Badanie funkcji
Transkrypt
Badanie funkcji
Badanie funkcji Zadanie 1 Zbadać przebieg zmienności funkcji: Wskazówka Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji. Rozwiązanie Badanie funkcji będziemy wykonywać w sposób systematyczny trzymając się podanych niżej punktów. 1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (1) jest dobrze określone wszędzie, więc przyjmujemy . 2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie . 3. Granice na końcach przedziałów określoności. Musimy rozważyć jedynie granice przy . Wielomian w liczniku (1) ma wyższy stopień niż ten w mianowniku, więc łatwo otrzymujemy: 4. Asymptoty. Współczynnik kierunkowy asymptoty w (o ile ona istnieje) oznaczymy symbolem , a wyraz wolny . Parametry te znajdziemy, obliczając kolejno granice: oraz Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Parametry lewej asymptoty oznaczymy odpowiednio i . Znajdziemy je obliczając najpierw: a następnie: Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: . 5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscami zerowymi funkcji są , a punkt przecięcia z osią ma współrzędne 6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji : oraz . Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ). 7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (7) jest zawsze dodatni, więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie: Ponieważ trójmian kwadratowy w nawiasie jest nierozkładalny, więc łatwo możemy stwierdzić, że: 1. dla zachodzi 2. dla funkcja jest rosnąca, zachodzi 3. dla funkcja jest malejąca, zachodzi Ponadto dla funkcja jest rosnąca. oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym , a w punkcie minimum, przy czym . 8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną: Druga pochodna istnieje wszędzie, więc mamy . 9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Wielomian w liczniku (9) można zapisać w formie: Natomiast mianownik jest zawsze dodatni. Wynika stąd, że: 1. dla zachodzi 2. dla zachodzi 3. dla funkcja jest wklęsła, zachodzi 4. dla W punktach funkcja jest wypukła, zachodzi , oraz ,a funkcja jest wypukła, funkcja jest wklęsła. funkcja ma punkty przegięcia, przy czym . Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli: , Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku Figure 1. Wykres funkcji (1). Należy zwrócić uwagę, że gdy , wykres przecina asymptotę i przybliża się do niej od dołu, gdyż w punkcie funkcja ma punkt przegięcia, który trudno jest uwidocznić na rysunku. Zadanie 2 Zbadać przebieg zmienności funkcji: Wskazówka Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji. Rozwiązanie Podobnie jak w poprzednim zadaniu, badanie funkcji prowadzić będziemy w sposób systematyczny, trzymając się wypracowanej metody. 1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (11) nie jest dobrze określone tam, gdzie są zera mianownika, a zatem w punktach: Mamy więc . 2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie: . 3. Granice na końcach przedziałów określoności. Obliczamy po kolei: 4. Asymptoty. Z otrzymanych powyżej granic wynika, że proste i są asymptotami pionowymi dla wykresu funkcji. Pozostaje jeszcze zbadać ewentualne asymptoty ukośne przy . Stosując oznaczenia identyczne jak w poprzednim zadaniu, obliczamy: oraz Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Dla lewej asymptoty uzyskujemy: a następnie: Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: . 5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Jedynym miejscem zerowym funkcji jest i jest to zarazem punkt przecięcia wykresu z osią . 6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji : Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ). 7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (17) jest nieujemny, więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie: Na tej podstawie łatwo możemy stwierdzić, że: 1. dla zachodzi 2. dla 3. dla funkcja jest rosnąca, zachodzi funkcja jest malejąca, zachodzi funkcja jest malejąca. 4. dla zachodzi funkcja jest malejąca, 5. dla zachodzi funkcja jest rosnąca. Ponadto punkcie dla , oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w funkcja ma maksimum, przy czym , w punkcie minimum, przy czym . W punkcie funkcja ma punkt przegięcia. 8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną: Druga pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest funkcja , więc mamy . 9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (19) dochodzimy do wniosku, że: 1. dla zachodzi funkcja jest wklęsła, 2. dla zachodzi funkcja jest wypukła, 3. dla zachodzi funkcja jest wklęsła, 4. dla zachodzi Wyniki te potwierdzają, że dla funkcja jest wypukła. funkcja ma punkt przegięcia. Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli. Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku %i 2. Wykres funkcji (11). Zadanie 3 Zbadać przebieg zmienności funkcji: Wskazówka Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji. Rozwiązanie 1. Dziedzina funkcji. Funkcja (20) jest wszędzie dobrze określona, więc mamy: . 2. Własności szczególne. Zachodzi: , więc badana funkcja jest nieparzysta. 3. Granice na końcach przedziałów określoności. Mamy do znalezienia jedynie granice funkcji w nieskończonościach. Ponieważ pierwszy wyraz zbiega wtedy do zera, więc łatwo otrzymujemy: 4. Asymptoty. Zbadamy istnienie ewentualnych asymptot ukośnych przy oznaczenia identyczne jak w poprzednich zadaniach, obliczamy: . Stosując oraz Prawą asymptotą jest więc prosta: . Dla lewej asymptoty otrzymujemy: a następnie: Lewa asymptota jest więc identyczną prostą: . 