawędźzpłaszczanrą znikania v.
Poprowadnmy pł'aszczynę zblegu ella przechodzącąprzez punkt S. Płaszczyn,a e
przecina płaszcryaręarikania w krawędzi n, przechodzącejprzez punkt S ( s e s ). Wynika z
tego, że fuk zo"(obraz prostej niewłaściwej
płaszcryny cr) oparry jest na średnicyokręgu g'
zawartej rv rzucie prostokąbrymna tło śladuzrikania n. ptaszczymy e. Ponieważpł,aszcryn.a
o i jej płaszczyna zbte.gut są do siebie rownoległe,rownoległe są do siebie tak'żeślady
znikania n.,i n,.,i ich rnJty prostokątnena płaszcrym,ętła.
-40-
Definicja 4.
Sladem zbiegu płaszcry^lya nazywamy tuk oliręgu z.'npotl.StaĘjako obraz w rzucie
przekr.ojsfery x2 pł,aszczym|ą
e i le.
stel.eograficzrym fuku okręgu wielkiego, stanc'.^/iącego
żącegoprzed pł'aszcrynrązrikania v.
Wniosek 2.
Slad zbiegu płaszcry7nyzuoi rzut prostokątnyna tło śladuzrikania n..''jednozraczrie
określaj
ą połozenie o dwzo rowywanej płaszczy zrly w przestrzeni.
Przez punlt o prowadzimy pł'aszcryanęy prostopadłądo płaszcryny tła i płiszczryny u. Wykonujemy kład ptaszczyny y na tło t. Na ryS.3 ozrtalzono:S* - kład środka
stbry S; o* - kład punktu o; g= . kład ok.ęgu wielkiego stanorriącegoprzekroj sfury x.
pł'aszczynąy; o,* . kład kr.awędzi pł'aszczym|yy iptaszcrymy ankania v .
Znajdtrjemy kład k- krawędzi k = T n cX,. Prosta k* powstała z połączenia punktu
N; _ n] a n/! (kładuśladuzrikania prostejk) oraz punktu T* - śladutłowegotej prostej.Kąt
(p - < kb'* jest kątem nachylenla płaszczyny u do p|aszczynry arikania v i zatem także do
tła.
Przez punkt S* prorvadzimy prostą nt*ll k- . kładkraw,ędzirniędzy płaszczynrązbiegu
t pł,aszcryT|ąy:nt = E n 7' Punkt Z',, = nt.,(1y// jest ślademzbiegu prostej m w perspektywie
kolinearnej.Znajdujemy punkt Z,''*powstaĘ z przeclęciaprostej m* z okręgiem q'. Punkt
Z?,,= (o, Z;,,)r\y,, jest zaś śladem zbiegu tej prostej w perspektywie niekolinęarnej
Zauwafuly, ze fuk z.o przechodn przez puntty przecięciaprostejD",,Z okręglem s'. Istobrie:
fuk ten powstałjak obraz w rzvcie stereograficznymfuku koła wielkiego sfery 1? powstałego
jako jej przekroj płaszczyaĄe, zatemprzechodzącegoprzez punĘ, przecięcian*-z konturem
sfery k]. Proste rzutujące te pun|<qz punkru o pokrywają się w rzucie prostokąnrym na tło
Zl,,,.7-na|eaony punkt Zn.nStanowitrzeci punkt wm,alzający tuk zu"'
Wykonane konstrukcjepodstawoweoraz zastosowanieich rv konstrukcjachzłoionych
w praĘce.
pozwalająna ocenęich przryldatności
pośrednim
pewnyclr konstrukcji perspektywy niekolinearnej Są
Niezbędnym etapem
konstrukcje rzufu środkorvego.
W perspektywie niekolinearlej mozliwe jest określeniepunktu mierzenia prostej.
konstrukcjinie znajduje
Zastosowaniego jednak rv praĘce, ze względu na stopie złozoności
uzasadnienia.
Kreślącp erspektywę szerokokątnąotrrymujemy obraz o zrleks ztał'conychp roporcjach
i ksaaha ch, cz1telny natomiastpod względem przestrzennegoukładuprzedstawianychbrył.
Ze względu na złozonośckonstrukcji niezbędnych do wykreślenia perspekrywy
szerokokąmej szczegolnie uzasarlnione wydaje się opracowanie uzytkowego programu
komputerowego realizującego omawiane odwzorowanie. Analityczre zalezrości otaz
algorytmy zamteszczouew pracy wskazują, i,e mogłby on pracować w oparciu o program
kreślącyp erqpektylvę kollne anrą.
TFIE WIDE-ANGLE
NONCOLLINEAR
PERSPECTTVE
The paper containsa descriptionof a constructionof noncollinearperspectivein which
circular arcs are line images.The points of spacewhich are in front of the plane parallelto the
background and going through the center of the sphereare projectedfi'om the sphere center
first onto the sphere surface and then fi'om the sphere pole which is opposite to the point of
tangencyof the sphereand backglound plane onto the background.
-41 -