5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscem zerowym funkcji jest zarazem punkt przecięcia wykresu z osią . 6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji : i jest to Pochodna ta istnieje wszędzie (czyli ). 7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (26) jest nieujemny, więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie: Na tej podstawie łatwo stwierdzamy, że: 1. dla zachodzi 2. dla zachodzi 3. dla zachodzi 4. dla zachodzi 5. dla Ponadto funkcja jest malejąca, funkcja jest rosnąca. funkcja jest malejąca, zachodzi dla funkcja jest rosnąca, funkcja jest rosnąca. oraz . Z otrzymanych rezultatów wynika, że: 1. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym 2. w punkcie funkcja ma minimum, przy czym 3. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym 4. a w punkcie funkcja ma minimum, przy czym Wyniki te zgodne są z naszą obserwacją, że funkcja jest nieparzysta. , , , . 8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną: Druga pochodna także istnieje wszędzie, więc mamy . 9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (28), dochodzimy do wniosku, że: 1. dla 2. dla 3. dla 4. dla W punktach zachodzi zachodzi zachodzi zachodzi oraz funkcja jest wklęsła, funkcja jest wypukła, funkcja jest wklęsła, funkcja jest wypukła. funkcja ma punkty przegięcia. Znajdziemy jeszcze wartości funkcji w tych punktach: , oraz . Ponownie możemy dostrzec w otrzymanych rezultatach odbicie nieparzystości funkcji. Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli. Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku %i 3. Wykres funkcji (20). Zadanie 4 Znaleźć trójkąt równoboczny o najmniejszym polu, wpisany w inny trójkąt równoboczny o boku . Wskazówka Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Rozwiązanie Oznaczmy symbolem długość boku wpisanego trójkąta. Odległość wierzchołków obu trójkątów oznaczymy , tak jak jest to przedstawione na rysunku. Rys 4. Trójkąt równoboczny o boku wpisany w trójkąt równoboczny o boku . Pole wpisanego trójkąta równe dane jest znanym wzorem: Korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego do któregoś z trójkątów o bokach , , pole to wyrazimy poprzez wielkość : Szukamy więc minimum funkcji: Obliczając pochodną otrzymujemy: oraz Jedynym jej miejscem zerowym jest . Na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna, a zatem funkcja malejąca, a na prawo pochodna dodatnia, czyli funkcja rosnąca. Widzimy, że faktycznie pole osiąga dla swoją minimalną wartość równą: Zadanie 5 Dane jest koło o promieniu największej objętości? . Jaki wycinek, należy z niego usunąć, aby po sklejeniu uzyskać stożek o Wskazówka Należy wyrazić objętość stożka przez kąt różniczkowy. usuniętego wycinka, a następnie wykorzystać rachunek Rozwiązanie Na rysunku przedstawiona jest sytuacja, z jaką mamy do czynienia i wprowadzone oznaczenia: kąt usuniętego wycinka, -- promień podstawy stożka, -- jego wysokość. Rys 5. Stożek uzyskany z koła, z którego usunięto wycinek o kacie . Objętość stożka jest naturalnie dana wzorem: Obwód podstawy stożka równy jest , co daje promień jego postawy: Wysokość stożka możemy natomiast znaleźć z twierdzenia Pitagorasa wykorzystując fakt, że -- tworząca stożka ma długość : Wstawiając to do (34) otrzymujemy szukaną funkcję Obliczamy teraz pochodną : i szukamy ekstremów. Ze względów geometrycznych zachodzi: oraz jej znaków istotne jest tylko wyrażenie: , co oznacza, że dla miejsc zerowych pochodnej . Ma ono dwa miejsca zerowe, przy czym w przedziale leży tylko dodatniej na ujemną, skąd wynika, że objętość dla (37), otrzymujemy: . W punkcie tym pochodna zmienia znak z jest maksymalna. Podstawiając tę wartość do Zadanie 6 Dana jest elipsa zapisana we współrzędnych biegunowych: gdzie oraz . Znaleźć półosie tej elipsy. Wskazówka Półoś (na osi ) znaleźć jest łatwo, a półoś , gdzie (na osi ) znaleźć można szukając maksimum funkcji jest zmienną kartezjańską. Rozwiązanie Wprowadzamy oznaczenia takie, jak na rysunku: -- duża półoś, -- mała półoś. Rys 6. Elipsa opisana równaniem (40). Aby znaleźć półoś nie ma potrzeby wykorzystywania rachunku różniczkowego. Wystarczy napisać: W celu obliczenia półosi napiszemy równanie funkcji , gdzie jest zmienną kartezjańską, a . Mamy: Różniczkując tę funkcję po , otrzymujemy: Jedynym miejscem zerowym pochodnej (w przedziale ) jest kąt stanowiący rozwiązanie równania: . W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, co oznacza, że mamy do czynienia z maksimum funkcji. Nie musimy znać jawnie tego kąta. Wystarczy nam znajomość wartości cosinusa oraz wiedza, że , gdzie sinus jest dodatni. Wtedy wiemy, iż i wstawiając wszystkie potrzebne wartości do (42) uzyskujemy: Zadanie 7 Pomiędzy ładunkami punktowymi i odległymi o , znaleźć punkt, w którym siła elektrostatyczna działająca na pewien ładunek jest najmniejsza. Wskazówka Należy wykorzystać wzór na siłę elektrostatyczną działającą pomiędzy ładunkami punktowymi odległymi o : gdzie i jest stałą. Rozwiązanie Całkowita siła, jaka działa na ładunek umieszczony pomiędzy ładunkami różnych znaków, jest ich algebraiczną sumą, gdyż oba wektory sił skierowane są w tę samą stronę. Wykorzystując wzór Coulomba: gdzie jest stałą (współczynnikiem przenikalności elektrycznej próżni), odległością pomiędzy nimi, otrzymujemy: i -- ładunkami, a Symbol oznacza tutaj odległość pomiędzy ładunkami i , a pomiędzy ładunkami i Musimy teraz znaleźć minimum tej funkcji (rolę argumentu odgrywa ). W tym celu obliczamy pochodną: Rozwiązując równanie -- . otrzymujemy: Badając znaki pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu, łatwo stwierdzamy, że siła przyjmuje w nim wartość minimalną. Jest ona równa: